Credit Risk I. Einführung in die Kreditrisikomodellierung. Georg Pfundstein. Ludwig-Maximilians-Universität München. 31. August 2010.

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1 Credit Risk I Einführung in die Kreditrisikomodellierung. Georg Pfundstein Ludwig-Maximilians-Universität München 31. August 2010 Abstract Portfoliomanagement und die damit einhergehende Risikomessung ist ein wichtiger Aspekt im modernen Kreditwesen geworden. Nicht zuletzt durch Basel II entstanden viele kommerzielle und nicht kommerzielle Portfoliomodelle zur Messung und Steuerung des Ausfallrisikos von Krediten. Die vorliegende Arbeit soll einen Überblick über grundlegende Begriffe der Kreditrisikomodellierung und deren verschiedenen Modellierungsansätzen geben. Dabei wird ein Hauptaugenmerk auf die Modelle CreditRisk + und KMV gelegt.

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Basel II Rating Grundlegende Begriffe Erwartete Verlust - Expected Loss Unerwarteter Verlust - Unexpected Loss Value at Risk Ökonomisches Kapital - Economic Capital Expected Shortfall Risikobeitrag - Risk Contribution Verlustfunktion - Loss Distribution Verteilungsannahmen Bernoulli Modell Poisson Modell Portfoliomodelle Ein-Faktor-Merton Modelle CreditMetrics und KMV CreditRisk Portfolioverlust CreditPortfolioView Intensitätsmodelle Kritikpunkte Beispiel CreditMetrics CreditRisk Zusammenfassung 30 A. Literatur 32 2

3 1. Einführung In der Kreditrisikomodellierung geht es um die Modellierung des künftigen Ausfallverhaltens der Kreditnehmer eines Portfolios mit Hilfe statistisch- mathematischer Methoden. Dabei versteht man unter einem Kreditausfall die nicht vertragsmäßige Erfüllung der Zahlungsverpflichtung eines Kreditnehmers. Im folgenden wird ein Kreditausfall auch mit dem englischen Wort Default bezeichnet. Da man in den meisten Fällen davon ausgehen kann, dass die Kreditausfälle innerhalb eines Portfolios miteinander korrelieren genügt es nicht nur die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Kreditnehmer zu kennen. Vielmehr muss neben einer Verlustverteilung auch eine zugrundeliegende Korrelationsstruktur angenommen werden. Weshalb man zur Modellierung komplexerer statistischer Portfoliomodelle übergeht. Die vorliegende Arbeit soll dabei einen Ein- und Überblick über ein paar der bekanntesten und etabliertesten Modelle geben. Da das Kreditrisiko einen der größten Risikoposten der Kreditinstitute darstellt gibt es für die Banken viele Beweggründe ein mathematisch beziehungsweise statistisch orientiertes Kreditrisikomanagement zu betreiben. Ein Hauptgrund ist dabei die Wettbewerbsfähigkeit, da man das Wissen über seine Risiken auch wirkungsvoll zur Steuerung und Optimierung einsetzen kann. Nicht zuletzt durch steigenden Wettbewerbsdruck ist es wichtig seine Risiken zu kennen und dadurch sein Kreditinstitut nachhaltig und risikoorientiert zu steuern. Sind einer Bank die Risiken seines Portfolios bekannt kann es dieses Wissen gezielt zur Optimierung seines Kreditportfolios und daher zur Risikominimierung einsetzen. Darüberhinaus gibt es natürlich auch gesetzliche Gründe beziehungsweise Richtlinien welche den Einsatz von statistischen Kreditrisikomodellen vorschreiben. Hierbei ist vor allem Basel II zu nennen, welches im folgenden Unterkapitel vorgestellt werden soll Basel II Seit Ende der Achtziger wird durch das Inkrafttreten der Basler Papiere vermehrt politischer Druck zum Einsatz statistischer Verfahren bei der Kreditrisikomessung ausgeübt. Ausschlaggebend zur Gründung des Basel Commitee on Banking Supervision, welches Empfehlungen für die Bankenaufsicht ausarbeiten soll war die Insolvenz der Herstatt-Bank im Jahr Dabei sind die Basler Richtlinien nur für international tätige Insitute bindend, sollen aber auch als Empfehlung zur Umsetzung in nationales Recht herangezogen werden. In Deutschland wurden die Richtlinien in der Solvabilitätsverordnung und der MaRisk in nationale Gesetze umgesetzt. Seit 2004 gibt es Basel II, mit wessen Hilfe die Risiken bei der Kre- 3

