Marcus R.W. Martin Stefan Reitz. Carsten S. Wehn. Kreditderivate und. Kreditrisikomodelle. Eine mathematische Einführung

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1 Marcus R.W. Martin Stefan Reitz Carsten S. Wehn Kreditderivate und Kreditrisikomodelle Eine mathematische Einführung 2., überarbeitete und erweiterte Auflage ö Springer Spektrum

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort zur zweiten Auflage Vorwort zur ersten Auflage v viii 1 Märkte und Produkte Motivation: Das Gesicht der Finanzkrise Grundlegende Begriffe Kreditrisiko und Kredit Rating als Bonitätseinschätzung Der Markt für Kreditderivate Grundlegende mathematische Begriffsbildung Kreditrisikobehaftete Produkte und Kreditderivate Kredit Defaultable Bond Kontrahentenrisiko aus bilateralen Handelsgeschäften Credit Default Swaps Digital Default Swaps Quotierungen Kreditderivate auf ein Portfolio von Referenzaktiva und-schuldnern Basket Default Swaps Collateralized Debt Obligations Standardisierte Single Tranche CDO Swaps auf liquide Kreditindizes wie itraxx und CDX Weiterführende Literatur 58 2 Modellierung des Kreditrisikos und Arbitragetheorie Diskontierung: Zerobonds und Forwards vor und nach der Krise Diskontierung und Zinskurven vor der Krise Auswirkungen der Finanzkrise auf die Diskontierung Konsequenzen für die Bewertung von Finanzinstrumenten BLACK-SCHOLES-Modell 69

3 XIV Inhaltsverzeichnis Grundlegende Annahmen und die Dynamik des Underlyings Dynamik des Derivates und die BLACK-SCHOLES-PDE Die BLACK-SCHOLES-Formel für Aktienoptionen Die Bewertungstheorie nach der Finanzkrise Arbitragefreies Marktmodell für das Kreditrisiko Theoretische Grundlagen der Modellierung Grundannahmen für die Modellierung endfälliger, kreditrisikobehafteter Produkte Allgemeine Arbitragetheorie Äquivalente Martingalmaße Bewertung endfälliger, kreditrisikobehafteter Forderungen Berücksichtigung kreditrisikobehafteter Kuponzahlungen Anwendung von Numeraire-Techniken Modellklassen für das Ausfallereignis Unternehmenswertmodelle Hazardraten- und Intensitätsmodelle Weiterführende Literatur Portfoliomodelle Kreditrisiken im Portfolio Aufgaben des Risiko-Controllings und -Managements von Banken Die Verlustverteilung Formaler Rahmen Erwartete und unerwartete Ausfälle im Kreditportfolio Ökonomisches Kapital und Credit Value-at-Risk Korrelierte Ausfälle Das BERNOULLI-Modell Das POISSON-Modell Faktormodelle Modellierung eines Kreditportfolios im MERTON-Modell Das Einfaktormodell von VASICEK (1987) Asymptotische analytische Näherungen Copulas Portfoliomodelle in der Praxis - ein erster Überblick CreditMetrics Das KMV "'-Modell CreditRisk Risikomaße für Kreditportfolios Kohärente Risikomaße Risikobeiträge 188

4 Inhaltsverzeichnis xv 3.9 Aktuelle Anmerkungen zur Praxis der Risikomessung mit bankinternen Kreditportfoliomodelle Ausbreitung der Mehrfaktor-Mark-to-Market-Modelle Varianzreduzierende Verfahren und Kapitalallokation Mehrperiodenmodelle und der Constant Level of Risk Stresstesting in Kreditrisikomodellen Weiterführende Literatur Bewertung von Kreditderivaten Generalvoraussetzungen Bewertung von CDS mit Intensitäts- und Hazardratenmodellen Das Intensitätsmodell als Marktstandard für CDS Kalibrierung des Intensitätsmodells an Marktquotierungen Anmerkungen zur Recovery Rate Stochastische Intensitäten zur Bewertung von CDS und erster Ausblick Begriff des Credit Valuation Adjustments (CVA) Geschichte, Herkunft und Zukunft des CVA Allgemeine und regulatorische Definition des CVA als Bewertungsanpassung Der regulatorische Kapitalzuschlag für CVA Herleitung der S-CVA Capital Charge Weitere Anmerkungen zum Wrong Way Risk (WWR) DVA und ein erster Ausblick zum CVA für CDS Die Rolle von Unternehmenswertmodellen Kapitalstrukturarbitrage und Anwendungsbereiche Der Ansatz von HULL, NELKEN & WHITE (2003) Weitere Ansätze und Literaturhinweise Grundlegende Verfahren zur Bewertung von Basket Default Swaps und CDO Das Modell von Li (2000) mit GAUSS'scher Copula Bewertung von Basket Default Swaps mit Monte-Carlo-Simulation nach Li (2000) Bewertung von CDO und Single Tranche CDO-Swaps Allgemeiner Rahmen zur Darstellung von Faktormodellen Das Einfaktormodell als Marktstandard zur Preisquotierung von STCDO-Swaps Einbettung des Einfaktormodells von VASICEK (1987) in den allgemeinen Rahmen Rekursive Ermittlung der bedingten Verlustverteilung bei Faktormodellen 296

5 XVI Inhaltsverzeichnis Unbedingte Verlustverteilung und Sensitivitäten Asymptotische analytische Näherungen und STCDO-Swaps Smile-Effekt der impliziten Korrelation von Tranchen Basiskorrelationen und deren Skew Aktuelle Entwicklungen und Bewertungsmodelle Faktormodelle mit lokalen Korrelationen Modelle mit stochastischen Korrelationen - ein kurzer Überblick Einbeziehung systemischer Schock-Elemente in die Modellierung Weitere Modellklassen Einige Anmerkungen zu Faktormodellen Post-Crisis-Pricing von Korrelationsprodukten Weiterführende Literatur 342 A Zufallsvariablen und stochastische Prozesse 343 A.l Zufallsvariablen und cr-algebren 343 A.2 Wichtige reellwertige Verteilungen und deren Eigenschaften A 3 Elementare stochastische Prozesse 348 A.4 Filtrationen und bedingte Erwartungen 353 A.5 Martingale und Sprungprozesse 358 B Stochastische Differenzialgleichungen und stochastische Integration 366 B.l Stochastische Differenzialgleichungen und stochastische Integration 366 B.2 ITÖ-Prozesse und Trö's-Lemma 373 B.3 Beispiele für SDEs, Satz von FEYNMAN-KAC und Satz von GIRSANOV 379 C Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen 385 C.l Copulas und SKLARS Theorem 385 C.2 Das kanonische Beispiel für eine zweidimensionale Copula D Kreditderivate: Weitere Produktbeispiele 390 D.l Asset Swaps 390 D.2 Total Rate of Return Swaps 393 D.3 Credit Linked Notes 396 D.4 Optionen auf Defaultable Bonds und Credit Spread Produkte. 399 D.5 Hybride und sonstige Kreditderivate 403 Literaturverzeichnis 404 Index 426

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