V A,i (T) = V A,i (t)exp µ A,i σ2 A,i 2. T t. ist die Volatilität.

Transkript

1 Das multivariate KMV Modell: Berechnung von multivariaten Default Wahrscheinlichkeiten Seien (W j(t): 0 t T,) unabhängige Standard Brown sche Bewegungen, j = 1,2,...,m. Grundlegendes Modell: ( ) V A,i (T) = V A,i (t)exp µ A,i σ2 A,i (T t)+ 2 µ A,i ist die Drift und σ 2 A,i = m j=1 σ2 A,i,j m j=1 ist die Volatilität. ) σ A,i,j (W j (T) W j (t), σ A,i,j quantifiziert den Einfluss der Brown schen Bewegung j auf die Entwicklung des Aktienwertes der Firma i. m Sei Y i = j=1 σ A,i,j(W j (T) W j (t)) σ A,i T t. Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) N(0,Σ) wobei Σ ij = m k=1 σ A,i,kσ A,j,k σ A,i σ A,j Dann gilt V A,i (T) < K i Y i < DD i wobei DD i = lnv A,i (t) lnk i + ( σ 2 A,i 2 +µ A,i )(T t) σ A,i T t 10

2 Wahrscheinlichkeit, dass die ersten k Firmen zahlungsunfähig werden: CΣ Ga P(X 1 = 1,X 2 = 1,...,X k = 1) = P(Y 1 < DD 1,...,Y k < DD k ) = C Ga Σ (φ( DD 1 ),...,φ( DD k ),1,...,1) ist die Copula einer multivariaten Normalverteilung mit Kovarianzmatrix Σ. Häufigkeit der multivariaten Zahlungsunfähigkeit (joint default frequency): JDF 1,2,...,k = C Ga Σ (EDF 1,EDF 2,...,EDF k,1,...,1) wobei EDF i die Häufigkeit der Zahlungsunfähigkeit für die Firma i, i = 1,2,...,k, ist. 11

3 Schwierigkeiten: Schätzung der Kovarianzen/Korrelationen σ A,i,j n ist typischerweise sehr groß wenige historische Daten vorhanden, wenn n groß, dann bilden die paarweise geschätzten Korrelationskoeffizienten i.a. keine positiv definite Korrelationsmatrix. Mögliche Lösung: Faktormodell für die latenten Variablen in dem der Aktienwert durch eine Reihe von gemeinsamen Faktoren (makro-ökonomische, globale, regionale, sektor-, länder- und branchenspezifische Faktoren) und einem firmenspezifischen Faktor bestimmt wird: Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T = AZ +BU wobei Z = (Z 1,...,Z k ) T N k (0,Λ) sind k gemeinsame Faktoren U = (U 1,...,U n ) T N d (0,I) sind die Firmenspezifischen Faktoren Z und U sind unabhängig und die Konstanten Matrizen A = (a ij ) R n k, B = diag(b 1,...,b n ) R n n sind Modellparameter. Es gilt dann cov(y) = AΛA T +D wobei D = diag(b 2 1,...,b2 n) R n n. 12

4 Migration basierte Modelle: Credit Metrics Wurde einst bei J.P.Morgan entwickelt, aktuell bei MSCI ( Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000)) Basiert auf ein Bonität-Einstufungssystem (zb. von Moody oder von Standard and Poor s). Berücksichtigt die Veränderungen im PF-Wert aufgrund von Veränderungen in den Bonität-Einstufungen. Sei P ein Portfolio von n Krediten mit einer fixen Laufzeit (zb. 1 Jahr). Sei S i der Zustand-Indikator von Kreditnehmer i. Die möglichen Zustände werden mit 0,1,...,m bezeichnet, wobei S i = 0 der Zahlungsunfähigkeit entspricht. Beispiel 1 Einstufungssystem von Standard and Poor s m = 7; S i = 0 heißt Zahlungsunfähigkeit; S i = 1 oder CCC; S i = 2 oder B; S i = 3 oder BB; S i = 4 oder BBB; S i = 5 oder A; S i = 6 oder AA; S i = 7 oder AAA. 13