4 ditvergabe besser erfasst werden sollen und die Eigenkapitalvorsorge der Banken risikogerechter gestaltet werden soll. Dabei basiert Basel II auf einem Drei-Säulen- Modell, wobei im vorliegenden Fall hauptsächlich die erste Säule von Bedeutung ist. In ihr wird die Mindestanforderung an zu unterlegendem Eigenkapital bei Kreditrisiken reguliert Rating Um die Kreditwürdigkeit eines Unternehmens zu beschreiben werden die Kreditnehmer beziehungsweise deren Kredite in verschieden Risikoklassen, sogenannte Ratings eingeteilt. Die Einteilung in die ordinalenskalierten Kategorien erfolgt dabei anhand quantitativer, sowie qualitativer Informationen zur Bonität der Unternehmen. Als Beispiel können dabei wirtschaftliche Aspekte wie die Eigenkapitalquote, der Gewinn oder die Liqudität, sowie die Managementqualität, die Prozessorganisation oder die Unternehmensstrategie genannt werden. In Tabelle 1 sind beispielhaft die Kategorien der Ratingagentur S&P 1 sammt kurzer Beschreibung angegeben. In der Praxis werden die jeweiligen Kategorien oftmals noch in ein unteres und oberes Drittel untergliedert. Der horizontale Strich zwischen den Ratings BBB und BB teilt die Kategorien in die Gruppe der als investitionswürdig beziehungsweise spekulativ angesehenen Unternehmen ein. AAA AA A BBB BB B CCC CC C D Ausfallrisiko ist fast Null. Leichtes Ausfallrisiko, trotzdem sichere Anlage. Sichere Anlage, solang kein unvorhergesehenes Ereignis die Wirtschaftslage beeinträchtigt. Durchschnittliche Anlage. Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage ist mit Problemen zu rechnen. Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage ist mit Ausfällen zu rechnen. Spekulative Anlage. Bei Verschlechterung der Wirtschaftslage sind Ausfälle wahrscheinlich. Spekulative Anlage. Nur bei günstiger Entwicklung sind keine Ausfälle zu erwarten. Hohe Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls. Insolvenzverfahren beantragt aber noch nicht in Zahlungsverzug. In Zahlungsverzug. Tabelle 1: Symbolische Rating Kategorien und deren Bedeutung. 1 Standard and Poor s (S&P) zählt neben Moody s und Fitch Ratings zu den größten Ratingagenturen der Welt. 4

5 Da sich die Einstufung eines Unternehmens in eine bestimmte Ratinggruppe mit der Zeit ändern kann, werden den Ratingklassen historische ein- beziehungsweise mehrjährige Ausfallwahrscheinlichkeiten zugeordnet. Dabei sind die durchschnittlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen mit Rating R i in der nächsten Periode Zahlungsunfähig ist gegeben, also p i = P(R i default). In der Praxis ist dabei vor allem zu beachten, dass für die besten Kategorien, also AAA oft keine historischen Ausfälle vorhanden sind und somit keine vernünftigen durchschnittlichen Wahrscheinlichkeiten geschätzt werden können. In solchen Fällen werden die Ausfälle dann häufig über lineare Regressionsgleichungen geschätzt. Allgemeiner wird in sogenannten Migrationsmatrizen M die Wahrscheinlichkeit P(R i R j ) angegeben, wobei die Zeilensummen der Matrix M jeweils gleich 1 sind. Das heißt, bei Migrationsmatrizen handelt es sich im allgemeinen um stochastische Matrizen. Die folgende Migrationsmatrix zeigt beispielhaft die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ratingmigrationen. AAA AA A BBB BB B C D AAA AA A BBB BB B C D Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kreditnehmer mit Rating BB in dem darauffolgenden Betrachtungszeitraum Insolvent geht mit 1.44% gegeben. Die Migrationsmatrizen spielen bei der späteren Herleitung der Portfoliomodelle eine wichtige Rolle. 2. Grundlegende Begriffe Im folgenden werden die wichtigsten Begriffe aus der Kreditrisikomessung erklärt und anhand der entsprechenden Analoga aus der Statistik erläutert. Um den Nutzen und Aufbau der einzelnen Begriffe leichter darstellen zu können, wird dabei in den meisten Fällen auf vereinfachende Annahmen zurückgegriffen. 5

6 2.1. Erwartete Verlust - Expected Loss Um sich vor möglichen Kreditausfällen abzusichern ist es ratsam die erwarteten Verluste als Art Kreditversicherung anzusehen und als Rücklage einzubehalten um mögliche Verluste in der Zukunft decken zu können. Der Verlust eines Kredits kann durch die Verlustquote bei Ausfall LGD (Loss given Default), der Forderungshöhe bei Ausfall EAD (Exposure at Default) und der Ausfallwahrscheinlichkeit DP = p (Default probability) bestimmt werden. In der einfachsten Form, das heißt unter Annahme von deterministischen EAD und LGD ist der Verlust eines Schuldners dann durch L = EAD LGD I D, mit P(D) = DP (1) gegeben. Wobei die dichotome Variable D für das Ereignis eines Kreditausfalles innerhalb einer bestimmten Zeitperiode steht und I D eine Indikatorfunktion darstellt. Dabei können die Ausfallwahrscheinlichkeiten DP im Wesentlichen durch zwei unterschiedliche Ansätze bestimmt werden: Entweder durch Schätzung der Wahrscheinlichkeit aufgrund von Marktdaten wie zum Beispiel durch die Entwicklung der Vermögenswerte über einen entsprechenden Zeitraum wie im Falle des KMV Ansatzes, welcher in Kapitel 3.2 näher vorgestellt wird. Oder durch heranziehen historischer Ausfallwahrscheinlichkeiten der anfangs erwähnten Ratings. Das Exposure at Default (EAD) lässt sich aus den ausstehenden Verbindlichkeiten (outstandings, OUT ) und den commitments COMM, das heißt den zum Ausfallzeitpunkt noch abrufbaren Kreditrahmen bestimmen. Darüberhinaus lassen sich die commitments noch in drawn und undrawn aufteilen, das heißt in zukünftig noch genutzte und nicht mehr genutzte Kreditmöglichkeiten. Zusammen lässt sich das Exposure at Default also schreiben als EAD = OUT + γ COMM, (2) wobei γ den erwarteten Anteil an noch in Anspruch genommenen Krediten darstellt. Der erwartete Verlust durch einen einzelnen Kreditnehmer, ebenfalls unter Annahme deterministischer EAD und LGD ist dann gegeben durch: EL = E(L) = EAD LGD P(D) = EAD LGD DP. (3) Aufgrund der Tatsache, dass sich Banken in der Regel nicht nur für einen speziellen Kredit interessieren, sondern für große Kreditportfolios geht man bei 6

