Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management"

Transkript

1 Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen Einflussfaktoren. Gesucht: VaR α (L) = q α (L), CVaR α = E(L L > q α (L)), CVaR i,α = E(L i L > q α (L)). Bei Anwendung von Monte Carlo (MC) Simulation tritt das Problem der Simulation von seltenen Ereignissen auf ( rare event simulation )! ZB. α = 0,99. Nur etwas 1% der standard MC Simulationen führt zu einem Verlust L, sodass L > q α (L). Standard MC Schätzer: ĈVaR (MC) α (L) = 1 n i=1 I (q α,+ )(L i ) n L i I (qα,+ )(L i ) wobei L i der Verlustwert in der i-ten Simulationslauf ist. (L) ist sehr instabil, d.h. hat eine sehr hohe Varianz, wenn die Anzahl der Simulationen n nicht sehr sehr groß ist. ĈVaR (MC) α i=1 27

2 Grundlagen von Importance Sampling Sei X eine ZV in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit absolut stetiger Verteilungsfunktion und Dichtefunktion f. Gesucht: θ = E(h(X)) = h. h(x)f(x)dx für eine bekannte Funktion Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: h(x) = I A (x). Berechnung von CVaR: h(x) = xi x>c (x) mit c = VaR(X). Algorithmus 1 (Monte Carlo Integration) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte f. (2) Berechne den standard MC Schätzer ˆθ (MC) n = 1 n n i=1 h(x i). Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen: lim n ˆθ (MC) n = θ. Im Falle von seltenen Ereignissen (h(x) = I A (x), P(A) << 1) ist die Konvergenz sehr langsam. 28

3 Sei g eine Wahrscheinlichkeitsdichte, sodass f(x) > 0 g(x) > 0. { f(x) g(x) > 0 Wir definieren das Likelihood ratio als: r(x) := g(x) 0 g(x) = 0 Es gilt: θ = Algorithmus 2 (Importance Sampling) h(x)r(x)g(x)dx = E g (h(x)r(x)) (8) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte g. (2) Berechne den IS Schätzer ˆθ (IS) n = 1 n n i=1 h(x i)r(x i ). g heißt Importance Sampling -Dichte. Ziel: Auswahl einer Importance Sampling -Dichte, sodass die Variance des IS-Schätzers wesentlich kleiner als die Varianz des standard MC Schätzers ist. var g (ˆθ (IS) n var ) (ˆθ (MC) n = (1/n)(E g (h 2 (X)r 2 (X)) θ 2 ) ) = (1/n)(E(h 2 (X)) θ 2 ) 29

4 Theoretisch kann die Varianz des IS-Schätzers auf 0 reduziert werden! Annahme h(x) 0, x. Für g (x) = f(x)h(x)/e(h(x)) gilt: ˆθ (IS) 1 = h(x 1 )r(x 1 ) = E(h(X)). Der IS-Schätzer gibt den richtigen Wert nach einer einzigen Simulation! Sei h(x) = I {X c} (x) wobei c >> E(X) (seltenes Ereignis). Es gilt E(h 2 (X)) = P(X c) und aus (8) folgt: E g (h 2 (X)r 2 (X)) = h 2 (x)r 2 (x)g(x)dx = E g (r 2 (X);X c) = (9) h 2 (x)r(x)f(x)dx = h(x)r(x)f(x)dx = E(r(X);X c) (10) Das Ziel ist g so auszuwählen, dass E g (h 2 (X)r 2 (X)) klein wird, oder sodass r(x) für x c klein und das Ereignis X c unter der Dichte g wahrscheinlicher als unter der Dichte f ist. 30

5 Exponential tilting: Bestimmung des IS-Dichte für light tailed Variablen Sei M x (t):r R die Momentum-generierende Funktion von X: IS-Dichte: g t (x) = etx f(x) M X (t) M X (t) = E(e tx ) = Likelihood Ratio: r t (x) = f(x) g t (x) = M X(t)e tx. Sei µ t = E gt (X) = E(X exp{tx})/m X (t). e tx f(x)dx Wie kann man ein geeignetes t für ein bestimmtes IS Problem ermitteln? Z.B. für die Schätzung der Tail-Wahrscheinlichkeit? Das Ziel ist t so zu wählen, dass E(r(X);X c) = E(I X c M X (t)e tx ) klein wird. e tx e tc, für x c, t 0 E(I X c M X (t)e tx ) M X (t)e tc. Wir setzten t = argmin{m X (t)e tc :t 0}. Daraus folgt t = t(c) wobei t(c) die Lösung der Gleichung µ t = c ist. (Eine eindeutige Lösung existiert für alle relevanten Werte von c - ohne Beweis). 31