5 Für jeden Kreditnehmer wird die Dynamik der Bonität-Einstufungen mit Hilfe einer Markov Kette mit Zustandsmenge {0,1,...,m} und Übergangsmatrix P modelliert. Die Übergangswahrscheinlichkeiten werden mit Hilfe von historischen Daten geschätzt, zb.: Ursprüngliche Einstufung am Ende des Jahres Zahlungs- Einstufung AAA AA A BBB BB B CCC unfähigkeit AAA AA A BBB BB B CCC Recovery Rates Im Fall einer Zahlungsunfähigkeit hängt die recovery rate von der Einstufung des Kreditnehmers ab. Der Durchschnittswert und die Standardabweichung der recovery rate werden aufgrund von historischen Daten innerhalb jeder Einstufungsklasse geschätzt. 14

6 Evaluierung der Bonds im Falle einer Neu-Einstufung Beispiel 2 Betrachten wir ein BBB Bond mit Laufzeit 5 Jahre. Er zahlt jedes Jahr ein Kupon von 6%. Die forward Zinsstrukturkurven (forward yield curves) für jede Einstufungsklasse sind wie folgt gegeben (in %): Einstufung 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr AAA AA A BBB BB CCC Für ein Nennwert von 100 zahlt der Bond 6 Währungseinheiten am Ende des 1., 2., 3. und 4. Jahres. Am Ende des 5. Jahres zahlt der Bond 106 Währungseinheiten. Annahme: Am Ende des ersten Jahres wird der Bond neu als A Bond eingestuft. Wert des Bonds am Ende des ersten Jahres: V = ,73% = (1+4,32%) 2 (1+4,93%) 3 (1+5,32%) 4 15

7 Analog wird der Wert des Bonds am Ende des 1. Jahres ermittelt, falls er zu diesem Zeitpunkt zu anderen Klassen eingestuft wird. Es wird eine recovery rate von 51.13% im Falle von Zahlungsunfähigekt angenommen. Einstufung am Ende des 1. Jahres Wert AAA AA A BBB BB B CCC Zahlungsunfähigkeit

8 Wert und Risiko eines Bond-Portfolios in Credit Metrics Die Abhängigkeit der Neueinstufungen unterschiedlicher Bonds und die Wahrscheinlichkeiten von Neueinstufungen von Gruppen von Bonds werden mit Hilfe der dazugehörigen Rendite berechnet. Die Rendite von Bond i wird als Normalverteilung Y i modelliert. Seien d Def, d CCC,..., d AAA = + Schwellwerte, sodass für ein Kreditnehmer die Wahrscheinlichkeit des Übergangs in einer neuen Stufe S i am Ende einer vordefinierten Periode folgendermaßen gegeben sind: P(S i = 0) = φ(d Def ), P(S i = CCC) = φ(d CCC ) φ(d Def ),..., P(S i = AAA) = 1 φ(aa). Die Rendite mehrerer Bonds werden mit Hilfe der multivariaten Normalverteilung modelliert. Die Korrelationsmatrix dieser Verteilung wird in Credit Metrics mit Hilfe von Faktormodellen berechnet. Dann können Gesamtwahrscheinlichkeiten wie P(S 1 = 0,...,S n = 3) = P(Y 1 d Def,...,d B < Y n d BB ) berechnet werden. Als Modell für die Abhängigkeitsstruktur des Vektors (Y 1,Y 2,...,Y n ) wird die Gauss sche Copula(!) verwendet. Die Risikomasse eines Kreditportfolios werden mit Hilfe von Simulationen berechnet. Es werden viele Szenarien generiert, aufgrund derer der empirische VaR ermittelt wird. 17

9 Ansätze basierend auf gemischte Modelle Annahme: Zahlungsunfähigkeit eines Kreditnehmers hängt von mehreren (maktoökonomischen) Faktoren, die stochastisch modelliert werden, ab. Bei einer gegebenen fixen Realisierung dieser Faktoren hängen Zahlungsunfähigkeiten unterschiedlicher Kreditnehmer nicht von einander ab. Die Bernoulli gemischte Verteilung Der 0 1 Zufallsvektor X = (X 1,...,X n ) T hat eine Bernoulli gemischte Verteilung (BMV) wenn es einen Zufallsvektor Z = (Z 1,Z 2,...,Z m ) T, m < n, und Funktionen f i :R m [0,1], i = 1,2,...,n, gibt, sodass X bedingt durch Z ein Vektor von unabhängingen Bernoulli verteilten Zufallsvariablen ist, und P(X i = 1 Z) = f i (Z), P(X i = 0) = 1 f i (Z) Für x = (x 1,...,x n ) T {0,1} n gilt P(X = x Z) = n f i (Z) x i (1 f i (Z)) 1 x i 18