7 der Betrachtung des erwarteten Verlustes auf das gesamte Kreditportfolio über. Gegeben ein Portfolio bestehend aus m Krediten und unabhängigen Verlusten kann der erwartete Verlust wie folgt geschrieben werden: m m EL P F = EL i = EAD i LGD i DP i. (4) i=1 i= Unerwarteter Verlust - Unexpected Loss Neben dem erwarteten Verlust sollten Kreditinstitute auch Rücklagen zur Deckung von unerwartetem Verlust anlegen. Als Maßzahl zur Bewertung der Variabilität der zufälligen Verluste bietet sich natürlich die Standardabweichung des Verlustes an. Aus diesem Grund ist der unerwartete Verlust (unexpected loss) wie folgt definiert: UL = V(L) = EAD LGD DP (1 DP ). (5) Wobei hier zur leichteren Veranschaulichung ebenfalls wieder nur die Ausfallwahrscheinlichkeit DP als stochastisch angenommen werden. LGD und EAD gelten als gegeben. Bei der Verallgemeinerung des unexpected loss auf das gesamte Portfolio spielt die Korrelation zwischen den einzelnen Ausfallwahrscheinlichkeiten und damit zwischen den einzelnen Krediten eine wichtige Rolle. Der unerwartete Verlust eines Portfolios kann durch UL P F = V(L P F ) m m = EAD i EAD j LGD i LGD j (6) i=1 j=1 DP i (1 DP i ) DP j (1 DP j ) Cov(DP i, DP j ) beschrieben werden. Im folgenden sollen drei verschiedene Korrelationszenarien innerhalb eines Portfolios aufgezeigt werden: Im Falle von ρ = 0 handelt es sich um eine perfekte Diversifikation. Das heißt, die Kredite eines Portfolios sind komplett unabhängig und der Ausfall eines Kredits beeinflusst die anderen Kredite nicht. Dieser Fall minimiert das gesamte Portfoliorisiko. Ist die Korrelation ρ > 0 erhöht der Ausfall eines Kredites die Wahrscheinlichkeit des Ausfalles der anderen Kredite. Im Falle von perfekter Korrelation (ρ = 1) führt der Ausfall eines Kredites unweigerlich zum Ausfall der anderen Kredite. 7

8 Im umgekehrtem Fall ρ = 1 handelt es sich um eine perfekte Antikorrelation. Das heißt, im Falle eines Portfolios aus 2 Krediten würde das Risiko des einen Kredits durch den zweiten Kredit komplett neutralisiert werden. Man spricht dann auch von einem perfekten Hedge. Darüberhinaus gilt UL P F = Value at Risk Unter Value at Risk V ar α versteht man das α-quantil des Portfolioverlustes L P F. Das heißt denjenigen Verlust, der mit einer Wahrscheinlichkeit von α nicht überschritten wird. In der Praxis sind α Werte von 99.9% keine Seltenheit. Daher gilt ein Überschreiten des Value at Risk als extrem unwahrscheinliches und seltenes Verlustereignis. Der Value at Risk ist definiert durch V ar α = inf{q > 0 P(L P F q) α}. (7) 2.4. Ökonomisches Kapital - Economic Capital Obwohl der erwartete und unerwartete Verlust bereits eine gute Rücklage gegen Kreditausfall darstellt, ist die Wahrscheinlichkeit dennoch groß, dass die Verluste diesen Wert überschreiten. Aus diesem Grund geht man zur Definition des Ökonomischen Kapitals (EC, Economic Capital) über. Welches als Differenz des Value at Risk und des erwarteten Verlusts definiert wird: EC α = V ar α EL P F, (8) Zu beachten ist, dass das Ökonomische Kapital dabei sehr stark von der gewählten Wahrscheinlichkeit α abhängig ist Expected Shortfall Unter dem Expected Shortfall versteht man den erwarteten Verlust, falls der Verlust den Value at Risk überschritten hat. Das heißt, der Expected Shortfall kann als bedingter Erwartungswert gegeben der Portfolioverlust ist mindestens so groß wie der Value at Risk angesehen werden: E(L P F L P F V ar α ). (9) 8

