Biostatistik, Winter 2011/12

Transkript

1 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke 7. Vorlesung: /58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58

2 mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte f (t) = 1 2π e t2 /2, t R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1. 3/58 Standardnormalverteilung P[Z 1.55] = /58

3 mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte f (t) = 1 2π e t2 /2, t R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1. Ist Z standardnormalverteilt, dann ist P[Z x] = Φ(x) := 1 2π x Die Werte der Verteilungsfunktion Φ(x) = P[Z x], x R, e t2 /2 dt. sind tabelliert für x 0. Z.B. im Skript, das online steht. Für x < 0 benutzt man Φ(x) = 1 Φ( x). 5/58 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. Satz P[Z x] = Φ(x) = 1 Φ( x). P[Z x] = 1 Φ(x) = Φ( x). P[x 1 Z x 2 ] = Φ(x 2 ) Φ(x 1 ) für x 1 < x 2. 6/58

4 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 1.55] = Φ(1.55) =. 7/58 Tabelle Normalverteilung Φ x

5 Tabelle Normalverteilung Φ x Also: Φ(1.55) = /58 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 1.55] = Φ(1.55) = /58

6 Standardnormalverteilung P[Z 1.55] = /58 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. P[ 1.23 Z 2.04] = Φ(2.04) Φ( 1.23). Φ(2.04) = Φ( 1.23) = 1 Φ(1.23) = 12/58

7 Tabelle Normalverteilung Φ x Also: Φ(2.04) = /58 Tabelle Normalverteilung Φ x Also: Φ(1.23) = /58

8 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. P[ 1.23 Z 2.04] = Φ(2.04) Φ( 1.23). Φ(2.04) = Φ( 1.23) = 1 Φ(1.23) = = Und damit P[ 1.23 Z 2.04] = = /58 Standardnormalverteilung P[ 1.23 Z 2.04] = /58

9 mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 2] = 1 Φ(2) = = /58 Standardnormalverteilung P[Z 2] = /58

10 mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte f (x) = 1 2π e x 2 /2, x R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1. Ist X standardnormalverteilt und µ R, σ > 0, so hat Y := µ + σx die Dichte f Y (x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2. Die Verteilung von Y heißt Normalverteilung N µ,σ 2. 19/58 Dichte der Normalverteilung Z /58

11 mit Dichte Normalverteilung Sei X N µ,σ 2. Dann ist X = µ + σz mit Z standardnormalverteilt. Also ist X x µ + σz x Z x µ σ. Satz P[X x] = Φ((x µ)/σ) = 1 Φ( (x µ)/σ). P[X x] = 1 Φ((x µ)/σ) = Φ( (x µ)/σ). P[x 1 X x 2 ] = Φ((x 2 µ)/σ) Φ((x 1 µ)/σ) für x 1 < x 2. 21/58 mit Dichte Normalverteilung Die Größe von fünfjährigen Mädchen ist im Mittel 110cm mit einer Standardabweichung von 4cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mädchen mindestens 103cm aber höchstens 120cm groß ist? Annahme: Größe ist normalverteilt, also X N µ,σ 2 mit µ = 110 und σ = 4. P[103 X 120] = Φ(( )/4) Φ(( )/4) = Φ(2.5) Φ( 1.75) = Φ(2.5) 1 + Φ(1.75) = = Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 95%. 22/58

12 Normalverteilung P[ Z 120] = /58 mit Dichte Normalverteilung Satz Seien X 1, X 2,... unabhängig und normalverteilt mit Parametern (µ 1, σ 2 1 ), (µ 2, σ 2 2 ),... und sei S n = X X n. Dann ist S n normalverteilt mit Parametern (µ, σ 2 ), wobei µ = n µ i und σ 2 = i=1 n σi 2. i=1 24/58

13 Normalapproximation der Binomialverteilung Ist Z binomialverteilt b n,p mit np(1 p) groß (mindestens 9), so ist Z np np(1 p) ungefähr N 0,1 -verteilt. Anders gesagt: Z ist ungefähr normalverteilt mit Parametern µ = np und σ = np(1 p). Ähnliche Aussage gilt viel universeller (sehen wir später). 25/58 Binomialverteilung b 10,0.4 und Normalapprox /58

