Statistik, Datenanalyse und Simulation

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1 Statistik, Datenanalyse und Simulation Skript zur Vorlesung von Dr. Rainer Wanke Zuletzt gedruckt am: 0. Mai 005 Bearbeitet von: Peter Otte & Pörsch Wintersemester 004/005

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3 Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeit. WasistWahrscheinlichkeit..... Mathematische Definition (Kolmogorov)..... Klassische Definition (Objektive Definition) Häufigkeits-Definition (empirische Definition, frequentistic definition ) Subjektive Definition (Baysianischer Definition).... Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten..... Negation..... Oder Und Ziegenproblem Bayes Theorem Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion Kumulative Verteilung (Verteilungsfunktion)... 6 Beschreibung von Daten 7. DarstellungvonDaten Mittelwerte Varianz und Streuung MehrereVariablen HöhereMomente KontinuierlicheVerteilungen Theoretische Verteilungen 3 3. Die Binomialverteilung DiePoissonverteilung Gleichverteilung Exponentialverteilung Gaußverteilung MehrdimensionaleGaußverteilung Die χ -Verteilung DieCauchy-oderBreit-Wigner-Verteilung Fehler von Messungen 9 4. WassindFehler? Zentraler Grenzwertsatz (Central limit theorem) Fehlerfortpflanzung Systematische Unsicherheiten iii

4 INHALTSVERZEICHNIS iv 5 Monte- Carlo- Methoden 4 5. Erzeugung von Zufallszahlen Test von Zufallszahlengeneratoren Erzeugung von Zufallsgeneratoren entsprechend einer Verteilung Erzeugung einer Normal- oder Gaußverteilung Lösung von Differentialgleichungen Eulersches Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Numerische Integration Nullstellensuche Intervallhalbierungsverfahren Newtonsches Verfahren SuchenachMaximaoderMinima Allgemeines zur Schätzung von Parametern Forderungen für Schätzverfahren Likelihood-Funktion und Informationsungleichung Abschätzung des Mittelwertes einer Verteilung Abschätzung der Varianz einer Verteilung Die Methode der kleinsten Quadrate Kombination von mehreren Messungen AnpassungeinerGeraden LineareAnpassungmitderMethodekleinsterQuadrate Eigenschaften des linearen Fits mit der Methode kleinster Quadrate NichtlinearerFit AnpassungvongebinntenDaten Parameterschätzung mit der Maximum-Likelihood Methode DieMaximum-LikelihoodMethode EigenschaftenderML-Methode Fehler auf Maximum-Likelihood-Schätzwert Maximum-Likelihood-MethodemitmehrerenParametern Extetended ML-Methode Beschreibung der Extended ML-Methode ML-MethodemitgebinntenDaten Konfidenzintervalle und -grenzen Konstruktion von Konfidenzintervallen Konfidenzintervalle für gaußverteilte Schätzwerte A Literaturempfehlungen 85

5 Kapitel Wahrscheinlichkeit. Was ist Wahrscheinlichkeit.. Mathematische Definition (Kolmogorov) E, E,..., E n seien sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse einer Messung. Für jedes Ereignis E gibt es eine Wahrscheinlichkeit P (E), mit folgenden Axiomen für Wahrscheinlichkeiten :. P (E) 0. P (E oder E )=P (E )+P (E ) 3. n i= P (E i)= Aus () und (3) folgt: P (nichte) =P (E) = P (E) Erweiterung auf kontinuierliche Variablen: Wahrscheinlichkeits-Dichte-Funktion p(x) mit p(x) 0, x (.) p(x)dx = (.).. Klassische Definition (Objektive Definition) Falls alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, so gilt: P (A) = Zahl der günstigen Ereignisse A Zahl aller möglichen Ereignisse = h N Beispiel mit einem Würfel: A = oder 3 h =,N =6 P ( oder 3) = 3 Problem: Ereignisse werden als gleich wahrscheinlich angenommen, dazu ist A priori-wissen notwendig. Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow ( ) war einer der bedeutendsten Mathematiker des 0. Jahrhunderts. Kolmogorow leistete wesentliche Beiträge auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Topologie, er gilt als der Gründer der Algorithmischen Komplexitätstheorie. Seine bekannteste mathematische Leistung war die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

