Credit Risk I. Einführung in die Kreditrisikomodellierung. Georg Pfundstein Betreuer: Rupert Hughes-Brandl. 02. Juli 2010

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1 Credit Risk I Einführung in die Kreditrisikomodellierung. Georg Pfundstein Betreuer: Rupert Hughes-Brandl 02. Juli 2010 Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Basel II Rating 2 Grundlegende Begriffe 3 Verteilungsannahmen Bernoulli Modell Poisson Modell 4 Portfoliomodelle Ein-Faktor-Merton Modelle CreditMetrics und KMV CreditRisk + CreditPortfolioView Intensitätsmodelle Beispiel Kritikpunkte 5 Zusammenfassung 6 Quellen Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

3 Grundlagen Modellierung des künftigen Ausfallverhalten der Kreditnehmer. Kreditausfall: Nicht vertragsmäßige Erfüllung der Zahlungsverpflichtungen eines Kreditnehmers. Hauptproblem bei der Modellierung sind die Abhängigkeiten der einzelnen Kredite innerhalb eines Portfolios. Beweggründe für statistisch orientiertes Kreditrisikomanagement: Steigerung der Wettbewerbsfähigkeit durch Optimierung der Portfolios. Nachhaltige und risikoorientierte Steuerung des Kreditinstituts. Externer Druck zum Einsatz statistischer Verfahren bei der Kreditrisikomessung durch die Basler Papiere. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

4 Basel II 1974: Gründung des Basel Committee on Banking Supervision nach großer Bankeninsolvenz. Erarbeitung von Empfehlungen für die Bankenaufsicht. Bessere Erfassung der Risiken bei Kreditvergabe und risikogerechtere Gestaltung der Eigenkapitalvorsorge. Nur für international tätige Institute bindend. Umsetzung in Deutschland durch MaRisk und Solvabilitätsverordnung. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

5 Rating Beschreibt Kreditwürdigkeit eines Kreditnehmers unter Einbezug von quantitativen sowie qualitativen Informationen. AAA Ausfallrisiko ist fast Null. AA Leichtes Ausfallrisiko, trotzdem sichere Anlage. A Sichere Anlage, solang kein unvorhergesehenes Ereigniss die Wirtschaftslage beeinträchtigt. BBB Durchschnittliche Anlage. Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage ist mit Problemen zu rechnen. BB Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage ist mit Ausfällen zu rechnen. Spekulative Anlage. B Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage sind Ausfällen wahrscheinlich. Spekulative Anlage. CCC Nur bei günstiger Entwicklung sind keine Ausfälle zu erwarten. CC Hohe Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls. C Insolvenzverfahren beantragt aber noch nicht in Zahlungsverzug. D In Zahlungsverzug. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

6 Rating Zuordnung historischer Ausfall- bzw. Migrationswahrscheinlichkeiten: P(R i R j ) AAA AA A BBB BB B C D AAA AA A BBB BB B C D Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

7 Erwarteter Verlust Der erwartete Verlust ist durch: Verlustquote bei Ausfall LGD Forderungshöhe bei Ausfall EAD (EAD = OUT + γ COMM) Ausfallwahrscheinlichkeit DP = p bestimmt: L = EAD LGD I D, mit P(D) = DP EL = E(L) = EAD LGD P(D) = EAD LGD DP m m EL PF = EL i = EAD i LGD i DP i i=1 i=1 Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

8 Unerwarteter Verlust Maßzahl zur Bewertung der Variabiltät der zufälligen Verluste: UL = V(L) = EAD LGD DP(1 DP) UL PF = V(L PF ) m m = EAD i EAD j LGD i LGD j i=1 j=1 DP i (1 DP i ) DP j (1 DP j ) Cov(DP i, DP j ) ρ = 0: perfekte Diversifikation. ρ = 1: Ausfall eines Kredits führt zum Ausfall der anderen Kredite. ρ = 1: perfekte anti-korrelation. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

9 Value at Risk & Ökonomisches Kapital Unter Value at Risk versteht man das α-quantil des Portfolioverlustes, also den Verlust der mit einer Wahrscheinlichkeit von α nicht überschritten wird: VaR α = inf{q > 0 P(L PF q) α}. Ökonomisches Kapital als zusätzliche Rücklage gegen Kreditausfälle: EC α = VaR α EL PF Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

10 Expected Shortfall & Risikobeiträge Unter dem Expected Shortfall versteht man den erwarteten Verlust, falls der Verlust den Value at Risk bereits überschritten hat: E(L PF L PF VaR α ). Oft ist man allerdings nicht allein an den Risikokennzahlen eines Portfolios interessiert, sondern vielmehr an dem Beitrag eines einzelnen Kreditnehmers an einer bestimmten Risikokennzahl eines Portfolios. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