9 2.6. Risikobeitrag - Risk Contribution Oft ist man allerdings nicht allein an den Risikokennzahlen eines Portfolios interessiert, sondern vielmehr an dem Beitrag eines einzelnen Kreditnehmers an einer bestimmten Risikokennzahl eines Portfolios. Das heißt, mit den Risikobeiträgen können unter anderem besonders riskante Kredite eines Portfolios identifiziert werden. Bestimmt werden die Risikobeiträge über die partielle Ableitung der Risikokennzahl nach dem entsprechenden Kreditnehmer Verlustfunktion - Loss Distribution Anhand der Verteilung der Variable L P F können alle vorgestellten Risikokennzahlen sowie Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Verlustereignisse bestimmt werden. Die sogenannte Verlustfunktion spielt daher eine entscheidende Rolle im Kreditrisikomanagement. Abbildung 1 zeigt eine typische Verlustfunktion inklusive der wichtigsten Risikokennzahlen. Die Verlustfunktion kann entweder durch Monte Carlo Simulation oder durch analytische Approximation einer bekannten Verteilungsfunktion generiert werden. Die gebräuchlichsten Ansätze zur Herleitung dieser Funktion werden in den folgenden Kapiteln vorgestellt. 3. Verteilungsannahmen Wie zu Beginn dieser Arbeit bereits erwähnt ist jedem Kreditnehmer i eines Portfolios ein Rating R i zugewiesen und dementsprechend eine Ausfallwahrscheinlichkeit p i. Die Einstufung eines Unternehmens in eine bestimmte Ratingkategorie kann sich im laufe der Zeit ändern. Solch eine Änderung wird auch Migrationsrisiko genannt. Formal lässt sich die Ausfallwahrscheinlichkeit daher als p i = P(R i d) (10) schreiben. Wobei das Rating d mit dem Kreditausfall gleichzusetzen ist. Im folgenden wird allerdings nur der vereinfachte Fall von nur zwei Zuständen (Ausfall, nicht Ausfall) betrachtet. Als grundlegende Verteilungsannahme der Ausfallwahrscheinlichkeiten im Falle von nur zwei Zuständen bietet sich ein Bernoulli oder Poisson Modell an. Im Allgemeinen kann man davon ausgehen, dass die Ausfallwahrscheinlichkeiten beziehungsweise Intensitäten von zugrundeliegenden ökonomischen Faktoren 9

10 Abbildung 1: Typischer Verlauf einer Portfolioverlust-Verteilung, inklusive Kennzeichnung der wichtigsten Risikokennzahlen (aus Bluhm et al. [2006], Seite 28). wie zum Beispiel dam Wirtschaftswachstum, dem BIP oder der Arbeitslosenquote abhängen. Das heißt, aufgrund von konjunkturellen Schwankungen sind die Parameter der entsprechenden Verteilungsannahme nicht konstant, sondern unterliegen selber einer gewissen Schwankung. Aus diesem Grund geht man zu sogenannten Mischverteilungen über. Hierbei entsprechen die Parameter der Basisverteilung, also die Wahrscheinlichkeit p im Falle der Bernoulliverteilung oder die Intensitätsrate λ im Falle der Poissonverteilung widerum einer zufälligen Realisation aus einer zugrundeliegenden Verteilung. Das heißt, die eigentlichen Ausfälle werden in einem zweistufigen Verfahren ermittelt. Ein Vorteil des Mischverteilungsansatzes besteht darin, das eine geschlossene, analytisch bestimmbare Form der Verlustverteilung erhalten wird, was vor allem die Handhabbarkeit erleichtert und die notwendige Rechenzeit verkürzt. Ein weiterer Vorteil der Mischverteilungsmodelle besteht darin, dass die Ausfälle gegeben einer Realisierung der zugrundeliegenden Parameterverteilung unabhängig sind. Das heißt, man kann für die Verteilung der Parameter eine gewisse Korrelationsstruktur annehmen und erhält trotzdem die schöne Eigenschaft von unabhängig verteilten Ausfällen. In den folgenden zwei Unterkapiteln werden die bereits erwähnten Bernoulli- und Poissonmischverteilung genauer vorgestellt. 10