10 Die unbedingte Verteilung: ( n P(X = x) = E(P(X = x Z)) = E Annahme: alle Funktionen f i sind identisch, f i = f. f i (Z) x i (1 f i (Z)) 1 x i Für die Anzahl der Zahlungsunfähigkeitsfällen N = n X i gilt N Z Binomial(n,f(Z)). )

11 Die Poisson gemischte Verteilung Der diskrete Zufallsvektor X = (X 1,...,X n ) T hat eine Poisson gemischte Verteilung (PMV), wenn es einen Zufallsvektor Z = (Z 1,Z 2,...,Z m ) T, m < n, und Funktionen λ i :R m (0, ), i = 1,2,...,n, gibt, sodass X bedingt durch Z ein Vektor von unabhängingen Poisson verteilten Zufallsvariablen ist, und P(X i = x i Z) = λ i(z) x i x i! e λ i(z) für x i N {0}. Für x = (x 1,...,x n ) T (N {0}) n gilt P(X = x Z) = Die unbedingte Verteilung: n λ i (Z) x i x i! ( n P(X = x) = E(P(X = x Z)) = E e λ i(z) λ i (Z) x i x i! ) e λ i(z) 19

12 Die Poisson gemischte Verteilung (Fortsetzung) Annahme: X = ( X 1,..., X n ) T ist PMV mit Faktoren Z. Sei X i = I [1, ) ( X i ). X = (X 1,...,X n ) ist BMV mit f i (Z) = 1 e λ i(z) Falls λ i (Z) klein gilt für die Anzahl der Zahlungsunfähigkeiten: Ñ = n X i n X i. Ñ Z Poisson( λ(z)) wobei λ = n λ i (Z). i = 1 20

13 Annahmen: Beispiele von Bernoulli gemischten Verteilungen Z ist univariat (d.h. es gibt einen Risikofaktor) f i = f für alle i Es gilt: P(X i = 1 Z) = f(z), i; N Z = n X i Binomial(n,f(Z)). Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass die ersten k Kreditnehmer zahlungsunfähig werden P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0) = E(P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0 Z)) = E(f(Z) k (1 f(z)) n k ) Sei G die Verteilungsfunktion von Z. Dann gilt: P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0) = f(z) k (1 f(z)) n k d(g(z)) Die Verteilung der Anzahl N der Zahlungsunfähigen Kreditnehmer : ( n P(N = k) = k) f(z) k (1 f(z)) n k d(g(z)) 21

14 Die Beta-gemischte Verteilung Es gilt Z Beta(a,b) und f(z) = z. Die Dichte g von Z: g(z) = 1 β(a,b) za 1 (1 z) b 1, für a,b > 0, z (0,1) wobei β(a,b) = 1 0 za 1 (1 z) b 1 dz die Euler sche Betafunktion ist. Verteilung der Anzahl der zahlungsunfähigen Kreditnehmer: ( n P(N = k) = k) 1 z k (1 z) n k g(z)dz = 1 0 ( n 1 z k) a+k 1 (1 z) n k+b 1 dz = β(a, b) 0 ( n ) β(a+k,b+n k) beta-binomial Verteilung k β(a, b) Probit-normal Mischung Z N(0,1), f(z) = φ(µ + σz), µ R, σ > 0 und φ ist die Standard Normalverteilungsfunktion. Logit-normal Mischung Z N(0,1), f(z) = (1+exp{µ+σz}) 1, µ R, σ > 0. 22

15 CreditRisk + - Ein Poisson gemischtes Modell (Entwickelt von CSFB in 1997, siehe Crouhy et al. (2000) und suisse.com/investment banking/research/en/credit risk.jsp m unabhängige Risikofaktoren Z 1,Z 2,...,Z m, Z j Γ(α j,β j ), j = 1,2,...,m, sodass E(Z j ) = 1. λ i (Z) = λ i m j=1 a ijz j, m j=1 a ij = 1 für i = 1,2,...,n. λ i > 0, α j, β j sind Konstante. α j, β j werden meistens so gewählt, dass E(λ i (Z)) = λ i > 0) gilt. Die Dichte von Z j ist folgendermassen gegeben: f j (z) = zα j 1 exp{ z/β j } β α j j Γ(α j ) Verlust bei Kredit i durch Zahlungsunfähigkeit von Kreditnehmer i: LGD i = (1 λ i )L i, 1 i n, wobei λ i die erwartete deterministische Recovery rate ist und L i die Höhe von Kredit i ist. Das Ziel ist, die Verlustverteilung durch eine diskrete Verteilung zu approximieren und für diese die Erzeugende Funktion zu ermitteln. 23