6 Exponential Tilting für die Normalverteilung Sei X N(0,1) mit Dichtefunktion φ(x). g t (x) = etx φ(x) M X (t) = etx φ(x) e t2 /2 = 1 2π exp{ 1 2 (x t)2 } und µ t = D.h. unter der Verteilung g t gilt X N(t,1) Die Gleichung µ t = c lautet t = c. IS im Falle von Wahrscheinlichkeitsmaßen E(X exp{tx}) M X (t) Seien f und g Wahrscheinlichkeitsdichten. Definiere zwei Wahrscheinlichkeitsmasse P und Q: P(A) = f(x)dx und Q(A) = g(x)dx x A x A Die grundelegende Gleichung der IS (8) lautet dann: θ = E P (h(x)) = E Q (h(x)r(x)) Analog: Exponential tilting im Fall von Wahrscheinlichkeitsdichten: Sei X eine ZV in ((Ω,F,P)) sodass M X (t) = E P (exp{tx}) <, t. Sei Q t (A) := E P exp{tx} M X (t) ;A ein Wahrscheinlichkeitsmaß in (Ω, F). Der IS-Algorithmus bleibt gleich: Simuliere unabhängige Realisierungen von X i in (Ω,F,Q t ) und setze ˆθ n (IS) = (1/n) n i=1 X ir t (X i ) wobei r t (X) = M X (t)exp{ tx}. 32 = t

7 Anwendung von IS auf Bernoulli Mischung Modelle (siehe Glasserman und Li (2003)) Sei L = m i=1 e iy i die Verlustfunktion eines Kreditportfolios. Y i sind die Verlustindikatoren mit Default-Wahrscheinlichkeit p i und e i = (1 λ i )L i die positiven deterministischen Exposures (λ i sind recovery rates und L i sind die Kredithöhen), i = 1,2,...,m. Sei Z ein Vektor von ökonomischen Einflussfaktoren, sodass Y i Z unabhängig sind und Y i (Z = z) Bernoulli(p i (z)). Ziel: Schätzung von θ = P(L c) mit Hilfe des IS-Ansatzes, für ein gegebenes c, c >> E(L). Vereinfachter Fall: Y i sind unabhängig, i = 1,2,...,m. Sei Ω = {0,1} m der Raum der Zustände von Y. Das Wahrscheinlichleitsmaß P in Ω: m P({y}) = p y i i (1 p i) 1 y i, y {0,1}m. i=1 Die Momentum-generierende Funktion von L: M L (t) = m i=1 (ete i p i + 1 p i ). 33

8 Das Wahrscheinlichkeitsmaß Q t : n ( ) exp{te i y i } Q t ({y}) = exp{te i } p i +1 p i p y i i (1 p i) 1 y i. i=1 Seien q t,i neue Default-Wahrscheinlichlichkeiten: Somit gilt: q t,i := exp{te i } p i /(exp{te i } p i +1 p i ). Q t ({y}) = m i=1 q y i i (1 q i) 1 y i, y {0,1}m. D.h. nach der exponential tilting sind die Default-Indikatoren unabhängig mit neuen Default-Wahrscheinlichkeiten q t,i. lim t q t,i = 1 und lim t q t,i = 0 E Q t (L) nimmt alle Werte in (0, m i=1 e i) an für t R. Für IS-Anwendungen wähle t, sodass m i=1 e i q t,i = c. Allgemeiner Fall: Y i sind unabhängig bedingt durch Z 1. Schritt: Schätzung der bedingten Überschuss-Wahrscheinlichkeit θ(z) := P(L c Z = z) für eine gegebene Realisierung z der ökonomischen Faktoren Z, mit Hilfe des im vereinfachten Fall beschriebenen IS-Ansatzes. 34