11 3.1. Bernoulli Modell Vereinfacht dargestellt folgen die einzelnen Ausfallvariablen L = (L 1,..., L m ) einer Bernoulliverteilung B(1; p i ), das heißt im Falle von unabhängigen Kreditnehmern ist der Portfolioverlust durch eine Binomialverteilung L B(m; p i ) gegeben. Wie bereits erwähnt kann in der Praxis allerdings nicht angenommen werden, dass die einzlnen Kreditausfälle unkorreliert sind. Aus diesem Grund geht man zu den bereits erwähnten Mischverteilungen über. Dabei werden die Ausfallwahrscheinlichkeiten p i als Zufallsvariablen P = (P 1,..., P m ) aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung F gezogen. Gegeben einer Realisiereng P = p sind die Verluste L dann unabhängig. Die unbedingte gemeinsame Verteilungsfunktion der L i s ist dann durch P(L 1 = l 1,..., L m = l m ) = und m [0,1] m i=1 E(L i ) = E(P i ) V(L i ) = E(P i )(1 E(P i )) p l i i (1 p i ) 1 l i df (p 1,..., p m ), mit l i {0, 1} Cov(L i, L j ) = E(L i L j ) E(L i )E(L j ) = Cov(P i, P j ) Corr(L i, L j ) = Cov(P i, P j ) E(Pi )(1 E(P i ) E(P j )(1 E(P j )) gegeben. In Portfolios bei denen alle Kredite annähernd die selben Risikoeigenschaften aufweisen, macht es oft Sinn mit einheitlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten und Korrelationen innerhalb dieses Portfolios zu rechnen. In diesem Fall lässt sich die Ausfallkorrelation wie folgt berechnen: Corr(L i, L j ) = V(P ) p(1 p) (11) Je höher also die Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeiten P ist, desto höher ist die Ausfallkorrelation. Im Gegensatz dazu ist die Korrelation Corr(L i, L j ) = 0 falls die P s nicht zufällig sind, das heißt wenn deren Varianz gleich 0 ist. In diesem Fall folgt der Portfolioverlust wieder einer Binomialverteilung mit Verlustwahrscheinlichkeit p. Die bekanntesten Industriemodelle die einen Bernoulli Ansatz verfolgen sind die Portfoliomodelle von CreditMetrics und KMV. Beide Modelle werden in Kapitel 4.1 ausführlicher vorgestellt. 11

12 3.2. Poisson Modell Im Poisson Ansatz werden die Ausfälle durch Poissonverteilte Zufallsvariablen mit Intensität λ i modelliert, das heißt: L i P ois(λ i ), L i {0, 1, 2,...}, p i = P(L i 1). Die Poissonverteilung erlaubt per Definition multiple Kreditausfälle eines einzelnen Kreditnehmers. Allerdings ist das Eintreten eines solchen Ereignisses aufgrund der geringen Intensitätsrate relativ unwahrscheinlich und daher vernachlässigbar. Um korrelierte Ausfälle modellieren zu können kommt wiederum ein Mischverteilungsansatz zum Einsatz. Das heißt, die Intensitäten Λ = (Λ i,..., Λ m ) der Poissonverteilung L i P ois(λ i ) folgen einer Verteilungsfunktion F, wobei F in dem Intervall [0, ) definiert sein muss. Bedingt auf eine Realisation λ = (λ i,..., λ m ) von Λ sind die Verlustvariablen L i also wieder unabhängig. Die unbedingte Verteilungsfunktion der Verluste ist dann durch und P(L 1 = l 1,..., L m = l m) = E(L i) = E(Λ i ) e m j=1 λ j [0, ) m m i=1 λ l i i l i! df (λ 1,..., λ m ) (12) V(L i) = V(E(L i Λ)) + E(V(L i Λ)) = V(Λ i ) + E(Λ i ) Cov(L i, L j) = Cov(Λ i, Λ j ) Corr(L i, L j) = Cov(Λ i, Λ j ) V(Λi ) + E(Λ i ) V(Λ j ) + E(Λ j ) gegeben. Man sieht, dass die Ausfallkorrelation auch hier wieder nur von der Verteilungsfunktion F abhängt. Geht man auch hier wieder zu einem Portfolio mit einheitlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten beziehungsweise Intensitäten über lässt sich die Korrelation durch Corr(L i, L j) = V(Λ) V(Λ) + E(Λ) = D Λ D Λ + 1, mit D Λ = V(Λ) E(Λ) beschreiben. Wobei D Λ die Dispersion der Intensitäten Λ darstellt, das heißt, ein Anstieg der Dispersion verstärkt die Korrelation zwischen den Kreditausfällen. Im Gegensatz zu einem vergleichbaren Bernoulli Modell hat die Verlustverteilung des Poisson Modells dünnere Enden. 12

13 4. Portfoliomodelle Aufgrund der eingangs erwähnten Basler Richtlinien wurden in den letzten Jahren von etliche Kreditinstituten Modelle zur Messung von Portfoliorisiken entwickelt. Dabei greifen die meisten Modelle auf eine der im letzten Kapitel vorgestellten Mischverteilungen zurück und können in vier verschiede Typen unterteilt werden: Asset-Wert Modelle: CreditMetrics und KMV Macroökonomische Modelle: CreditPortfolioView Versicherungsmathematische Modelle: CreditRisk + Intensitätsmodelle: CreditRisk + Die folgenden Kapitel sollen eine Einführung in die verschiedenen Modelle geben und dabei die unterschiedlichen Vorgehensweisen verdeutlichen Ein-Faktor-Merton Modelle Bei der Modellierung der Korrelationen wird in der Regel auf sogenannte Factor Models zurückgegriffen. Dabei werden die Korrelationen zwischen den Krediten (Schuldnern) anhand zugrundeliegender Faktoren erklärt, wobei die Faktoren zum Beispiel Industrie- oder Länderspezifischer Art sein können. In der Praxis hat das hauptsächlich den Vorteil der Dimensionsreduktion. Angenommen ein Portfolio besteht aus m = 1000 Krediten, dann müssten m(m 1)/2 = unterschiedliche Korrelationen geschätzt werden, was einen enormen Rechenaufwand bedeuten würde. Im Falle eines Faktoren Modells reduziert sich dies auf die Schätzung der paarweisen Korrelationen zwischen den einzelnen Faktoren. Zwei der bekanntesten Factor Modelle wurden durch die Firmen KMV 2 und RiskMetrics 3 entwickelt. Beide Modelle folgen der Idee, dass jeder Firma ein schwankender Vermögenswertprozess (Asset-Wert-Prozess) unterliegt, anhand dessen Wertes man entscheiden kann ob die entsprechende Firma zu einem bestimmten Zeitpunkt als zahlungsunfähig oder zahlungsfähig anzusehen ist. Falls der Vermögenswert A (i) t innerhalb einer bestimmten Zeitperiode t unter eine bestimmte kritische Schranke c i (Default Point) fällt wird der entsprechende Kreditnehmer als zahlungsunfähig und die zugehörigen Kredite als ausgefallen angesehen, das 2 KMV gehört zu Moody s und entwickelt Softwarelösungen zum Kreditportfoliomanagement. 3 Die Firma RiskMetrics entstand aus der früheren JPMorgan Bank, welche heutzutage zur Chase Group gehört. 13