14 Binomialverteilung b 20,0.4 und Normalapprox /58 Binomialverteilung b 50,0.4 und Normalapprox /58

15 Binomialverteilung b 100,0.4 und Normalapprox /58 Binomialverteilung b 1000,0.4 und Normalappr /58

16 Gartenkresse b 100,0.2 und Normalapprox /58 Gartenkresse b 100,0.5 und Normalapprox /58

17 Gartenkresse b 100,0.8 und Normalapprox /58 Gartenkresse b 100,0.98 und Normalapprox /58

18 Normalapproximation Sei X binomialverteilt b n,p und k = 0,..., n. Satz (Normalapproximation mit Korrekturterm 0.5) Ist np(1 p) > 9, so gelten P[X k] Φ ( ) k np np(1 p) und P[X k] 1 Φ ( ) k 0.5 np. np(1 p) 35/58 Normalapproximation Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = 0.8. Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X 74], dass höchstens 74 Samen gekeimt sind? 74 w = b 100,0.8 (k). k=0 Sehr langwierig auszurechnen (aber mit dem Computer im Prinzip machbar). 36/58

19 Normalapproximation (Fortsetzung) Normalapproximation ( ) ( ) k np P[X 74] Φ = Φ np(1 p) = Φ( 1.375) = 1 Φ(1.375) 37/58 Tabelle Normalverteilung Φ x Also: Φ(1.38) = /58

20 Normalapproximation (2). Normalapproximation mit n = 100, p = 0.8, k = 74 ( ) ( ) k np P[X 74] Φ = Φ np(1 p) = Φ( 1.375) = 1 Φ(1.375) = Vergleich mit exakter Rechnung 74 w = b 100,0.8 (k) = k=0 Approximation nicht präzis, aber o.k. 39/58 Normalapproximation Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X 99], dass höchstens 99 Samen gekeimt sind? Normalapproximation ( ) P[X 99] Φ = Φ(1.07) = /58

21 Normalverteilung Φ x Also: Φ(1.07) = /58 Normalapproximation Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X 99], dass höchstens 99 Samen gekeimt sind? Normalapproximation ( ) P[X 99] Φ = Φ(1.07) = Exakte Rechnung: P[X 99] = Fehler Das ist für viele Zwecke zu groß. Normalapproximation nicht so gut, weil np(1 p) = 1.96 < 9 ist. 42/58

22 Normalapproximation Normalapproximation ( ) P[X 99] Φ = Φ(1.07) = Exakte Rechnung: P[X 99] = , Fehler Poissonapproximation: 100 X ist ungefähr Poi 2 verteilt, also P[X 99] = P[100 X 1] = 1 P[100 X = 0] 2 20 = 1 e 0! = Fehler < Schon besser. 43/58 Fehler durch Normalapproximation der Binomialverteilung np(1 p) Max. Fehler max. Fehler für W keiten > 0.95 oder < /58

23 Fehler durch Poissonapproximation der Binomialverteilung λ = np = mittlere Anz. Erfolge. Theoretische Fehlergrenze: λ/n. Tatsächlicher maximaler Fehler für einige Werte: λ n Max. Fehler Max. Fehler für W keiten > 0.95 oder < /58 Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung mit Parameter θ ist die Verteilung auf [0, ) mit Dichte f (x) = θe θx, x 0. Bedeutung wie geometrische Verteilung: Wartezeit auf Ereignisse. Radioaktive Zerfälle mit Rate 2.7 Becquerel. Also im Mittel 2.7 Zerfälle pro Sekunde. X Wartezeit auf nächsten Zerfall. Dann ist X exponentialverteilt mit θ = 2.7. Also P[X > x] = 2.7 x e 2.7 t dt = e 2.7 x. 46/58