9 Algorithmus 3 (IS für die bedingte Verlustverteilung) (1) Für ein gegebenes z berechne die bedingtenn Default- Wahrscheinlichkeiten p i (z) (wie im einfachen Unabhägigkeitsfall) und löse folgende Gleichung: m exp{te i }p i (z) exp{te i }p i (z)+1 p i (z) = c i=1 Die Lösung t = t(c, z) gibt den richtigen tilting-grad. (2) Erzeuge n 1 bedingte Realisierungen des Vektors der Default- Indikatoren (Y 1,...,Y m ). Die einzelnen Indikatoren Y i, werden unabhängig aus Bernoulli(q i ), i = 1,2,...,m, simuliert, wobei q i = exp{t(c,z)e i }p i (z) exp{t(c,z)e i }p i (z)+1 p i (z) (3) Sei M L (t,z) := [exp{te i }p i (z)+1 p i (z)] die bedingte Momenterzeugende Funktion von L. Seien L (1), L (2),...,L (n 1) die n 1 bedingten Realisierungen von L für die n 1 simulierten Realisierun- 35

10 gen von Y 1,Y 2,...,Y m. Berechne den IS-Schätzer für die Tail- Wahrscheinlichkeit der bedingten Verlustverteilung: ˆθ (IS) n 1 (z) = M L (t(c,z),z) 1 n 1 n 1 j=1 I L (j) cexp{ t(c,z)l (j) }L (j).

11 2. Schritt: Schätzung der unbedingten Überschuss Wahrscheinlichkeit θ = P(L c). Naive Vorgangsweise: Erzeuge mehrere Realisierungen z der Einflussfaktoren Z und berechne ˆθ n (IS) 1 (z) für jede dieser Realisierungen. Der gesuchte Schätzer ist der Durchschnittswert der Schätzer ˆθ n (IS) 1 (z) über alle Realisierungen z. Das ist nicht die beste Lösung, siehe Glasserman und Li (2003). Bessere Herangehensweise: IS für die Einflussfaktoren. Annahme: Z N p (0,Σ) (zb. probit-normal Bernoulli Mischung) Die IS-Dichte g ist die Dichte von N p (µ,σ) für einen neuen Erwartungswertvektor µ R p. Eine gute Wahl von µ sollte zu häufigen Realisierungen z die zu höheren bedingten Default- Wahrscheinlichkeiten p i (z) führen. Likelihood Ratio: r µ (Z) = exp{ 1 2 Zt Σ 1 Z} exp{ 1 2 (Z µ)t Σ 1 (Z µ)} = exp{ µ Σ 1 Z µ Σ 1 µ} 36

12 Algorithmus 4 (vollständige IS für Bernoulli Mischung Modelle mit Gauss schen Faktoren) (1) Erzeuge z 1,z 2,...,z n N p (µ,σ) (n ist die Anzahl der Simulationsrunden) (2) Für jedes z i berechne ˆθ (IS) n 1 (z i ) wie in Algorithmus 3. (3) Berechne den IS-Schätzer für die unbedingte Überschuss- Wahrscheinlichkeit: ˆθ n (IS) = 1 n r µ (z i )ˆθ n (IS) n 1 (z i ) i=1 37

13 Die Auswahl von µ µ soll so gewählt werden, dass die Varianz des Schätzers klein ist. Idee von Glasserman und Li (2003) (Skizze): ˆθ n (IS) 1 (z) P(L c Z = z) Suche eine gute IS-Dichte für die Funktion z P(L c Z = z). Die optimale IS-Dichte g ist proportional zu P(L c Z = z)exp{ 1 2 zt Σ 1 z}. Vorschlag: Wähle eine IS-Dichte mit demselben Modus wie die optimale Dichte g. Das führt zu folgendem Optimierungsproblem: µ = argmax z {P(L c Z = z)exp{ 1 2 zt Σ 1 z} }. Exakte Lösung ist schwierig weil P(L c Z = z) ist i.a. nicht in analytischer Form verfügbar. Siehe Glasserman und Li (2003) für Lösungsansätze. 38

Credit Metrics. Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc.