14 heißt L i = I (i) {A t <c i B(1; P(A(i) } T < c i)). (13) Falls der Default Point c i zum Beispiel den Wert aller finanziellen Verbindlichkeiten der Firma i darstellt, würde ein Unterschreiten der kritische Schranke durch den Asset-Wert bedeuten, dass die Vermögen der Firma nicht mehr ausreichen um alle Verbindlichkeiten der Firma zu begleichen. Allgemein geht das Ein-Faktor-Modell nach Merton davon aus, dass der Asset- Wert eines Unternehmens von einem zugrunde liegendem latenten Prozess abhängt, welcher durch die an Black-Scholes angelehnte geometrische Brownsche Bewegung A (i) t = A (i) 0 exp[(µ i 1 2 σ2 i )t + σ i B (i) t ] modelliert werden kann. Daher lässt sich das Merton-Modell auch in die große Klasse der Asset-Wert-Modelle eingliedern. Abbildung 2 zeigt einen typischen Verlauf eines Vermögenswertprozess A (i) t über einen Zeitraum T. Die durch Monte- Carlo simulierte Verteilungskurve auf der vertikalen Achse zeigt dabei die Verteilung der Vermögenswerte, welche auf Grund der Brownschen Bewegung normalverteilt sind. Allerdings geht das Modell zu einer vereinfachten Darstellung der Renditen R i jedes Kreditnehmer i = 1,..., m Renditen R i über, welche sich dann durch eine Standard Regressionsgleichung R i = β i φ i + ɛ i (14) schreiben lassen. Wobei β i der Korrelation zwischen der Renditen und dem systematischen Faktor φ i entspricht. Alternativ zur Betrachtung der β i Werte kann man sich das Bestimmtheitsmaß R 2 anschauen. Durch die Regression lässt sich die Varianz der Renditen in einen systematischen und einen spezifischen Teil zerlegen, dass heißt, dass das Risiko einer unerwarteten Vermögenswertänderung auf ein systematisches und ein spezifisches Risiko aufgeteilt werden kann. Diese Aufteilung kann als erstes Level des Faktor Modells angesehen werden. Im zweiten Schritt wird jedes φ i durch verschiedene Industrie und Länder Indizes dargestellt: φ i = K ω i,k ψ k (15) k=1 Wobei ψ 1,..., ψ K0 die verschiedenen Industriezweige und ψ K0 +1,..., ψ K die verschiedenen Länder repräsentieren. Dementsprechend werden die Koeffizienten ω i,1,..., ω i,k0 Industriegewichte und die Koeffizienten ω i,k0 +1,..., ω i,k Ländergewichte des Unternehmen i genannt. Dabei wird angenommen, dass ω i,k 0 für alle i 14

15 Abbildung 2: Realisierung eines Vermögenswertprozess über einen Zeitraum T inklusive normalverteilter Verteilungskurve der Vermögenswerte und Default Point (aus Bluhm et al. [2002], Seite 201). und k gilt und K 0 ω i,k = k=1 k=k 0 +1 K ω i,k = 1. Im dritten und letztem Level kann darüberhinaus ein globaler Industrie- und Länderindex modelliert werden. Dazu verwendet man typischerweise eine Hauptkomponentenanalyse ebendieser Indizes, welche durch die Matrixnotation ψ = BΓ + δ (16) ausgedrückt wird. Dabei bezeichnet B die Matrix der Industrie und Länder betas, Γ den globalen Faktoren Vektor und δ der Industrie und Länder Residuen. Zusammengefasst können die Renditen in Matrixnotation also wie folgt geschrieben werden: R = βw (BΓ + δ) + ɛ. (17) Das heißt, die Portfolio Renditen R lassen sich mit Hilfe von zugrundeliegenden Faktoren beschreiben. 15