16 Sei Y eine diskrete ZV mit Wertebereich {y 1,...,y m } oder eine kontinuierliche ZV mit Dichtefunktion f(y) in R Die erzeugende Funktion von Y ist definiert als m g Y (t) := E(t Y ) = t y i P(Y = y i) bzw. g Y (t) := t y f(y)dy für t [0,1]. Einige Eigenschaften der erzeugenden Funktionen: (i) Wenn Y Bernoulli(p) dann g Y (t) = 1+p(t 1). (ii) Wenn Y Poisson(λ), dann g Y (t) = exp{λ(t 1)}. (iii) Für unabhängige Zufallsvariablen X 1,...,X n gilt n g X X n (t) = g Xi (t). 24

17 (iv) Sei Y eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion f und sei g X Y=y (t) die erzeugenden Funktion von X Y = y. Dann gilt g X (t) = g X Y=y (t)f(y)dy. (v) Sei g X (t) die erzeugende Funktion von X. Dann gilt P(X = k) = 1 k! g(k) X (0) wobei g(k) X (t) = dk g X (t). dt k

18 Die Erzeugende Funktion der Verlustverteilung Jeder Verlust wird als ganzzahliges Vielfaches einer vordefinierten Verlusteinheit L 0 (zb. L o = 10 6 Euro): [ ] (1 λi )L [ ] i LGD i = (1 λ i )L i L 0 = v i L 0 mit v i := (1 λi )L i L 0 wobei [x] = argmin t { t x :t Z,t x ( 1/2,1/2]}. L 0 Die Verlustfunktion: L = n X iv i L 0. (a) Ermittlung der erzeugenden Funktion für N = X X n X i Z Poisson(λ i (Z)), i = g Xi Z(t) = exp{λ i (Z)(t 1)}, i = g N Z (t) = n g Xi Z(t) = n exp{λ i (Z)(t 1)} = exp{µ(t 1)}, (5) mit µ := n λ i(z) = n ( λ i m j=1 a ijz j ). g N (t) = g N Z=(z1,z 2,...,z m )f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = { n m exp ( λ i j=1 } a ij z j )(t 1) f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = 25

19 exp { (t 1) m ( n λ i a ij }{{} µ j j=1 ) } z j ) f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = exp{(t 1)µ 1 z 1 }f 1 (z 1 )dz 1...exp{(t 1)µ m z m }f m (z m )dz m = m j=1 0 1 exp{z j µ j (t 1)} β α j j Γ(α j) zαj 1 j exp{ z j /β j }dz j (6) Die Berechnung der einzelnen Integrale in (6) ergibt: 0 1 Γ(α j )β α j j exp{z j µ j (t 1)}z α j 1 j exp{ z j /β j }dz j = ( 1 δj 1 δ j t ) αj δ j = β j µ j /(1+β j µ j ). (7)

20 Es gilt also g N (t) = m ( ) αj 1 δj. 1 δ j t j=1 (b) Ermittlung der erzeugenden Funktion für L = n X iv i L 0. Bedingter Verlust aufgrund Zahlungsunfähigkeit von Kreditnehmer i: L i Z = v i (X i Z); L i Z unabhängig für i = 1,2,...,n. g Li Z(t) = E(t L i Z) = E(tv ix i Z) = g Xi Z(t v i ). Die erzeugende Funktion des gesamten Verlusts bedingt durch Z: n n g L Z (t) = g L1 +L L n Z(t) = g Li Z(t) = g Xi Z(t v i ) = m n exp j( j=1z λ i a ij (t v i 1) ). 26