Credit Metrics. Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc. Wurde bei J.P.Morgan entwickelt. Credit Metrics Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc. (1997)) Basiert auf ein Bonität-Einstufungssystem

Mehr

V A,i (T) = V A,i (t)exp µ A,i σ2 A,i 2. T t. ist die Volatilität.

V A,i (T) = V A,i (t)exp µ A,i σ2 A,i 2. T t. ist die Volatilität. Das multivariate KMV Modell: Berechnung von multivariaten Default Wahrscheinlichkeiten Seien (W j(t): 0 t T,) unabhängige Standard Brown sche Bewegungen, j = 1,2,...,m. Grundlegendes Modell: ( ) V A,i

Mehr

Seminar Quantitatives Risikomanagement

Seminar Quantitatives Risikomanagement Seminar Quantitatives Risikomanagement Kreditrisikomanagement II Fabian Wunderlich Mathematisches Institut der Universität zu Köln Sommersemester 2009 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg Contents 1

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K.

Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K. Beispiel 5 Europäische Call Option (ECO) in einer Aktie S mit Laufzeit T und Ausübungspreis (Strikepreis) K. Wert der Call Option zum Zeitpunkt T: max{s T K,0} Preis der ECO zum Zeitpunkt t < T: C = C(t,

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Multivariate Verteilungen

Multivariate Verteilungen Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Nachteile: STD existiert nur für Verteilungen mit E(FL 2 ) <, d.h. nicht ansetzbar bei leptokurtischen ( fat tailed ) Verlustverteilungen;

Nachteile: STD existiert nur für Verteilungen mit E(FL 2 ) <, d.h. nicht ansetzbar bei leptokurtischen ( fat tailed ) Verlustverteilungen; Risikomaße basierend auf die Verlustverteilung Sei F L := F Ln+1 die Verteilung der Verlust L n+1. Die Parameter von F Ln+1 werden anhand von historischen Daten entweder direkt oder mit Hilfe der Risikofaktoren

Mehr

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Finanzmathematische Modelle und Simulation

Finanzmathematische Modelle und Simulation Finanzmathematische Modelle und Simulation WS 9/1 Rebecca Henkelmann In meiner Ausarbeitung Grundbegriffe der Stochastik I, geht es darum die folgenden Begriffe für die nächsten Kapitel einzuführen. Auf

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Lösung zur Monte-Carlo Integration

Lösung zur Monte-Carlo Integration Lösung zur Monte-Carlo Integration Berechnen Sie 1 0 1 1 0 0 exp(x+y +z)dxdydz mittels einer geeigneten Monte-Carlo Simulation! Erste Beobachtung: e 0 e x+y+z e 3 für (x,y,z) [0,1] 3. Hier zwei Lösungen,

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

2. Ein Zufallsvektor X IR d ist multivariat normal verteilt dann und nur dann wenn seine charakteristische Funktion folgendermaßen gegeben ist:

2. Ein Zufallsvektor X IR d ist multivariat normal verteilt dann und nur dann wenn seine charakteristische Funktion folgendermaßen gegeben ist: Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate Normalverteilung Definition 2 Der Zufallsvektor (X 1, X 2,..., X d ) T hat eine multivariate Normalverteilung (oder eine multivariate Gauss sche

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr 1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0.

Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Korollar 2 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung)

Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Sei X N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A IR d k, sodass X d = µ+az wobei Z N k (0,I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S ein gleichmäßig verteilter Zufallsvektor

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren

Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren Von den Grundlagen der Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen und Teilchendetektoren Michael Unrau HS WS 08/09 14 November 2008 HS 08/09 Monte-Carlo Methoden 14 November 2008 1 / 24

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Suffizienz und Vollständigkeit

Suffizienz und Vollständigkeit KAPITEL 7 Suffizienz und Vollständigkeit 7.1. Definition der Suffizienz im diskreten Fall Beispiel 7.1.1. Betrachten wir eine unfaire Münze, wobei die Wahrscheinlichkeit θ, dass die Münze Kopf zeigt, geschätzt

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

7 Der Satz von Girsanov

7 Der Satz von Girsanov 7 Der Satz von Girsanov Der Satz von Girsanov wird uns eine neue Perspektive auf die Rolle des Drifts liefern. Die Prozesse Brownsche Bewegung B t, Brownsche Bewegung mit Drift X t = B t + µt haben wir

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.