6 KAPITEL. WAHRSCHEINLICHKEIT..3 Häufigkeits-Definition (empirische Definition, frequentistic definition ) Versuch wird N-mal wiederholt, dabei stellt sich n-mal ein günstiges Ergebnis A ein. n P (A) = lim n N Nachteil: Der Übergang N ist häufig nicht durchführbar...4 Subjektive Definition (Baysianischer Definition) Wahrscheinlichkeit P (A) = Grad des Glaubens (Sicherheit), dass Hypothese richtig ist. Ein verregnetes Beispiel Die nachfolgenden Wahrscheinlichkeit können in die Betrachtung eingehen, dass es morgen regnet: Wetterbericht gehört, Himmel bedeckt, Ende Oktober oder ähnliches. Demgegenüber wäre eine Berechnung nach der Häufigkeitsdefinition folgendermaßen: Es werden seit 895 (Beginn der Wetteraufzeichnung) alle 5. Oktober berücksichtigt, an denen es regnete: 7. Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für Regen am heutigen Tag (5.0.): P (Regen) = = 5%.. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.. Negation Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenteil des Ereignisses A eintritt ist die Negation: P (nicht A) = P (A) = P (A).. Oder Oder: P (A oder B) =P (A B) =P (A)+P (B) P (A B) Beispiel: Skatspiel: A =As,B = Karo. Dann lautet die Wahrscheinlichkeit für As oder Karo : P (As oder Karo) = = }{{} 3 3 Karo-As..3 Und Und: Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zugleich eintreffen. Es gibt Fälle:. Ereignisse unabhängig voneinander: P (A und B) =P (A B) =P (A) P (B) Beispiel: Wahrscheinlichkeit, dass zwei Leute an einem bestimmten Tag Geburtstag haben. P = = 365. Ereignisse nicht unabhängig voneinander: P (A B) =P (A) P (B A)

7 KAPITEL. WAHRSCHEINLICHKEIT 3 Hierbei stellt P (B A) eine bedingte Wahrscheinlichkeit für B dar, falls A eingetroffen ist. Beispiel: Wahrscheinlichkeit, dass zwei Leute am gleichen Tag Geburtstag haben. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B an dem gleichen Tag wie A Geburtstag hat ist 365, daher ergibt sich: P = 365 = 365. Abbildung.: Bedingte Wahrscheinlichkeit..4 Ziegenproblem Ein deutliches Beispiel, dass der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten durchaus komplizierter werden kann, ist das so genannte Ziegenproblem İn Einer Spielshow muss der Kandidat aus drei geschlossenen Türen auswählen. Hinter zweien der Türen steht stehen Ziegen, hinter einer dritten ein Auto, alles rein zufällig verteilt. Folgender Ablauf ist vorgesehen: Abbildung.: In einer Quizshow. Kandidat tippt auf eine Tür. Moderator öffnet eine Tür mit Ziege 3. Frage: Soll der Kandidat wechseln oder nicht? Lösung o.b.d.a.: Tür gewählt, daraus ergeben sich die Fälle A, A und A3 für das Auto, für den Moderator ergeben sich M, M, M3 als Möglichkeiten der

8 KAPITEL. WAHRSCHEINLICHKEIT 4 zu öffnenden Türe. Die 9 Fälle, in denen der Moderator die getippte Türe sowie die Türe mit dem Auto öffnet, fallen weg. Von den anfangs 54 kombinatorischen Möglichkeiten (3 Kandidatenantworten * 3 Autoplätze * Unterschiedliche-hinterder-Türstehende * 3 Moderatorenantworten) verbleiben aufgrund der Festlegung auf Kandidatenantwort Türe eins noch 9. Wenn Türe gewählt wurde, so hat der Moderator aufgrund der (noch) versteckten Position des Autos folgende Möglichkeiten zu antworten: (A, M ) mit p = /6 (siehe nachfolgendes Diagramm), (A, M3) mit p =/6, (A, M3) mit p =/3, (A3, M) mit p =/3. Wählt nun der Moderator Türe 3 (also entschließt sich für M 3), so fließen Informationen in das System ein und die Wahrscheinlichkeit für den Pfad A wird doppelt so groß wie für A. Abbildung.3: Wahrscheinlichkeiten zum Ziegenproblem Alternative Begründung: Soll das Beharren bei der ersten Wahl der Türe (NW) zum Erfolg führen, so muss diese Wahl bereits ein Treffer sein mit der Wahrscheinlichkeit von /3. Ist hingegen die erste Wahl des Spielers eine Niete (mit Wahrscheinlichkeit von /3), so führt ein Wechsel sicher zum Treffer! Alternative und unschlagbare Begründung: Angenommen, es gibt zwei Kandidaten A und B. A bleibt immer bei der ersten Tür, B wechselt nach der Intervention des Moderators zur verbleibenden dritten Tür. Das Experiment findet 999-mal statt. Was geschieht? Da A sich vom Moderator nicht beeinflussen lässt, wird er aller Wahrscheinlichkeit nach um die 333 Autos gewinnen. Doch wo bleiben die fehlenden 666 Autos? Sie können nur von B gewonnen sein. Somit hat B doppelt so viele Autos wie A gewonnen, also ist hinter der verbleibenden Tür tatsächlich mit doppelter Wahrscheinlichkeit ein Auto anzutreffen..3 Bayes Theorem Bedingte Wahrscheinlichkeit 3 P (A B) entspricht der Wahrscheinlichkeit für A, falls B eingetroffen ist, z.b. P (Straße nass Regen), P (Daten Hypothese) oder P (Wirkung Ursache). P (A B) = P (A und B) =P (A) P (B A) =P (B) P (A B) P (B A) P (A) P (B) P (B A) P (A) = alle Ereignisse A i P (B A i ) P (A i ) In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass Ursache A vorhanden, falls Wirkung B beobachtet = Wahrscheinlichkeit von Wirkung B, falls Ursachen A vorhanden mal Wahrscheinlichkeit für Ursache A geteilt durch Summe der Wahrscheinlichkeiten von 3 Thomas Bayes (ca ) war ein englischer Mathematiker und presbyterianischer Pfarrer.