16 CreditMetrics und KMV Die Faktoren Modelle von CreditMetrics und KMV sind sich sehr ähnlich und folgen einer Spezialisierung von Gleichung (14). Die wichtigsten Unterschiede zwischen den beiden Ansätzen sind zum einen, dass das Modell von CreditMetrics anstatt Vermögenswerte Eigenkapitalwerte zur Berechnung heranzieht und zum anderen, dass im CreditMetrics Ansatz Kombinationen aus Industrie und Länder Indizes Verwendung finden. Wie bereits erwähnt verfolgen sowohl CreditMetrics als auch KMV einen Bernoulli Ansatz. Wobei anhand eines Vermögenswertprozesses entschieden wird ob das entsprechende Unternehmen als Insolvent angesehen wird oder nicht. Dabei wird der Vermögenswert wie zu Beginn von Kapitel 4.1 beschreiben durch die logarithmierten Renditen r i, welche von zugrundeliegenden Einflussgrößen abhängig sind beschrieben. CreditMetrics und KMV nehmen dabei allerdings an, dass die Korrelation zwischen den einzelnen Kreditnehmern einheitlich ist, das heißt, dass die log-renditen r i von nur einem latenten Faktor φ beschrieben werden. Der systematische latente Faktor wird dabei meißtens mit Y N(0, 1) beschrieben. Formel (14) kann dabei wie folgt umgeschrieben werden r i = ϱ i Y + 1 ϱ i ɛ i, (18) wobei ϱ i der Asset Korrelation entspricht und im vorliegenden Falle von nur einem latenten Faktor abhängig ist. Die Residuen ɛ i sind dabei standardnormalverteilt und unabhängig von Y. Da die Ausfallwahrscheinlichkeit bei einjähriger Betrachtungsweise (t = 1) durch p i = P(r i < c i ) gegeben ist und r i N(0, 1) gilt, folgt: und L i = I {ri <c i } B(1; P(r i < c i )) c i = Φ 1 (p i ). Wobei durch Φ 1 (p i ) das p i -Quantil der Standardnormalverteilung gegeben ist. Die Ausfallkorrelation zweier Schuldner ist dann durch ρ ij = Corr(L i, L j ) gegeben. Dabei wird die Abhängigkeit der Kreditausfälle ausschließlich über die Abhängigkeit der log-renditen r i und des systematischen Faktor Y erklärt. Da diese Korrelation wie bereits beschrieben durch ϱ i gegeben ist, kann die sogenannte Assetkorrelation durch Corr(r i, r j ) = ϱ i ϱj 16

17 beschrieben werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei den beiden vorgestellten Korrelationen (Ausfall- und Assetkorrelation) um grundsätzlich verschiedene Objekte handelt, diese aber voneinander abgeleitet werden können. Im Allgemeinen sind die Ausfallkorrelationen deutlich kleiner als die Assetkorrelationen. Ausfallwahrscheinlichkeit Bedingt auf eine Realisation des systematischen Faktors Y kann die Ausfallwahrscheinlichkeit p i = P(r i < c i ) eines Kreditnehmers i geschrieben werden als p i (y) = P(r i < c i Y = y) = P( ϱ i Y + 1 ϱ i ɛ i < c i Y = y) ( = P ɛ i < c i ) ϱ i Y Y = y 1 ϱi ( ci ) ϱ i y = Φ. 1 ϱi Wobei c i durch das weiter oben beschrieben p i -Quantil gegeben ist, das heißt, die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit p i fließt in die bedingte Wahrscheinlichkeit p i (y) ein. Zusammengefasst können die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten und deren Abhängigkeiten wie folgt interpretiert werden: Der Wirtschaftliche Erfolg eines Unternehmens i ist von einem globalen Industrie- oder Länder-Index Y abhängig. Diese Abhängigkeit wird durch den Faktor ϱ i quantifiziert. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten eines Portfolios bestehend aus Krediten, deren Kreditnehmer allesamt in dem selben Industriezweig oder in dem selben Land tätig sind, sind demnach entsprechend hoch korreliert. Das heißt, wird die wirtschaftliche Lage eines Industriezweiges oder eines Landes entsprechend niedrig eingeschätzt (Y klein) sind die Ausfallwahrscheinlichkeiten im Portfolio dementsprechend hoch. Wird die Wirtschaftslage allerdings gut eingestuft (Y groß) sind die Ausfallwahrscheinlichkeiten entsprechend niedrig. Abbildungen 3 und 4 sollen den eben beschriebenen Zusammenhang veranschaulichen und verdeutlichen dabei die Abhängigkeit der bedingten Ausfallwahrscheinlichkeit p i (y) von der unbedingten (durchschnittlichen) Wahrscheinlichkeit p i und der Wirtschaftslage Y. 17

18 Abbildung 3: Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit p i (y) für eine fixe unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit von p i = 0.3% in Abhängigkeit von der Wirtschaftslage Y (aus Bluhm et al. [2006]). Abbildung 4: Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit p i (y) für drei verschiedene Wirtschaftslagen Y in Abhängigkeit von der unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit p i (aus Bluhm et al. [2006]). Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit und Portfolioverlust Anstatt die Ausfallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kredites zu betrachten ist es im Allgemeinen wesentlich wichtiger die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit meherer Kredite zu bestimmen. Im Fall von zwei Krediten i und j ist die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit durch die bivariate Standardnormalverteilung P(L i, L j ) = P(r i < c i ; r j < c j ) = Φ 2 (c i, c j ; ϱ i ϱ j ) = p ij 18