24 Kenngrößen von Kenngrößen von Wie für Messdaten in der beschreibenden Statistik: Lagemaße geben an, wo die Verteilung konzentriert ist, Streumaße geben an, wie groß die Variabilität der Werte ist. 47/58 Kenngrößen von Median und Quantile Lagemaße Sei X Zufallsvariable mit reellen Werten. Definition (Median) Wir nennen jede Zahl m R mit P[X m] 1 2 und P[X m] 1 2 einen Median der Verteilung von X. 48/58

25 Kenngrößen von Median und Quantile Lagemaße Sei X Zufallsvariable mit reellen Werten. Definition (Quantile) Sei α (0, 1). Jede Zahl m α R mit der Eigenschaft P[X m α ] α und P[X m α ] 1 α heißt ein α Quantil der Verteilung von X. Speziell ist m 1/2 ein Median. Ein (1 α) Quantil wird auch α Fraktil genannt. 49/58 Kenngrößen von Median und Quantile Lagemaße Für viele gibt es Tabellen der Quantile. Z.B. für z α, das α-quantil der Standardnormalverteilung. Sei X normalverteilt mit Parametern µ = 2 und σ 2 = 1.8. Für welche Zahl x gilt P[X x] = 0.05? x ist ein 5%-Fraktil von N 2,1.8, bzw. ein 95%-Quantil. Tabelliert sind die Quantile von N 0,1 (Standardnormalverteilung). (X 2)/ 1.8 ist standardnormalverteilt, also ist (x 2)/ 1.8 = z 0.95 = 50/58

26 Kenngrößen von Lagemaße Quantile der Normalverteilung α z α α z α /58 Kenngrößen von Median und Quantile Lagemaße Für viele gibt es Tabellen der Quantile. Z.B. für das z α, das α-quantil der Standardnormalverteilung. Sei X normalverteilt mit Parametern µ = 2 und σ 2 = 1.8. Für welche Zahl x gilt P[X x] = 0.05? x ist ein 5%-Fraktil von N 2,1.8, bzw. ein 95%-Quantil. Tabelliert sind die Quantile von N 0,1 (Standardnormalverteilung). (X 2)/ 1.8 ist standardnormalverteilt, also ist Auflösen nach x (x 2)/ 1.8 = z 0.95 = x = = /58

27 Kenngrößen von Lagemaße Median und Quantile Änderung durch Verschieben und Strecken Sei X eine reelle Zufallsvariable und Y := a + bx. Seien m X α und m Y α die α-quantile von X und Y. Satz Es gilt m Y α = a + bm X α. 53/58 Erwartungswert Kenngrößen von Lagemaße Definition Sei X eine Zufallsvariable mit Wertebereich W R. Ist W R diskret, so definieren wir den Erwartungswert von X durch E[X] := w W w P[X = w]. Ist W R ein Intervall (möglicherweise ganz R), und hat X die Dichte f, so setzen wir E[X] := x f (x) dx. Erwartungswert entspricht dem arithmetischen Mittel von Daten. 54/58

28 Erwartungswert Kenngrößen von Lagemaße Würfelwurf X. E[X] = P[X = 1] 1 + P[X = 2] P[X = 6] 6 = = 1 ( ) = X Wartezeit auf ersten Erfolg, Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p. Also X geometrisch mit Parameter p. E[X] = P[X = k] k = k=0 k=0 p(1 p) k k = 1 p p. 55/58 Erwartungswert Kenngrößen von Lagemaße X binomialverteilt mit Parametern n, p: E[X] = n k=0 ( ) n p k (1 p) n k k = np. k X hypergeometrisch verteilt mit Parametern N, K, n: E[X] = Kn N. 56/58

29 Erwartungswert Kenngrößen von Lagemaße X exponentialverteilt mit Parameter θ: E[X] = 0 θe θx x dx = 1 θ. X normalverteilt mit Parametern µ, σ 2 : E[X] = 1 2πσ 2 x e (x µ)2 /(2σ 2) dx = µ. 57/58 Kenngrößen von Lagemaße Linearität des Erwartungswertes Satz Es seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit Erwartungswert sowie a, b R. Dann gelten E[a + bx] = a + b E[X], E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. Erste Regel gilt auch für Median, zweite Regel nicht. 58/58