Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit

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1 Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung Mess-System-Analyse.1 ANOVA-Methode. Maße für die Messmittelfähigkeit 3 Messmittelfähigkeitsindizes 4 Zusammenfassung

2 1 Aspekte einer Messung Um geometrische oder physikalische Größen an Objekten bestimmen zu können, benötigt man Messgeräte/Messsysteme. Sie werden von Personen eingesetzt, die mit eben solchen Größen arbeiten, wie zum Beispiel Ingenieure. Ein Einsatzgebiet, zugleich auch die Herkunft der Ideen für die Bestimmung der Messmittelfähigkeit, also der Fähigkeit eines Messgerätes die interessierende Charakteristik eines Objekts korrekt zu messen, ist die Qualitätssicherung. Anhand statistischer Methoden wurden hierfür Standards für Produkte und Fertigungsprozesse festgelegt und diese Methoden finden auch Anwendung in der Beurteilung von Messgeräten. Denn bevor Qualitätskontrollen für Produkte und Fertigungsprozesse anhand von Messgeräten gewonnener Daten durchgeführt werden, muss erst einmal gesichert sein, dass das Messsystem korrekt misst. Besitzt das Messsystem nämlich eine zu große Varianz, besteht die Gefahr falsche Schlussfolgerungen zu führen. Bei Messsystemen wird die Reliabilität als Präzision und die Validität als Genauigkeit bezeichnet. Das Zentrum markiert den wahren Wert eines gemessenen Objekts. Die Varianz im Messsystem ist also ein Maß für die Präzision, wogegen die Genauigkeit Aufschluss darüber gibt, ob das Messsystem fähig ist, im Durchschnitt den wahren Wert zu messen.

3 Bei einer Messung zu überprüfende Aspekte: Genauigkeit: Wiederholbarkeit: (Repeatability) Reproduzierbarkeit: (Reproducibility) Stabilität: Besteht ein Unterschied zwischen einer durchschnittlichen Messung und einem Referenzwert? Ist eine Variation der Messergebnisse zu beobachten, wenn derselbe Bediener die gleiche Einheit mit dem gleichen Messsystem wiederholt misst? Treten unterschiedliche Messergebnisse auf, wenn unterschiedliche Bediener die gleiche Einheit mit dem gleichen Messsystem messen? Werden Genauigkeit, Wiederholbarkeit und Reproduzierbarkeit über längeren Zeitraum erhalten? MSA Mess-System-Analyse (auch Gage R&R) Bei Messungen zur Prüfung z.b. eines Produktionsprozesses ist ein Teil der beobachteten Varianz auf das gemessenen Produkt bzw. Gegenstand zurückzuführen und der andere Teil resultiert aus dem Messsystem. Ein solches Messsystem besteht mindestens aus dem Messgerät und zusätzlich meistens aus weiteren Komponenten, wie dem Gerätebediener und Umweltbedingungen oder verschiedenen Zeitpunkten zu denen das Messgerät verwendet wurde. Der Zweck dieser Analyse ist: 1.Bestimmung wieviel der beobachteten Gesamtvarianz auf das Messsystem zurückzuführen ist.herausstellen der Komponenten der Varianz im Messsystem 3.Bewertung, ob das Messsystem fähig ist, die geplante Messung durchzuführen Der MSA liegt das klassische Messfehler Modell zugrunde (additiver Messfehler): Y =X g mit Y: gemessener Wert X: wahrer Wert ε g : Messfehler Annahmen: X ~N, P g ~N 0, g X, g unabhängig daraus folgt für die Varianz der gesamten beobachteten Messung y: Total = P g Bei der MSA lässt sich der Messfehler in zwei Komponenten aufteilen: in Wiederholbarkeit und Reproduzierbarkeit. Y = X Wiederholbarkeit Reproduzierbarkeit g = Messfehler = Wiederholbarkeit Reproduzierbarkeit