19 gegeben. Darüberhinaus ist vorallem auch der gesamte Portfolioverlust und dessen Verteilung, sowie die in Kapitel 2 vorgestellten Risikokennzahlen von Interesse. Im folgenden soll der Portfolioverlust anhand des Spezialfalles von homogenen Kreditnehmern hergeleitet werden. Man spricht von homogenen Kreditnehmern, beziehungsweise einem homogenen Portfolio, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeiten und Assetkorrelationen der einzelnen Kredite uniform, das heißt gleich sind. Bedingt auf Y und gegeben uniformen Ausfallwahrscheinlichkeiten und Assetkorrelationen ist die Anzahl der Kreditausfälle k eines Portfolios binomialverteilt. Durch die zusätzliche Annahme, dass alle Kreditnehmer denselben LGD (Loss given Default) und dasselbe EAD (Exposure at Default) haben erhält man für den prozentualen Portfolioverlust LR P F : P (LR P F = LGD km ) ( m ) Y = y = P L i = k Y = y = i=1 ( ) m p(y) k (1 p(y)) m k. k Da es sich im vorliegenden Fall um eine Bernoulli-Mischverteilung (siehe Kapitel 3.1) handelt kann die unbedingte Verteilung durch ( P LR P F = LGD k ) ( ) m = p(y) k (1 p(y)) m k dφ(y) (19) m k bestimmt werden, wodurch die Verlustverteilung direkt, das heißt ohne Simulation berechnet werden kann. Zur Bestimmung des erwarteten und unerwarteten prozentualen Portfolioverlustes werden die Verlustbeiträge υ i = 1 LGD m i eines Kreditnehmers herangezogen, wodurch man m E(LR P F ) = υ i p i = LGD p (20) erhält. V(LR P F ) = i=1 m i=1 ( m m ) 2 υ i υ j p ij υ i p i = LGD 2 (p ij p 2 ) (21) j=1 Grenzverteilung der Verluste Im Falle von großen (im Sinne von Anzahl der Kredite, also m ) uniformen Portfolios konvergiert die Verlustverteilung gegen eine geschlossene Grenzverteilung. Dabei konvergiert der prozentuale Portfolioverlust LR P F für m gegen LR (m) P F i=1 ( Φ 1 m LGD p(y ), mit p(y ) = Φ (p) ) ϱy 1 ϱ 19

20 gegeben. Aus der oben genannten Formel lässt sich dann wiederum die Verteilungsund Dichtefunktion von p(y ) ableiten: ( Φ 1 (x) ) 1 ϱ Φ 1 (p) F p,ϱ (x) = P(p(Y ) x) = Φ ϱ und ( 1 ϱ (Φ 1 (x)) 2 f p,ϱ (x) = ϱ 2 (Φ( 1) (p) Φ 1 (x) ) 1 ϱ) 2. 2ϱ Das heißt, für ausreichend großes m ist das ursprünglich durch (m, p, ϱ) festgelegte uniforme Portfolio lediglich noch von der Assetkorrelation ϱ und der Ausfallwahrscheinlichkeit p abhängig. Beide Parameter können in der Praxis mit Hilfe der historischen durchschnittlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ratingklassen geschätzt werden. Den Banken dient ein solches Grenzportfoliomodell hauptsächlich zur schnellen und einfachen Bewertung von homogenen Subportfolios. Will man allerdings aufgrund eines zu kleinen Portfolios oder anderer Gründe nicht zur Grenzverteilung übergehen existiert für die Verlustverteilung leider keine geschlossene Form. In diesem Fall muss die Verteilung mit Hilfe eines Monte-Carlo-Verfahrens simuliert werden, was in der Praxis vor allem den Nachteil eines sehr viel höheren Rechenaufwandes mit sich bringt CreditRisk + Eines der am weitest verbreiteten Kreditrisikomodelle ist CreditRisk +, welches von der Credit Suisse Financial Products (CSFP) entwickelt wurde. Ein Vorteil dieses Modells im Vergleich zu den eben vorgestellten CreditMetrics und KMV Modellen ist, dass es für die Verlustverteilung eine geschlossene und berechenbare Darstellung gibt. Das heißt, die Verlustverteilung und deren Risikokennzahlen müssen nicht aus einer Monte-Carlo-Simulation gewonnen werden, sondern können analytisch bestimmt werden. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass CreditRisk + keinen Bernoulli-Mischverteilungs-, sondern einen auf einer Poisson- Mischverteilung basierenden Versicherungsmathematischen Ansatz verfolgt. Dabei werden die Intensitätsraten der Poissonverteilung wie in 3.2 beschrieben über eine Gammaverteilung bestimmt. Statt ein Ein-Faktor Modell zu unterstellen nimmt CreditRisk + ein sogenanntes Sektoren Modell an, weshalb es auch oft als Sektor-Modell bezeichnet wird. Dabei können die stochastisch unabhängigen Sektoren S = (S 1,..., S N ) Industriezweige, Länder, Regionen oder jegliche andere ökonomischen Einflüsse repräsentieren. Die Ausfallintensität eines jeden Kreditnehmers i ist dann über Sektorgewichte 0 ω ik 1 mit N k=1 ω ik 1 bestimmt. 20