11 Verlustverteilung Abbildung: Beispielhafte Verlustverteilung aus Bluhm et al. [2006]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

12 Verteilungsannahmen Betrachtung von zwei Zuständen (Ausfall, nicht Ausfall). Ausfälle hängen von zugrundeliegenden ökonomischen Faktoren ab. Verteilungsparameter unterliegen einer Schwankung, sind also selber stochastisch. Mischverteilung Geschlossene Form der Verlustverteilung. Unabhängige Ausfälle gegeben einer Realisation der zugrundeliegenden Parameter. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

13 Bernoulli Modell und Ausfälle L = (L 1,..., L m ) folgen einer Bernoulliverteilung L i B(1, p i ) Korrelation der Ausfälle über Mischverteilung. m P(L 1 = l 1,..., L m = l m ) = p l i i (1 p i) 1 l i df (p 1,..., p m ) E(L i ) = E(P i ) [0,1] m i=1 V(L i ) = E(P i )(1 E(P i )) Cov(L i, L j ) = E(L i L j ) E(L i )E(L j ) = Cov(P i, P j ) Corr(L i, L j ) = Cov(P i, P j ) E(Pi )(1 E(P i ) E(P j )(1 E(P j )) Mit einheitlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten und Varianzen: Corr(L i, L j ) = V(P) p(1 p) Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

14 Poisson Modell und Ausfälle folgen einer Poissonverteilung L i Pois(λ i ) Korrelation der Ausfälle wieder über Mischverteilung. P(L 1 = l 1,..., L m = l m) = e m m j=1 λ λ l i j i [0, ) m l i! df (λ 1,..., λ m ) E(L i) = E(Λ i ) i=1 V(L i) = V(E(L i Λ)) + E(V(L i Λ)) = V(Λ i ) + E(Λ i ) Cov(L i, L j) = Cov(Λ i, Λ j ) Corr(L i, L j) = Cov(Λ i, Λ j ) V(Λi ) + E(Λ i ) V(Λ j ) + E(Λ j ) Mit einheitlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten und Varianzen: Corr(L i, L j) = V(Λ) V(Λ) + E(Λ) = D Λ D Λ + 1, mit D Λ = V(Λ) E(Λ) Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

15 Portfoliomodelle Portfoliomodelle können in die folgenden Typen unterteilt werden: Asset-Wert Modelle: CreditMetrics und KMV Macroökonomische Modelle: CreditPortfolioView Versicherungsmathematische Modelle: CreditRisk + Intensitätsmodelle: CreditRisk + Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

16 Ein-Faktor-Merton Modelle Erklärung der Korrelation durch zugrundeliegende Faktoren. Industrie- oder Länderspezifische Faktoren. Vermögenswert (Asset-Wert) einer Firma unterliegt einem schwankenden Prozess. Kreditausfall, falls der Vermögenswert A (i) t unter eine Schranke c i fällt: L i = I (i) {A B(1; P(A(i) t <c i } T < c i)). Vermögenswert folgt Brownscher Bewegung A (i) t = A (i) 0 exp[(µ i 1 2 σ2 i )t + σ i B (i) t ] Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

17 Ein-Faktor-Merton Modelle Abbildung: Beispielhafter Vermögenswertprozess aus Bluhm et al. [2006]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

18 Ein-Faktor-Merton Modelle Darstellung des Asset-Wertes über Renditen. Level 1 (Aufteilung in spezifischen und systematischen Teil): R i = β i φ i + ɛ i Level 2 (Darstellung des systematischen Faktors durch Industrie und Länder Indizes): K K 0 K φ i = ω i,k ψ k mit ω i,k = ω i,k = 1. k=1 k=1 k=k 0 +1 Level 3 (Globaler Industrie und Länderindex): ψ = BΓ + δ R = βw (BΓ + δ) + ɛ Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

19 Ein-Faktor-Merton Modelle Abbildung: Risikozerlegung im Faktoren Modell aus Bluhm et al. [2002]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

20 CreditMetrics und KMV log-renditen r i hängen von nur einem systematischen Faktor Y N(0, 1) ab: r i = ϱ i Y + 1 ϱ i ɛ i, Aus p i = P(r i < c i ) und r i N(0, 1) folgt: L i = I {ri <c i } B(1; P(r i < c i )) und c i = Φ 1 (p i ). Ausfallkorrelation: ρ ij = Corr(L i, L j ) Assetkorrelation: Corr(r i, r j ) = ϱ i ϱj Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