4 Es gibt zwei mögliche Methoden die MSA durchzuführen: ANOVA-Methode X and R -Methode Wobei der X and R -Methode im Gegensatz zur ANOVA-Methode die Option fehlt, eine mögliche Wechselwirkung zwischen Teil und Bediener zu berücksichtigen..1 ANOVA-Methode Bei der ANOVA-Methode wird ein zweifaktorielles Experiment durchgeführt, bei dem alle o zufällig ausgewählten Bediener (Operator) alle p zufällig ausgewählten Teile n mal messen. Die Messwerte können dann durch folgendes Modell mit zufälligen Effekten (Varianzkomponenten- Modell) ausgedrückt werden: Y ijk = P i O j PO ij ijk i = 1,..., p ; j = 1,..., o ; k = 1,..., n wobei die Modellparameter P i, O j, (PO) i j und ε i j k voneinander unabhängige Zufallsvariablen sind und die Effekte der Teile, der Bediener, der Interaktion zwischen Teil und Bediener sowie des zufälligen Fehlers darstellen. Annahmen: P i ~ N 0, P O j ~ N 0, O PO ij ~ N 0, PO ijk ~ N 0, Es werden die Annahmen getroffen, dass die Zufallsvariablen P i, O j, (PO) i j und ε i j k normalverteilt sind, mit Erwartungswert 0 und den Varianzen Var(P i ) = σ P, Var(O j ) = σ O, Var((PO ij )) = σ PO und Var(ε i j k ) = σ. Damit ist die Varianz jedes Messwerts VarY ijk = P O PO und σ P, σ O, σ PO und σ sind die Varianzkomponenten. Die Wiederholbarkeit entspricht der Varianzkomponente des Zufallsfehlers σ, die Reproduzierbarkeit entspricht der Summe der Varianzkomponenten des Bedieners und der Interaktion zwischen Bediener und Teil. Mit Wiederholbarkeit Reproduzierbarkeit g = Wiederholbarkeit = = O PO Reproduzierbarkeit

5 ergibt sich also für die Varianz des Messgeräts: g = O PO Um nun die Varianzkomponenten schätzen zu können, zerlegt man zuerst die Gesamtvarianz der Messwerte: wobei SS Total = SS Parts SS Operators SS P O SS Error SS Total = SS Parts = SS Operators = p o SS P O = i=1 j=1 p o n i=1 j=1 k =1 p o n i=1 j=1 k=1 p o n i=1 j=1 k =1 n k=1 y ijk y... y i.. y... y. j. y... y ij. y... SS Parts SS Operators SS Error = SS Total SS Parts SS Operators SS P O Für die MS (Mean Squares) wird jede SS (Sum of Squares) durch seine Freiheitsgrade dividiert: MS P = SS Parts p 1 MS O = SS Operators o 1 SS P O MS PO = p 1o 1 MS E = SS Error po n 1 Zur Schätzung der Varianzkomponenten benötigt man die Erwartungswerte der MS. Herleitung am Beispiel von MS P : Es gilt Da p o SS Parts = i=1 j=1 n y i.. y... k =1 y i.. = P i O. PO i. i.. y... = P. O. PO.. i..

6 mit p P. = 1 p i=1 o O. = 1 o j=1 P i O j o PO i. = 1 o j=1 p o j=1 PO ij PO.. = 1 po i=1 PO ij gilt y i.. y... = P i P. [PO i. PO.. ] i..... Wegen der Unabhängigkeit der zufälligen Effekte und der Fehler untereinander gilt damit: E y i.. y... = E P i P. E PO i. PO.. E i..... Berechnung der drei Komponenten: Damit wird: E P i P. = E P i E P. E P i P. = P 1 1 p p = P1 1 p = P p 1 p E PO i. PO.. = E PO i. E PO.. E PO i. PO.. = PO 1 o 1 po po = PO 1 o 1 po = PO p 1 po E i..... = E i.. E... E i..... = 1 on 1 pon pon = 1 on 1 pon = p 1 pon E MS P = E SS Parts p 1 = 1 p 1 E p o i=1 j=1 = pon p 1 p 1 pon PO n y i.. y... = pon p 1 E y i.. y... p 1 p = n PO on P k =1 p 1 po P Die Erwartungswerte der MS sind damit analog zu MS P : E MS O = n PO pn O E MS PO = n PO E MS E = Die Varianzkomponenten können also wie folgt geschätzt werden:

