(1) Problemstellung. (2) Kalman Filter

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2 Inhaltsverzeichnis (1) Problemstellung...2 (2) Kalman Filter...2 Funktionsweise... 2 Gleichungen im mehrdimensionalen Fall...3 Schätzung des Systemzustands...3 Vermuteter Schätzfehler... 3 Aktualisierung des Kalman Gain...3 Aktualisieren der Schätzung... 3 Aktualisieren der Fehler-Kovarianzmatrix... 4 (3) Einsatz im Robocup...4 Realisierung... 4 Fazit

3 (1) Problemstellung Das Ziel welches man sich setzt, ist die Simulation von physikalischen Prozessen. Allgemein ist es so, dass die Basis bei der Modellierung eines physikalischen Prozesses eine ideale Modellwelt ist. Das bedeutet unter anderem, dass man erzielte Ergebnisse reproduzieren kann. Wendet man dieses Modell in der Realität an, treten Probleme auf. Das Modell ist in der Regel auf Eingaben angewiesen, zum Beispiel in Form von Messungen. Da die Sensoren selbst nicht ideal sind, kann es zu Messfehlern kommen, das heißt der gemessene Wert ist ungleich dem tatsächlichen. Auch kann es in der Realität Effekte geben, die dass Modell nicht berücksichtigt, entweder weil es zu aufwendig war den Effekt zu implementieren oder er schlicht übersehen wurde, zum Beispiel der Luftwiderstand. Gesucht ist nun eine Methode, mit der man diese Probleme beseitigen oder möglichst gut minimieren kann. (2) Kalman Filter Definition: Der diskrete Kalman Filter ist eine statistische, rekursive Methode, welche vergangene, aktuelle und zukünftige Systemzustände vorhersagen kann. Dabei sind keine genauen Kenntnisse des modellierten Systems notwendig. Der erste Teil der Definition weißt darauf hin, dass man damit physikalische Prozesse abbilden kann. Das keine genauen Kenntnisse des Systems notwendig sind, löst das Problem der Messfehler und der nicht berücksichtigten Effekte. Funktionsweise Prinzipiell werden pro Zyklus 2 Schritte durchgeführt: (1) Zustandsvorhersage Bevor eine neue Messung durchgeführt wird, versucht der Filter den nächsten Zustand zu schätzen. Wie sicher diese Schätzung ist, gibt der vermutete Schätzfehler an. (2) Korrektur Die neue Messung wurde durchgeführt. Anhand dieser wird die zuvor gemachte Schätzung aktualisiert. Wieviel Gewicht die neue Messung gegenüber der Schätzung hat, gibt das Kalman 2

4 Gain an. Letzlich wird auch die Genauigkeit des momentanen Zustandes berechnet. Gleichungen im mehrdimensionalen Fall Schätzung des Systemzustands Wird auch a priori Zustand genannt. Die Matrix A beschreibt das Verhalten des Systems, d.h. wie schließt man vom vorherigen zum nächsten Zustand. Beispielsweise ist A eine Rotationsmatrix, die einen Positionsvektor im Raum nach einer Drehung zum nächsten Positionsvektor überführt. Die Matrix B dient einer optionalen Kontrolleingabe. Vermuteter Schätzfehler Gibt die Unsicherheit bei der Projektion des Zustandes an. Je kleiner dabei P ist, desto genauer ist die Schätzung. Q ist die Process Noise Covariance Matrix, die davon abhängt, wie genau der Prozess ist, z.b. Beschränkung der Dezimalstellen nach dem Komma. Große Werte in Q stehen für große Ungenauigkeit. Aktualisierung des Kalman Gain Gibt an, wie stark die neue Messung gegenüber dem a priori Zustand gewichtet wird. Ein hohes K steht für eine sichere Messung des aktuellen Zustandes. R ist die Measurement Noise Covariance Matrix, die davon abhängt, wie genau die Messung ist, z.b. Toleranzbereich der Sensoren. Große Werte stehen für große Ungenauigkeit. Aktualisieren der Schätzung Wird auch a posteriori Zustand genannt. Die Matrix H beschreibt wie die aktuelle Messung in das System eingeht. 3

5 Aktualisieren der Fehler-Kovarianzmatrix E ist die Einheitsmatrix entsprechender Dimension. P gibt an, wie genau der momentane Zustand ist. Je kleiner die Fehler-Kovarianzmatrix ist, desto weniger trägt die neue Messung zum a posteriori Zustand bei. (3) Einsatz im Robocup Das Ziel ist eine genaue Positionsbestimmung des Balles. Grundsätzlich ist es so, dass der Roboter versucht, durch seine Kamera die Position des Balles relativ zu sich zu bestimmen. Problematisch sind die Messungenauigkeiten die auftreten können: sich ändernde Lichtverhältnisse schnell bewegende Objekte auf dem Spielfeld weit entfernte Objekte rauschende Kamerabilder Der Lösungsansatz ist der, dass man diese Ungenauigkeiten durch den Kalman Filter minimiert. Realisierung Der Zustand = x sieht folgendermaßen aus: Position x X Position y i Geschwindigkeit x Richtung Geschwindigkeit y Richtung Für das Bewegungsmodell wird eine gleichförmige Bewegung ohne Verzögerung angenommen, das bedeutet dass auf einen Körper, auf den keine Kraft einwirkt, seine Geschwindigkeit beibehält. Dies ist natürlich eine starke Vereinfachung, da der Ball sehr wohl Kräften ausgesetzt ist, z.b. Reibung. Die Kovarianzmatrizen Q und R wurden beide empirisch ermittelt. Fazit Durch den Kalman Filter erzielt man eine tatsächliche Verbesserung der Balllokalisation. Allerdings hat man während der Entwicklung festgestellt, dass man auf die Qualität der Eingangsdaten angewiesen. Ein möglicher nächster Schritt ist eine weitere Verbesserung der Kovarianzmatrizen sowie eine Verbesserung des Bewegungsmodells, z.b. mit der Berücksichtigung der Reibung. 4

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