21 Ähnlich wie bei der Berechnung von g N (t) erhalten wir: m ( ) αj 1 δj g L (t) = wobei Λ j (t) = 1 n λ i a ij t v i. 1 δ j Λ j (t) j=1 δ j und µ j sind wie in (7) bzw. (5) gegeben. Beispiel 3 Kreditportfolio mit n = 100 Krediten, Anzahl der Risikofaktoren m = 1 oder m = 5, λ i = λ = 0.15, für i = 1,2,...,n, α j = α = 1, β j = β = 1, a i,j = 1/m, i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m P(N = k) = 1 k! g(k) N (0) = 1 d k g N k! dt. k Für die Berechnung von P(N = k), k = 0,1,...,100, kann folgende rekursive Formel verwendet werden: k 1 g (k) N (0) = l=0 ( k 1 ) l g (k 1 l) N (0) m j=1 µ j l!α j δ l+1 j, k > 1 27

22 Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen Einflussfaktoren. Gesucht: VaR α (L) = q α (L), CVaR α = E(L L > q α (L)), CVaR i,α = E(L i L > q α (L)). Bei Anwendung von Monte Carlo (MC) Simulation tritt das Problem der Simulation von seltenen Ereignissen auf ( rare event simulation )! ZB. α = 0,99. Nur etwas 1% der standard MC Simulationen führt zu einem Verlust L, sodass L > q α (L). Standard MC Schätzer: ĈVaR (MC) α (L) = 1 n I (q α,+ )(L i ) n L i I (qα,+ )(L i ) wobei L i der Verlustwert in der i-ten Simulationslauf ist. (L) ist sehr instabil, d.h. hat eine sehr hohe Varianz, wenn die Anzahl der Simulationen n nicht sehr sehr groß ist. ĈVaR (MC) α 28

23 Grundlagen von Importance Sampling Sei X eine ZV in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit absolut stetiger Verteilungsfunktion und Dichtefunktion f. Gesucht: θ = E(h(X)) = h. h(x)f(x)dx für eine bekannte Funktion Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: h(x) = I A (x). Berechnung von CVaR: h(x) = xi x>c (x) mit c = VaR(X). Algorithmus 1 (Monte Carlo Integration) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte f. (2) Berechne den standard MC Schätzer ˆθ (MC) n = 1 n n h(x i). Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen: lim n ˆθ n (MC) sicher. = θ gilt fast Im Falle von seltenen Ereignissen (zb. h(x) = I A (x), P(A) << 1) ist die Konvergenz sehr langsam. 29

24 Sei g eine Wahrscheinlichkeitsdichte, sodass f(x) > 0 g(x) > 0. { f(x) g(x) > 0 Wir definieren das Likelihood Ratio als: r(x) := g(x) 0 g(x) = 0 Es gilt: θ = Algorithmus 2 (Importance Sampling) h(x)r(x)g(x)dx = E g (h(x)r(x)) (8) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte g. (2) Berechne den IS-Schätzer ˆθ (IS) n = 1 n n h(x i)r(x i ). g heißt Importance Sampling -Dichte. Ziel: Auswahl einer Importance Sampling -Dichte, sodass die Variance des IS-Schätzers wesentlich kleiner als die Varianz des standard MC-Schätzers ist. ) var(ˆθ n (IS) = 1 n 2(E g(h 2 (X)r 2 (X)) θ 2 ) ) var(ˆθ n (MC) = 1 n 2(E(h2 (X)) θ 2 ) 30

25 Theoretisch kann die Varianz des IS-Schätzers auf 0 reduziert werden! Annahme h(x) 0, x. Für g (x) = f(x)h(x)/e(h(x)) gilt: ˆθ (IS) 1 = h(x 1 )r(x 1 ) = E(h(X)). Der IS-Schätzer gibt den richtigen Wert nach einer einzigen Simulation! Sei h(x) = I {X c} (x) wobei c >> E(X) (seltenes Ereignis). Es gilt E(h 2 (X)) = P(X c) und E g (h 2 (X)r 2 (X)) = h 2 (x)r 2 (x)g(x)dx = E g (r 2 (X);X c) = (9) h 2 (x)r(x)f(x)dx = h(x)r(x)f(x)dx = E f (r(x);x c) (10) Das Ziel ist g so auszuwählen, dass E g (h 2 (X)r 2 (X)) klein wird, oder sodass r(x) für x c klein und das Ereignis X c unter der Dichte g wahrscheinlicher als unter der Dichte f ist. 31