Mehr

Grundbegriffe der Stochastik II

Grundbegriffe der Stochastik II Grundbegriffe der Stochastik II Henrik Gebauer 6. Oktober 9 Zusammenfassung Dieser Vortrag dient der Wiederholung zentraler Begriffe der kontinuierlichen Stochastik. Wahrscheinlichkeitsverteilungen Sei

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Die latenten Variablen Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T hängen mit dem Wert der Aktien der jeweiligen Firmen folgendermaßen zusammen.

Die latenten Variablen Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T hängen mit dem Wert der Aktien der jeweiligen Firmen folgendermaßen zusammen. Das KMV Modell (siehe auch www.moodyskmv.com) Die Status Variablen S = (S 1,S 2,...,S n ) können nur zwei Werte 0 und 1 annehmen, d.h. m = 1. Die latenten Variablen Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T hängen mit

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)

Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und var(x) = σ a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Stetige Standardverteilungen

Stetige Standardverteilungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung

Mehr

Reelle Zufallsvariablen

Reelle Zufallsvariablen Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen

Mehr

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.

Mehr

Kapitel 4: Binäre Regression

Kapitel 4: Binäre Regression Kapitel 4: Binäre Regression Steffen Unkel (basierend auf Folien von Nora Fenske) Statistik III für Nebenfachstudierende WS 2013/2014 4.1 Motivation Ausgangssituation Gegeben sind Daten (y i, x i1,...,

Mehr

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen

Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Kapitel 7 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Der Erwartungswert von X ist ein Lebesgue-Integral (allerdings allgemeiner als in Analysis

Mehr

Commercial Banking. Kreditgeschäft 2. Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit

Commercial Banking. Kreditgeschäft 2. Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit Commercial Banking Kreditgeschäft Bedingte marginale und kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit Bedingte Marginale Ausfallwahrscheinlichkeit (BMAW t ) (Saunders: MMR ) prob (Ausfall in Periode t kein Ausfall

Mehr

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung Kapitel 11 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate

Mehr

4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1

4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1 4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1 23. Bemerkung Integralbegriffe für Funktionen f : R d R (i) Lebesgue-Integral (Vorlesung Analysis IV). Spezialfall: (ii) Uneigentliches Riemann-Integral

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010 1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalapproximation

Mehr

Value at Risk Einführung

Value at Risk Einführung Value at Risk Einführung Veranstaltung Risk Management & Computational Finance Dipl.-Ök. Hans-Jörg von Mettenheim mettenheim@iwi.uni-hannover.de Institut für Wirtschaftsinformatik Leibniz Universität Hannover

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik

6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Michael Kohler Dipl.-Math. Andreas Fromkorth Dipl.-Inf. Jens Mehnert SS 9 1.6.29 6. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik Aufgabe 22 Sei P ein auf der Borelschen

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.

8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W. 8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Beispiel 7.5.1: Es werden drei ideale Münzen geworfen, und der Gewinn sei X := Anzahl von W. In Beispiel 7.4.1 hatten wir dazu eine Wahrscheinlichkeitverteilung ermittelt: X

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

Beweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 457.

Beweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 457. Exkurs A: Bedingte Erwartungswerte, bedingte Verteilungen (Ω, A, P ) sei W-Raum, X : Ω IR P-quasiintegrierbar, F A Unter - σ- Algebra. E(X F) = E P (X F) (Version des) bedingter Erwartungswert von X unterf

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko

Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko Jan Jescow Stoehr Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion

Mehr

Mathematik des Hybriden Monte-Carlo. Marcus Weber. Zuse Institute Berlin

Mathematik des Hybriden Monte-Carlo. Marcus Weber. Zuse Institute Berlin Mathematik des Hybriden Monte-Carlo Marcus Weber Zuse Institute Berlin Statistische Thermodynamik Ziel: Am Computer ein Ensemble samplen. Messung im Gleichgewicht (zeitunabhängige Verteilung π der Systemzustände

Mehr

12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable.