21 CreditMetrics und KMV Auf eine Realisation des systematischen Faktors Y bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit: p i (y) = P(r i < c i Y = y) = P( ϱ i Y + 1 ϱ i ɛ i < c i Y = y) ( = P ɛ i < c i ) ϱ i Y Y = y 1 ϱi ( ci ) ϱ i y = Φ. 1 ϱi Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

22 CreditMetrics und KMV Abbildung: Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Wirtschaftslage aus Bluhm et al. [2002]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

23 CreditMetrics und KMV Abbildung: Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Wirtschaftslage und der unbedingten Ausfallwahrscheinlichkeit aus Bluhm et al. [2002]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

24 CreditMetrics und KMV Unbedingter prozentualer Verlust bei homogenen Portfolios: ( P LR PF = LGD k ) ( ) m = p(y) k (1 p(y)) m k dφ(y) m k Grenzverteilung für große uniforme Portfolios (m ) LR (m) PF ( Φ 1 m LGD p(y ), mit p(y ) = Φ (p) ) ϱy 1 ϱ Dichtefunktion der Grenzverteilung ( 1 ϱ (Φ 1 (x)) 2 f p,ϱ (x) = (Φ( 1) (p) Φ 1 (x) ) 1 ϱ) 2. ϱ 2 2ϱ Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

25 CreditMetrics und KMV Grenzverteilung hängt nur noch von der Ausfallwahrscheinlichkeit p und der Assetkorrelation ϱ ab. Schätzung durch historische Daten. Geschlossene Form der Verlustverteilung im Fall der Grenzverteilung. Geschlossene Form bei uniformen Portfolios durch Mischverteilung. Ansonsten keine geschlossene Form, sondern Herleitung der Verteilung mit Hilfe einer Monte-Carlo Simulation. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

26 CreditRisk + Versicherungsmathematischer Ansatz. Basierend auf einer Poisson-Mischverteilung. Intensitäten werden über Gammaverteilung bestimmt. Geschlossene Form der Verlustverteilung. Unabhängige Sektoren S = (S 1,..., S N ) repräsentieren Industriezweige, Länder, Regionen oder jegliche andere ökonomische Einflüsse. Ausfallintensität über Sektorgewichte 0 ω ik 1 mit N k=1 ω ik 1 bestimmt. Spezifisches Restrisiko: ω i0 = 1 N k=1 ω ik Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

27 CreditRisk + Jedem Sektor ist eine unabhängig Gammaverteilte Intensitätrate Λ (k) Γ(α k, β k ) zugeordnet. Risiko eines Sektors gegeben durch λ (k) = E(Λ (k) ) = α k β k σ (k) = V(Λ (k) ) = α k βk 2. Diskretisierung der Verluste zu Exposure Bändern: ( ) EADi LGD i υ i = round Korrektur der Ausfallwahrscheinlichkeit. L 0 Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

28 CreditRisk + Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kreditnehmers i: p(s) i = p i N k=0 ω ik S k. Erwarteter Portfolioverlust: m E(L PF (S)) = p(s) i υ i = N i=1 k=0 S k m i=1 ω ik p i υ i Unerwarteter Portfolioverlust: m V(L PF (S)) = υi 2 p i + i=1 ( N m k=1 i=1 ω ik p i υ i)2 1 α k Ausfallkorrelation zweier Kreditnehmer: pi p j N ρ ij = ω ik ω jk V(S k ) (1 pi )(1 p j ) Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40 k=1

29 CreditRisk + Herleitung der Verlustverteilung mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen. Poisson-Gamma-Mischverteilung mit Γ(α, β) entspricht einer negativen Binomialverteilung NB(α k, 1/(1 + β k )) Auf einen Sektor bedingte Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Verlustanzahl: ( ) 1 β αk k 1+β G L (z) = k (k) 1 β k 1+β k z Welche Exposure Bänder sind von dem Verlust betroffen? Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

30 CreditRisk + Wahrscheinlichkeit eines Ausfalles in einem Exposure Band: P(B k = υ [j] ) = 1 ω ik λ i λ (k) i [j] Verteilung der Verluste in Sektor k: 1 β k G L = 1+β k (k)(z) 1 β k 1 me 1+β k λ (k) j=1 i [j] ω ikλ i z υ [j] Verteilung der Portfolioverluste: N G L (z) = k=1 1 β k 1 β k 1+β k 1 λ (k) me j=1 1+β k i [j] ω ikλ i z υ [j] α k α k. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

31 CreditPortfolioView Modellierung der Abhängigkeit der Kreditausfälle von der Konjunktur. Risikosegmente reagieren unterschiedlich auf Wirtschaftslage. Seperate Migrationsmatrizen für jedes Segment: 1 Ausfallwahrscheinlichkeit p s anhand von Macroökonomischen Faktoren. 2 Wirtschaftslage aus Sicht eines Segements durch Risikoindex r s = ps r s < 1 positive Wirtschafstentwicklung. r s > 1 negative Wirtschaftsentwicklung. 3 Bedingte Migrationsmatrizen M (s) m (s) ij = α ij (r s 1) + m ij, mit n α ij = 0, α ij 0 für i < j und α ij 0 für i > j. j=1 p s : Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