9 KAPITEL. WAHRSCHEINLICHKEIT 5 Abbildung.4: A priori und bedingte Wahrscheinlichkeiten die zu den gleichen Ergebnissen aller Entstehungsprozesse für B aus allen möglichen Ursachen A i. Z.B. P (Regen Straße nass) = P (Straße nass Regen) P (Regen) P (Straße nass Regen) P (Regen) + P (Straße nass Säuberung) P (Säuberung) +... wobei P (Regen) und P (Säuberung) A priori-wahrscheinlichkeiten sind, die vorher bekannt sein müssen. Beispiel: Aids-Test Mit der Annahme, dass 0,% der Bevölkerung Aids haben starten wir nun folgende Betrachtung eines Aids-Tests. Dieser ist zu 00% sicher, das bedeutet, wenn der Mensch infiziert ist so ist auch der Test in jedem Falle positiv, allerdings tritt ein Fehlalarm in % aller Fälle auf. Wir wollen nun errechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein positiv getesteter Patient wirklich Aids hat. Nach Anwendung des Theorems von Bayes folgt: P (Aids Test positiv) = P (Test positiv Aids) P (Aids) P (Test positiv Aids) P (Aids) + P (Test positiv kein Aids) P (kein Aids) = 0, % 0, % = 0, % + % 99, 9%, % 5% In der Physik: A priori Wahrscheinlichkeiten sind häufig unbekannt, daher werden sie als gleichverteilt angenommen. Beispiel: Messung der Masse eines Teilchens. Keine bisherige Messung. Es wird für jede Masse die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommen (Wobei eine Eigenschaft, dass die Masse positiv ist, der A Priori-Wahrscheinlichkeit schon feststeht.

10 KAPITEL. WAHRSCHEINLICHKEIT 6. Masse wurde schon vorher gemessen mit m ± δm Entweder: Vorherige Messung berücksichtigt (unüblich) Oder: Messung durchführen, als sei Masse unbekannt und später wird eine Mittelung vorgenommen..4 Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion Gegeben ist eine kontinuierliche Variable x, statt diskreter Ereignisse X, X, mit Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung p(x). p(x)dx = Wahrscheinlichkeit, das x im Intervall [x, x + dx] liegt. Die beiden Eigenschaften der Positivität (.) und Normiertheit (.) aus müssen für p(x) erfüllt sein. p(x) hat die Dimension [ x ].4. Kumulative Verteilung (Verteilungsfunktion) P (x) = x p(x)dx ist hier das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufalls-Variable kleiner x ist. richtig? Die kumulative (aufsummierte) Verteilung ist monoton steigend, da p(x) > 0, x. Abbildung.5: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und kumulative Verteilung Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion: Erweiterung auf zwei Variablen p (q) x q Quantil Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x, y) mit p(x, y)d(x, y) = Falls x, y unabhängig voneinander: p(x, y) = p(x) p(y)