7 = MS E PO = MS PO MS E n O = MS O MS PO pn P = MS P MS PO on Beispiel: Ein Messgerät, dass den wärmeabhängigen Widerstand misst, soll auf seine Messmittelfähigkeit geprüft werden. Dazu misst jeder von o=3 zufällig ausgewählten Bedienern, bei p=10 zufällig ausgewählten Power Modulen je n=3 mal den wärmeabhängigen Widerstand ( C/W 100). Nutzt man SPSS zur Auswertung, bekommt man für die ANOVA folgenden Output: Abhängige Variable:messwerte Quadratsumme Mittel der Quelle vom Typ III df Quadrate F Sig. Konstanter Term Hypothese , ,600 53,90,000 Fehler 4371,500 9,63 454,7 part Hypothese 3935, ,38 16,70,000 Fehler 48,511 18,695 operator Hypothese 39,67 19,633 7,85,005 Fehler 48,511 18,695 part * operator Hypothese 48,511 18,695 5,73,000 Fehler 30, ,511

8 Die Effekte sind alle signifikant von 0 verschieden. Die Varianzkomponenten lassen sich aus den MS schätzen: P = 437,33,70 = 48,9 3 3 O = 19,63,70 = 0, PO =,70 0,51 = 0,73 3 = 0,51 Reproduzierbarkeit Wiederholbarkeit Die Varianz des Messgeräts σ g beträgt somit 1,80. = 0,51 = 0,56 0,73 = 1,9 g = 0,51 0,56 0,73 = 1,80 Falls σ PO nicht signifikant von 0 verschieden ist, kann man auch ein reduziertes Modell der Form ohne die Interaktion Bediener/Teil verwenden.. Maße für die Messmittelfähigkeit y ijk = P i O j ijk Es existieren einige Maße um die Messmittelfähigkeit bewerten zu können. Zum einen der Anteil der Messsystemvarianz an der Gesamtvarianz M = g Total bzw. den Anteil der Varianz der gemessenen Teile an der Gesamtvarianz P = P Total die offensichtlich im einfachen Zusammenhang stehen. P = 1 M

9 Für unser Beispiel ergibt sich: M = 1,80 50,10 = 0,036 P = 48,30 50,10 = 0,964 Der Anteil der Varianz des Messsystems an der Gesamtvarianz beträgt 3,6%. In der Praxis übliche Richtlinien: Anteil der Varianz des Messsystems ρ M an der Gesamtvarianz sollte unter 1% liegen. Ein Anteil zwischen 1% und 9% kann je nach gemessenem Prozess oder Sachverhalt und den Ansprüchen des Anwenders akzeptabel sein. Ein weiteres Maß ist das precision-to-tolerance Verhältnis P/T: P /T = k g USL LSL Hier wird die k-fache geschätzte Standardabweichung des Messsfehlers mit dem Toleranzbereich USL LSL (upper/lower specification limit) für das gemessene Objekt verglichen. Eine weit verbreitete Wahl für die Konstante k ist k = 6, damit 99,73% der Messwerte im Bereich zwischen μ + 3σ und μ 3σ erfasst werden, wenn der Messfehler wie angenommen normalverteilt ist mit μ = 0 und σ g. Die 6σ Breite des Intervalls stammt von Qualitätsstandards für Produktionsprozesse. Die Grenzen dieses Intervalls werden auch upper/lower natural tolerance limits genannt. UNTL = 3 LNTL = 3 P/T-Werte von unter 0,1 werden üblicherweise als Zeichen für angemessene Messmittelfähigkeit verwendet. Dieser Wert wurde aus der gängigen Regel abgeleitet, dass Messgeräte auf ein Zehntel, in Einheiten der benötigten Präzision, der endgültig gemessenen Objekte geeicht werden. Allerdings ist dies nur eine Faustregel. Ein Messgerät muss grundsätzlich so präzise messen, dass der Anwender basierend auf den Messwerten die richtige Entscheidung treffen kann. Dazu wird nicht unbedingt ein P/T unter 0,1 benötigt.