32 Intensitätsmodelle Zeitstetige Erweiterung von CreditRisk +. Ausfallzeit für jeden Kreditnehmer. Ausfall falls Ausfallzeit in betrachtetem Zeitrahmen [0, T ] liegt. Intensitätsprozess durch stochastische Differenzialgleichung: dλ(t) = κ(θ λ(t))dt + σ λ(t)db(t) + J(t) Jump Prozess J(t) unabhängig von Brownscher Bewegung (B(t)) t 0 mit exponentialverteilten Sprunghöhen und Poissonverteilten Zeitpunkten. Modellierung abhängiger Ausfallzeitpunkte durch Addition von unabhängigen Identitätsprozessen: λ i = X c + X i Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

33 Beispiel Abbildung: Beispielportfolio aus Bluhm et al. [2006]. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

34 Beispiel Verlustverteilung durch CreditMetrics mit ϱ = 0: Verlust in EUR Wahrscheinlichkeit kum. Wahrscheinlichkeit % % % % % % % % % % Verlustverteilung durch CreditMetrics mit ϱ = 0.20: Verlust in EUR Wahrscheinlichkeit kum. Wahrscheinlichkeit % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

35 Beispiel Verlustverteilung durch CreditRisk + mit ρ = 0: Verlust in EUR Wahrscheinlichkeit kum. Wahrscheinlichkeit % % % % % % % % % % Verlustverteilung durch CreditRisk + mit ρ = 0.009: Verlust in EUR Wahrscheinlichkeit kum. Wahrscheinlichkeit % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

36 Beispiel Verlustkennzahlen bei CreditMetrics: Verlustkennzahlen bei CreditRisk + : ϱ = 0 ϱ = 0.20 EL UL VaR ρ = 0 ρ = EL UL VaR Keine großen Unterschiede zwischen den beiden Modellen. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

37 Kritikpunkte Verzicht auf Marktrisiko, dass heißt konstante Zinssätze. Wahl eines geeigneten Default Points. Normalverteilungsannahme der log-renditen. Überdispersion bei Poissonverteilung. Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ratingagenturen: Wahrscheinlichkeiten beruhen auf den unterschiedlichsten Firmen und Konjunkturstadien. Überschätzung der Ausfälle durch Mittelwertsbildung. Langsame Reaktion auf Änderungen (Migrationen). Wahre Migrationswahrscheinlichkeiten i.a. größer. Mangel an historischen Ausfällen in den besten Kategorien. Aber Tests auf Benchmark Portfolios bringen bei allen Modellen sinnvolle Ergebnisse. Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

38 Zusammenfassung Optimierung der Portfolios durch Kreditrisikomanagement. Richtlinien durch Basel II. Korrelation zwischen den Ausfällen ist Zentrale Einflussgröße. Einbezug der Korrelation über Mischverteilungsansatz. Verschiedene Modellierungsansätze: Vermögenswertprozess mit Länder- oder Industriespezifischen Einflussfaktoren. Poisson-Gamma-Mischverteilung mit Sektorspezifischen Intensitäten. Bedingte Migrationsmatrizen anhand Macroökonomischer Einflussgrößen. Erweiterungen für CreditRisk + Zukünftige Einbindung von stochastischen Zinssätzen Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

39 Zusammenfassung Gegenüberstellung der bekanntesten Modelle: KMV CreditMetrics CreditRisk + CPV Entwickler RiskMetrics Moody s Credit Suisse McKinsey (Chase Group) Ansatz Asset-Wert Asset-Wert Versicherungsmathematisch Macroökonomisch Risikotreiber Vermögenswert Eigenkapital Ausfallintensität Wirtschaftslage Verteilungsannahme Bernoulli Bernoulli Poisson Korrelationen Faktoren Faktoren Sektoren Segmente Verlustverteilung Simulation Simulation geschlossene Form Simulation Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40

40 Quellen C. Bluhm, L. Fahrmeir, and A. Henking. Kreditrisikomessung: Statistische Grundlagen, Methoden und Modellierung. Springer, C. Bluhm, L. Overbeck, and W. Wagner. An Introduction to Credit Risk Modelling. Taylor and Francis Ltd., M. Crouhy, D. Galai, and R. Mark. A comparative analysis of current credit risk models. Journal of Banking & Finance, 24:59 117, Georg Pfundstein Credit Risk I 02. Juli / 40