11 Kapitel Beschreibung von Daten Nachdem wir im ersten Kapitel Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt haben, wollen wir uns im Folgenden auf die Beschreibung von Daten mithilfe von statistischen Funktionen konzentrieren. Zunächst sollen einige Hilfsmittel eingeführt werden, die zur Beschreibung und Darstellung von Daten notwendig bzw. hilfreich sind.. Darstellung von Daten Ein Datensatz stellt in der Regel eine endliche Zahl von Einzelereignissen dar. Diese können im allgemeinen aus einem Vektor von Einzelwerten zusammengesetzt sein, der diverse, das Ereignis chrakterisierende Größen enthält. Will man nun eine dieser Einzelgrößen näher untersuchen, so trägt man üblicherweise die Häufigkeit des Vorkommens eines Einzelwertes gegen den Wert auf und erhält ein Histogramm. Bei der Erstellung eines Histogramms kommt es vor allem auf das richtige Binning an, also die Anzahl der Intervalle, in die die Größenachse aufgeteilt wird. Wählt man die Zahl der Bins zu hoch, so ist die Fluktuation im Histogramm zu hoch und es ist nicht mehr möglich, klare Tendenzen aus der Darstellung zu entnehmen. Eine zu grobe Einteilung dagegen führt zur Überdeckung von Unterstrukturen und damit zu Informationsverlust.. Mittelwerte Wir gehen von einer Datenmenge aus, die durch {x, x...x N } gegeben ist. Wir suchen nun nach einer Möglichkeit, diesen Datensatz durch Zahlen zu charakterisieren. Eine solche möglichkeit besteht in der Bildung des Mittelwertes, der angibt, wie groß die x N durchschnittlich sind. Der üblicherweise verwendete Mittelwert ist das arithmetische Mittel, aber es gibt noch weitere Mittelwertsdefinitionen, die im Folgenden aufgeführt werden sollen: 7

12 KAPITEL. BESCHREIBUNG VON DATEN 8 Definition (Arithmetisches Mittel) Für N Meßwerte ist das arithmetische Mittel durch x = N x i N gegeben. i= Für ein gebinntes Histogramm kann man auch schreiben: x = n j x j N wobei x j der Wert des j-ten Bins ist und über die Zahl der Bins summiert wird. j Definition (Geometrisches Mittel) Für N Meßwerte ist das geometrische Mittel durch ( N ) /N xgeom = x i gegeben. i= Definition 3 (Harmonisches Mittel) Für N Meßwerte ist das harmonische Mittel durch N x harm = x x N gegeben. Wie schon erwähnt, werden das geometrische und das harmonische Mittel nur der Vollständigkeit halber erwähnt, da sie in der Physik praktisch nie Verwendung finden. Des weiteren wird der Modus eingeführt, was per definitionem der Bin mit dem höchsten Eintrag ist, sowie der Median, der derjenige Wert ist, bei dem genau 50% der Daten oberhalb und 50% der Daten unterhalb dieses Wertes liegen..3 Varianz und Streuung Der Mittelwert sowie Modus bzw. Median stellen Lagemaße dar, die wertvolle Informationen über die Verteilung enthalten. Jedoch haben wir schon gesehen, daß der Mittelwert nicht injedem Fall die zweckmäßigste bzw. ausreichende Charakterisierung des Datensatzes gewährleistet. Deshalb werden wir jetzt zusätzlich Streumaße einführen, die die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert angeben und etwas über die Breite der Verteilung aussagen. Ein solches Streumaß ist die Varianz:

13 KAPITEL. BESCHREIBUNG VON DATEN 9 Definition 4 (Varianz) Die Varianz eines Datensatzes mit N Werten ist durch V (x) = N (x i x) N i= gegeben, wobei x das arithmetische Mittel ist. Betrachten wir diesen Ausdruck genauer, so finden wir, daß gilt, also in Kurzfassung V (x) = N (x i x) N i= ( = N N x i x x i + x N i= = x x x + x = x x i= V (x) =x x Der Nachteil an der Varianz liegt darin, daß sie nicht die gleiche Einheit hat wie die Werte x N, sondern das Quadrat davon. Man gibt daher üblicherweise die Standardabweichung(engl.root mean square deviation, rms) an: N i= ) Definition 5 (Standardabweichung) Für einen Satz von N Meßwerten mit einer Varianz V (x) ist die Standardabweichung σ durch σ = V (x) = x x gegeben. Als Beispiel sei hier der Würfel angeführt. Im Mittel wird man dort als Ergebnis den Wert x = 6 ( )=3.5 erwarten, die Varianz beträgt V (x) =.9 und die Standardabweichung σ =.9 =.7. Ein weiteres Maß für die Streuung einer Verteilung ist das sogenannte Full Width Half Maximum(FWHM), das z.b. bei der Gaußverteilung etwa.35σ beträgt..4 Mehrere Variablen Es ist sehr selten, daß Datensätze nur aus Werten für eine einzige Variable bestehen. Oftmals erhalten wir bei Messungen Wertepaare oder -tupel. Es liegt also nahe, sich dafür zu interessieren, inwieweit Meßreihen für unterschiedliche Variablen miteinander zusammenhängen. Dazu führen wir den Begriff der Kovarianz ein:

14 KAPITEL. BESCHREIBUNG VON DATEN 0 Definition 6 (Kovarianz) Für eine Reihe von N Wertepaaren (x, y) ist die Kovarianz zwischen x und y durch V xy = cov(x, y) = N N (x i x)(y i ȳ) =xy xȳ i= gegeben. Die Kovarianz hat die Einheit [x][y]. Sind x und y unabhängig voneinander, so ist cov(x, y) =0.Istcov(x, y) > 0, so sind x und y korreliert, d.h. wird x groß, dann auch y. Beicov(x, y) < 0 sind dagegen x und y antikorreliert, d.h. y wird klein, wenn x groß wird. Statt der Kovarianz gibt man auch häufig den dimensionslosen Korrelationskoeffizienten ϱ(x, y) mit ϱ(x, y) = cov(x, y) σ x σ y an, wobei immer ϱ(x, y) gilt. Im allgemeinen Fall besteht ein Ereignis eines Datensatzes aus Meßwerten für n Variablen x (),x ()...x (n), und für die Kovarianz zwischen der Variablen x (i) und x (j) gilt dann: V ij = cov(x (i),x (j) )=x (i) x (j) x (i) x (j) wobei V ij ein Element der n-dimensionalen Kovarianzmatrix ist. Analog ergibt sich dann für den Korrelationskoeffizienten ϱ ij = cov(x(i),x (j) ) σ x(i) σ x(j) der ebenfalls immer zwischen - und variiert..5 Höhere Momente.6 Kontinuierliche Verteilungen In der Praxis sind viele Größen nicht diskret, sondern kontinuierlich verteilt. Zum Beispiel kann man bei der Messung von Längen eines Werkstückes nicht davon ausgehen, daß die Werte diskret sind, sondern kann höchstens sagen, ob ein Wert x in ein vorgegebenes Größenintervall dx paßt. Wir müssen also eine Häufigkeitsdichtefunktion f(x) einführen, die den Absolutwert der Größe charakterisiert. Die Frage nach der Messung des Wertes x i für diskret verteilte Größen wird also im Falle einer kontinuierlichen Verteilung zur Frage nach der Wahrscheinlichkeit dafür, einen Wert innerhalb eines Intervalls dx um x zu messen. Will man Größen über alle möglichen Werte aufsummieren, so ist die Summe hier durch ein Integral zu ersetzen. Während man also bei diskret verteilten Größen die Verteilung von Meßdaten untersucht,wird man bei kontinuierlichen Größen eher von einer theoretisch erwarteten Verteilung sprechen. Wir definieren also analog zum artithmetischen Mittel den Erwartungswert:

15 KAPITEL. BESCHREIBUNG VON DATEN Definition 7 (Erwartungswert) Für eine kontinuierlich verteilte Größe x ist der Erwartungswert durch <x>= xf(x)dx = μ gegeben. Es ergibt sich daraus sofort, daß der Erwartungswert einer Funktion durch <g(x) >= g(x)f(x)dx gegeben ist und <x n > x n f(x)dx das n-te Moment von x ist. Weiter gilt: Definition 8 Die Varianz einer kontinuierlich verteilten Zufallsvariablen ist durch V (x) =< (x <x>) >= (x μ) f(x)dx gegeben. Für die Standardabweichung gilt: σ x = V (x) = < (x <x>) > Analog definiert man die Kovarianz: Definition 9 Die Kovarianz zweier kontinuierlich verteilter Variablen (x, y) ist definiert als cov(x, y) = (x μ x )(y μ y ) = (x μ x )(y μ y )f(x, y)dx dy = xy f(x, y)dx dy μ x μ y

16 KAPITEL. BESCHREIBUNG VON DATEN

17 Kapitel 3 Theoretische Verteilungen Im Folgenden wollen wir einige wichtige Verteilungsfunktionen für kontinuierlich verteilte Variablen kennenlernen und deren Eigenschaften sowie Anwendungen in der Physik untersuchen. 3. Die Binomialverteilung Die Binomialverteilung dient zur Beschreibung einer bestimmten Art von Zufallsexperimenten, nämlich den sogenannten Bernoulli-Experimenten. Ein Beispiel für ein solches Experiment ist z.b. der Münzwurf, wo die Variable x=wurfergebnis nur die Werte Kopf oder Zahl annehmen kann. Allgemein reden wir also von Experimenten, bei denen als Ergebnis nur zwei diskrete Werte (Erfolg oder Mißerfolg) auftreten können. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p, diefür Mißerfolg sei q = p. Dann ergibt sich sofort, daß die Wahrscheinlichkeit für r aufeinanderfolgende Erfolge gleich p r ist und die Wahrscheinlichkeit für Mißerfolge bei diesem Experiment entsprechend ( p) n r, wenn n die Zahl der Durchführungen des Experimentes ist. Wenn wir allerdings jetzt nur daran interessiert sind, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei n-maliger Durchführung des Experimentes r Erfolge zu erzielen, muß man die Zahl der Möglichkeiten kennen, bei denen die gewünschte Zahl von Erfolgen auftritt. Diese ist durch den Binomialkoeffizienten ( ) n r gegeben. Es ergibt sich also insgesamt: = n! (n r)!r! Satz (Binomialverteilung) Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Experiment mit möglichen Ergebnissen bei n Versuchen insgesamt r Erfolge zu erzielen mit einer Einzelwahrscheinlichkeit p für Erfolg, kann man mit ( ) n P (r; n, p) = p r ( p) n r r berechnen. Diese Funktion wird auch als Binomialverteilung bezeichnet. 3