12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. 12 Ungleichungen Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: min c R E(X c)2 = Var X. Beweis: Für alle reellen Zahlen c R gilt: E(X

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

Kapitel 8: Zufallsvektoren

Kapitel 8: Zufallsvektoren Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse 03.12.2015 Kapitel 8: Zufallsvektoren Statt einem Merkmal werden häufig mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtet, z.b. Körpergröße und

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass f Z (z) = Pr[Z = z] = x W X Pr[X + Y = z X = x] Pr[X = x] = x W X Pr[Y = z x] Pr[X = x] = x W X f X (x) f Y (z x). Den Ausdruck

Mehr

Solvency II und die Standardformel

Solvency II und die Standardformel Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

ε heteroskedastisch BINARY CHOICE MODELS Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS?

ε heteroskedastisch BINARY CHOICE MODELS Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS? BINARY CHOICE MODELS 1 mit Pr( Y = 1) = P Y = 0 mit Pr( Y = 0) = 1 P Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS? Y i = X i β + ε i Probleme: Nonsense Predictions

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Die n-dimensionale Normalverteilung

Die n-dimensionale Normalverteilung U. Mortensen Die n-dimensionale Normalverteilung Es wird zunächst die -dimensionale Normalverteilung betrachtet. Die zufälligen Veränderlichen X und Y seien normalverteilt. Gesucht ist die gemeinsame Verteilung

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume

Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume 1. Einfuhrung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 195/460 Beispiel 78 Wir betrachten

Mehr

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k

Mehr

Stochastik Praktikum Markov Chain Monte Carlo Methoden

Stochastik Praktikum Markov Chain Monte Carlo Methoden Stochastik Praktikum Markov Chain Monte Carlo Methoden Humboldt-Universität zu Berlin 14.10.2010 Problemstellung Wie kann eine Zufallsstichprobe am Computer simuliert werden, deren Verteilung aus einem

Mehr

Erwartungswerte, Varianzen

Erwartungswerte, Varianzen Kapitel 3 Erwartungswerte, Varianzen Wir wollen nun Zufallsvariablen eine Maßzahl zuordnen, die ihr typisches Verhalten in vager Weise angibt. Haben wir n Punkte x 1,...,x n R d, so ist der Schwerpunkt

Mehr

Die Funktion f X;Y (x; y) := Pr[X = x; Y = y] heit gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y. Aus der gemeinsamen Dichte f X;Y kann man ableiten

Die Funktion f X;Y (x; y) := Pr[X = x; Y = y] heit gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y. Aus der gemeinsamen Dichte f X;Y kann man ableiten Die Funktion f ;Y (x; y) := Pr[ = x; Y = y] heit gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen und Y. Aus der gemeinsamen Dichte f ;Y kann man ableiten f (x) = y2w Y f ;Y (x; y) bzw. f Y (y) = Die Funktionen

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam.

Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam. Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam.de 1 Gliederung 7 Weitere Krigingverfahren 7.1 Simple-Kriging 7.2 Indikator-Kriging

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald Copula Funktionen Eine Einführung Nils Friewald Institut für Managementwissenschaften Abteilung Finanzwirtschaft und Controlling Favoritenstraße 9-11, 1040 Wien friewald@imw.tuwien.ac.at 13. Juni 2005

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren

Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren Anton Klimovsky 21. Juli 2014 Strichprobenerzeugung aus einer Verteilung (das Samplen). Markov- Ketten-Monte-Carlo-Verfahren. Metropolis-Hastings-Algorithmus. Gibbs-Sampler.

Mehr

Zentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie

Zentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Zentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Christian Ivicevic (christian.ivicevic@tum.de) Technische Universität München 14. Juni 2017 Agenda Disclaimer und wichtige Hinweise Übungsaufgaben Disclaimer

Mehr

Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle

Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Diplomverteidigung Universität Rostock Institut für Mathematik 20.01.2011 Agenda 1 Das Ornstein-Uhlenbeck Volatilitätsmodell 2 in L 2 (R 2 ) 3 4 Problem

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 0

Aufgaben zu Kapitel 0 Aufgaben zu Kapitel 0 0.1. Seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte Mengen A 1, A 2 und A 3 so wählen, dass A 1 A 2 A 3 = A B gilt? 0.2. Seien E ein Menge und A eine Teilmengen von E.

Mehr

72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel

72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel 30 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel Wir untersuchen nun die Konvergenz von Fourier-Reihen im quadratischen Mittel in

Mehr