10 Für unser Beispiel ergibt sich mit den Spezifikationsgrenzen des Power Moduls LSL = 18 und USL = 58: P 6 /T = g USL LSL = 6 1, = 0,0 Das Messgerät verursacht eine Variation in den Messwerten in einer Breite 0% so groß wie der Toleranzbereich für das gemessene Objekt. Das signal-to-noise ratio (SNR) ist ebenfalls ein verwendetes Maß für die Messmittelfähigkeit. Das SNR ist definiert, als die Anzahl der unterschiedlichen Stufen oder Kategorien, die durch die Messung erhalten werden können. Je höher das SNR desto präziser ist das Messsystem. In der Praxis wird ein SNR größer gleich 5 empfohlen und ein SNR kleiner als Anzeichen für ein mangelhaftes Messsystem angesehen. Diese Faustregel ist allerdings etwas willkürlich gewählt, es kommt am Ende wieder auf den individuellen Anwender an. Für das Beispiel beträgt das SNR: SNR = P 1 P SNR = P = 0,964 1 P 1 0,964 = 7,3 Mit der MSA lässt sich eine Aussage über die Präzision, aber nicht über die Genauigkeit, eines Messgeräts oder Messsystems treffen. Um die Genauigkeit eines Messgeräts oder Messsystems zu beurteilen benötigt man ein Normal z.b. ein Werksstück oder Einstellmeister von dem der wahre Wert des zu messenden Merkmals bekannt ist. Dann ist ein Aussage über die Genauigkeit mit Hilfe der Messfähigkeitsindizes C g und C gk möglich. 3 Messfähigkeitsindizes C g und C gk Übernommen aus der Qualitätskontrolle von Produktionsprozessen, wird das Prozessfähigkeitsverhältnis (process capability ratio/pcr) C g und C gk auch zur Beurteilung der Messmittelfähigkeit eines Messgeräts verwendet. Bei der Bestimmung der PCRs werden in der Praxis Messungen an einem Normal (auch Einstellmeister genannt), also eines Objekts bei dem der wahre Wert der zu messende Größe bekannt ist, verwendet. Die Formel für C g lautet: C g = USL LSL 6 USL - LSL ist dabei die Spanne des Toleranzbereichs für die Messung und 6σ die Streubreite des Messgeräts, in dem sich 99,73% der Messwerte befinden. (a) Liegt C g über 1 bedeutet dies, dass die natürlichen Toleranzgrenzen (UNTL/LNTL) innerhalb des an das Messgerät geforderten Toleranzbereichs liegen. (b) Bei C g = 1 stimmen UNTL/LNTL mit den geforderten Toleranzgrenzen genau überein, d.h. das Messgerät nutzt den gesamten Toleranzbereich aus. Dies würde bedeuten, dass genau 0,7% der Messungen einen nicht akzeptablen Messfehler aufweisen (vorausgesetzt

11 Normalverteilungsannahme ist korrekt). (c) Nimmt C g einen Wert von unter 1 an, bedeutet dies, dass das Messgerät über einen größeren Bereich als den Toleranzbereich streut. Der Kehrwert von C g gibt eine anschauliche Interpretation: P = 1 C g P ist der Anteil am Toleranzbereich, den das Messgerät durch seine Streuung belegt. Der Unterschied zum vorher vorgestellten P/T liegt in der Definition des Toleranzbereichs. Während beim P/T der Toleranzbereich für die gemessenen Objekte festgelegt wurde, wird hier der Toleranzbereich für das Messgerät alleine festgelegt. Interessieren im Gegensatz zu C g nur einseitige Toleranzgrenzen, also nur eine obere oder untere Toleranzgrenze für das Messgerät, so kann man einseitige PCRs folgendermaßen definieren: C go = USL 3 C gu = LSL 3 Die eben eingeführten PCRs sind auch nützlich, um eine Idee für die Genauigkeit (weißt das Messgerät einen systematischen Fehler auf?) zu bekommen. Dazu bildet man ein weiteres PCR: C gk = minc go,c gu C gk ist das Minimum der beiden einseitigen PCRs und damit das einseitige PCR, dessen Toleranzgrenze näher an μ liegt. C g = C gk ist also ein Anzeichen dafür, dass das Messgerät keinen systematischen Fehler aufweist. Ist C gk < C g, bedeutet dies, dass der mittlere gemessene Wert vom wahren Wert des Normals abweicht. Je weiter C gk von C g abweicht desto wahrscheinlicher ist, dass ein systematischer Fehler am Messgerät vorliegt.