18 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 4 Wir fragen nun nach dem Erwartungswert einer Variablen, die binomialverteilt ist: r = n rp(r; n, p) r=0 n ( n = r r r=0 n ( n = r r= n = np = np = np = np r= n r= n r =0 ) p r ( p) n r ) rp r ( p) n r (n )! r!(n r)! rpr ( p) n r p r ( p) n r (n )! (r )!(n r)! p r ( p) n r (n )! (r )!(n r )! Entsprechend berechnen wir die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen r. Hier führen wir zunächst die kurze Nebenrechnung r r = r(r ) = n r(r )P (r; n, p) =n(n )p r= durch und erhalten dann für die Varianz: V (r) = r r = r r + r r = n(n )p + np (np) Insgesamt ergibt sich also: = np np = np ( p) Satz Eine binomialverteilte Zufallsvariable r hat den Erwartungswert r = np und die Varianz V (r) =np ( p) Entsprechend gilt für die Standardabweichung: σ r = np ( p) Bei festem n ist σ für p =0.5 amgrößten: σmax = n was auch als maximale Breite der Binomialverteilung bezeichnet wird. Wichtig ist auch noch, daß Varianz und Standardabweichung 0 sind für p = 0 und p =. Es sei noch darauf hingewiesen, daß p vorher, d.h. vor Beginn einer Messung bekannt sein muß, um obige Schlußfolgerungen ziehen zu können. Normalerweise jedoch ist p häufig nicht bekannt, sondern muß erst aus einer Reihe von Messungen bestimmt

19 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 5 werden. Es ist daher notwendig, Konfidenzgrößen anzugeben (siehe Kap.9). Als Beispiel für die Anwendung der Binomialverteilung betrachten wir einen Detektor für kosmische Strahlung. Dieser besteht aus einer Hintereinanderschaltung von 4 Detektoren. Ein Teilchen soll dabei als beobachtet gelten, falls mindestens 3 von 4 Detektoren ansprechen. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, daß ein einfallendes Teilchen auch tatsächlich nachgewiesen wird (Die Wahrscheinlichkeit, daß einer der 4 Detektoren anspricht, wenn ein Teilchen ankommt,beträgt 0.95): P = P (3; 4, 0.95) + P (4; 4, 0.95) = 98.6% Wenn wir statt 4 nur 3 Detektoren hintereinandergeschaltet hätten, hätte sich nur P = 85.7% ergeben, also deutlich weniger. 3. Die Poissonverteilung Bei vielen in der Physik vorkommenden Prozessen existiert keine Maximalanzahl n von Versuchen, sondern lediglich eine Wahrscheinlichkeit, daß etwas passiert. Wir bilden also den Grenzwert der Binomialverteilung für n = und λ = np =konst und erhalten die Poissonverteilung: Definition 0 (Poissonverteilung) Die Poissonverteilung ist definiert durch: P (r; λ) = λr r! e λ und gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß r Ereignisse beobachtet werden, wenn die mittlere erwartete Anzahl beobachteter Ereignisse λ beträgt. Ein Beispiel für die praktische Anwendung der Poissonverteilung ist der radioaktive Zerfall. Sei n die Anzahl der insgesamt vorhandenen Kerne eines radioaktiven Stoffes, wobei n i.a. sehr groß ist. p sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Kern während eines festgesetzten Zeitintervalls Δt zerfällt (i.a. sehr klein). Dann ergibt sich λ = np als mittlere Anzahl der Zerfälle pro Zeitintervall Δt, mit λ =konst, weil n und p konstant sind. Es gilt also P (r; λ) = λr r! e λ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß r Kerne innerhalb eines Zeitintervalles Δt zerfallen. Beispielsweise ergibt sich für λ = 3.: P (0; 3.) = 4% P (4; 3.) = 5% P (; 3.) = 3% P (6; 3.) = 6% P (; 3.) = % P (7; 3.) = 3% P (3; 3.) = % P (8; 3.) = % wobei es (im Gegensatz zur Binomialverteilung) keine obere Grenze für r gibt. Ein weiteres Beispiel für die Anwendung der Poissonverteilung ist der Bau von Scintillationszähler, der in der Teilchenphysik beim Bau von Detektoren häufig verwendet wird. Dieser sieht in etwa folgendermaßen aus:

20 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 6 In einem sog. Scintillator werden Photonen erzeugt, sobald ein Teilchen durch ihn durchgeht. Die entstandenen Photonen erzeugen dann in einem Photomultiplier zunächst einige Photoelektronen, die dann vervielfältigt werden,um die üblicherweise recht geringen Intensitäten zu verstärken und dann nachzuweisen. Die typische Anzahl von Photoelektronen, die von einem durch den Scintillator tretenden Teilchen erzeugt werden, sei λ = 3., die Wahrscheinlichkeit, daß ein Photelektron erzaugt wird, betrage P (r =0,λ =3.) = 4%, was als minimale Ineffizienz zu verstehen ist. Es läßt sich recht leicht zeigen, daß die Poissonverteilung normiert ist : λ λr P (r; λ) = e r! = e λ r=0 r=0 r=0 λ r r! = e λ e λ = wobei die Taylorformel der e-funktion benutzt wurde. Für den Mittelwert der Poissonverteilung gilt: λ λr <r>= rp(r; λ) = re r! = e λ r=0 = λe λ r= r= λ r (r )! = λe λ r =0 r= λ r r! = λ λ r (r )! wobei im letzten Schritt r = r gesetzt wurde. Um die Varianz zu berechnen, führe eine kleine Nebenrechnung durch: Damit ergibt sich dann für die Varianz: <r > <r> = <r(r ) > = λ λr r(r )e r! r=0 = λ λr r (r ) e r! r= = λ e λ λr (r )! r= = λ V (r) =<r > <r> =<r > <r>+ <r> <r> = λ + λ λ = λ Wir fassen also zusammen: Satz 3 Die Poissonverteilung ist auf Eins normiert und es gilt: <r> = λ V (r) = λ σ r = λ 3.3 Gleichverteilung Bei der Gleichverteilung handelt es sich um eine kontinuierliche Verteilung ( < x< ), die folgendermaßen definiert ist:

21 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 7 Definition (Gleichverteilung) Die Gleichverteilung hat die Häufigkeitsfunktion a<x<b (a <b) P (x; a, b) = b a 0 sonst Skizziert sieht diese Funktion in etwa folgendermaßen aus wie in Abb.(3.): y b a a σ μ +σ b x Abbildung 3.: Gleichverteilung Beispiele für die Anwendung der Gleichverteilung sind z.b. Zufallsgeneratoren oder der Nachweis des Ortes eines Teilchens. Wir können wiederum leicht zeigen, daß auch die Gleichverteilung auf Eins normiert ist: Für den Erwartungswert erhalten wir: und für die Varianz woraus dann sofort V (x) = dxp (x; a, b) = (b a) = b a μ =< x>= b folgt. Wir fassen also zusammen: a b a dx x b a = (a + b) ( dx x ) (a + b) b a = (b a) σ x = (b a) Satz 4 Die Gleichverteilung ist auf Eins normiert und es gilt: <x> = (a + b) V (x) = (b a) σ x = (b a) Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Ereignis innerhalb eines Intervalles ±σ um < x > liegt, ist dann 3 59%.

22 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung ist eine weitere, in der Praxis vorkommende Verteilung. Man definiert sie wie folgt: Definition (Exponentialverteilung) Sei x>0 eine kontinuierliche Zufallsvariable. Dann ist x exponentialverteilt, falls ihre Verteilungsfunktion die Form P (x; τ) = [ τ exp x ] τ hat mit τ =konst. Ein Beispiel für die Anwendung dieser Verteilung ist eine Lebensdauerverteilung von Teilchen. Die Exponentialverteilung sieht in etwa aus wie in Abb.(3.): τ y σ σ x 0 μ τ τ Abbildung 3.: Die Exponentialverteilung Wir können auch diese Verteilung wieder auf Normierung etc. untersuchen. Für die Nprmierung finden wir: [ τ exp x ] = τ Der Erwartungswert ergibt sich aus x μ = [ τ exp x ] = τ τ τ = τ und für die Varianz ergibt sich Insgesamt gilt also: V (x) = τ (x τ) exp [ x ] dx = τ τ Satz 5 Die Exponentialverteilung ist auf Eins normiert und es gilt: μ = τ V (x) = τ σ x = τ