12 (Grafik: C p entspricht C g, C pk entspricht C gk ) Beispiel: Um die Messmittelfähigkeit eines Messsystems für den vorgesehenen Einsatz in einem Fertigungsprozess anhand der C g - und C gk -Werte zu bestimmen, wird die Untersuchung an einem geeignetes Normal durchgeführt, dessen wahrer Wert x = 0 in der Mitte des Toleranzbereichs für die gefertigten Werksstücke liegt und bekannt ist. Es werden 5 Messungen durchgeführt, die die Werte 1.0, 0.3, 0.1, 19.6, 0.0, 19.3, 0., 0.4, 19.5, 19.4, 0.4, 19.0, 0.3, 0.3, 19.8, 0.5, 0.1, 0.0, 19.4, 0.6, 0.0, 0.3, 0.1, 19.6, 19.9 liefern. Der Toleranzbereich für das Messgerät liegt zwischen LSL = 18 und USL =. = 0 = 0,46 C g = ,46 = 1,45 P = 1 1,45 = 0,69 Der C g beträgt 1,45, hat der Anwender eine in der Praxis gängige Anforderung von C g 1,33 wäre die Messmittelfähigkeit des Messsystems ausreichend. Hätte der Anwender allerdings hohe

13 Anforderungen an die Präzision, z.b. C g,0 wäre das Messsystem nicht ausreichend präzise. Das Messsystem nutzt durch seine Varianz 69% des Toleranzbereichs. C go = 0 3 0,46 = 1,45 C gu = ,46 = 1,45 C gk = min1,45 ;1,45 = 1,45 Da C gk = 1,45 = C g, gibt es keine Anzeichen dafür, dass das Messsystem einen systematischen Fehler aufweist. 4 Zusammenfassung Führt man eine Mess-System-Analyse mithilfe der ANOVA-Methode durch, kann man die Varianz eines Messsystems schätzen und in Wiederholbarkeit und Reproduzierbarkeit aufgliedern. Grundlage ist hierfür die zufällige Auswahl der Bediener und gemessenen Teile und die Normalverteilungs- und Unabhängigkeitsannahme für die zufälligen Effekte der Teile, Bediener, Interaktion Teil<>Bediener und des Fehlers. Mit ρ M ( Anteil der Messsystemvarianz an der Gesamtvarianz) dem precision-to-tolerance Verhältnis P/T oder dem signal-to-noise ratio SNR läßt sich die Messmittelfähigkeit bewerten. Unter Verwendung eines Normals, kann man mithilfe der Messmittelfähigkeitsindizes C g und C gk ein Messsystem auf einen systematischen Fehler untersucht werden. Literatur: Montgomery, Douglas C.: Introduction to statistical quality control. John Wiley & Sons 005. Toutenburg, Helge: Versuchsplanung und Modellwahl. Physica-Verlag Heidelberg Toutenburg, Helge, Knöfel, Philipp: Six Sigma Methoden und Statistik für die Praxis. Springer 009. Anhang (Konfidenzintervalle): Konfidenzintervalle für C g und g C gk : 1 C n 1 C gk 1 Z 1 9n C gk,n 1 C g C g 1 n 1 C gk,n 1 n 1 C gk 1 Z 1 9n C gk 1 n 1

14 Konfidenzintervalle für ANOVA-Methode:

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