23 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN Gaußverteilung Die wichtigste in der Praxis vorkommende Verteilung ist die Gaußverteilung. Man definiert sie wie folgt: Definition 3 (Gaußverteilung) Sei x eine kontinuierlich verteilte Variable mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. x heißt dann gaußverteilt, falls die Verteilungsfunktion die Form [ P (x; μ, σ) = exp ( ) ] x μ πσ σ hat. Im Spezialfall μ =0,σ =heißt die Funktion P (x) = ] exp [ x π auch standardisierte Gaußverteilung oder Normalverteilung. Untersuchen wir wie zuvor die Normierung dieser Verteilung, so ergibt sich: [ exp ( ) ] [ x μ dx = exp ( ) ] x dx πσ σ πσ σ = = πσ σ π wobei die Formel dx exp [ ax ] π = a verwendet wurde. Für den Erwartungswert der Gaußverteilung ergibt sich: [ <x> = x exp ( ) ] x μ dx πσ σ [ = (x μ) exp ( ) ] x μ πσ σ = μ dx + μ [ exp πσ weil das erste Integral gleich Null ist (ungerade Funktion in symmetrischen Grenzen integriert) und das zweite gleich μ wegen der Normierung von P (x; μ, σ). Für die Varianz ergibt sich dementsprechend: V (x) = < (x μ) > [ = (x μ) exp ( ) ] x μ dx πσ σ = σ ( ) ] x μ dx σ wobei die Formel x exp[ ax ]= π a a

24 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 0 verwendet wurde. Es gilt also insgesamt: Satz 6 Die Gaußverteilung ist auf Eins normiert und es gilt: <x> = μ V (x) = σ Neben der Wahrscheinlichkeitsdichte wird häufig auch noch die kumulative Verteilung benötigt. Für die Gaußverteilung ist diese wie folgt definiert: Definition 4 Die kumulative Verteilung der Gaußverteilung ist definiert als [ x P (x;,μ,σ)= exp ( x ) ] μ dx πσ σ Diese Funktion ist leider nicht analytisch lösbar, man ist daher bei konkreten Rechnungen auf Tabellenwerte bzw. Computeralgabrasoftware angewiesen. Für die standardisierte Gaußverteilung ergibt sich: Definition 5 Die kumulative Verteilung der standardisierten Gaußverteilung lautet: x ] P 0 (x) = exp [ x dx = [ ( )] x +erf π für x 0 mit erf(x) = x exp [ t ] dt π 0 was auch als Fehlerfunktion (error function) bezeichnet wird. Falls x<0, dann gilt: P 0 (x) = P 0 ( x) Mithilfe der kumulativen Verteilung kann man die Frage beantworten, ob ein zufällig ausgewählter Punkt kleiner oder gleich einem festen Wert x ist. Es ergibt sich: 90%.8 σ 95%.64 σ 99%.33 σ 99.9% 3.09 σ Fragt man dagegen nach der Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewählter Wert x innerhalb eines Bereiches um μ liegt, so ergibt sich: 68.7% ± σ 95.45% ± σ 99.7% ± 3 σ 90% ±.64 σ 95% ±.96 σ 99% ±.58 σ 99.9% ± 3.9 σ Fassen wir nun einmal alle wichtigen bisher behandelten Verteilungen zusammen, so ergibt sich folgende Übersicht:

25 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN Binomialverteilung P (r; p, n) n λ = np Poissonverteilung P (r; λ) n x = r np λ x = r λ Gaußverteilung P (r; μ, σ) Die Poissonverteilung ist -wie schon oben erwähnt- ein Grenzwert der Binomialverteilung für n und λ = np. Die Gaußverteilung kann dagegen als ein gemeinsamer Grenzwert beider Verteilungen angesehen werden. Es gilt ungefähr: Die Poissonverteilung entspricht für λ 0 einer Gaußverteilung. Die Binomialverteilung entspricht einer Gaußverteilung für n 0, wenn p = 0.5 gewählt wurde (oder n größer für p 0 bzw. p ). 3.6 Mehrdimensionale Gaußverteilung Bisher haben wir nur Verteilungen untersucht, die lediglich von einer Variablen abhängig waren. Es ist jedoch in der Praxis häufig von Interesse, gemeinsame Verteilungen mehrerer Variablen zu untersuchen. Im Folgenden seien n kontinuierliche Variablen x = x... x n gegeben mit n Erwartungswerten μ = μ... μ n Wir setzen voraus, daß alle diese Variablen gaußverteilt sind, was (wie wir gerade gesehen haben) auch in guter Näherung für poisson- bzw. binomialverteilte Variablen gilt. Dann gilt:

26 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN Definition 6 (Mehrdimensionale Gaußverteilung) n gaußverteilte Variablen x mit Erwartungswerten μ gehorchen der mehrdimensionalen Gaußverteilung [ p( x; μ, A) =K exp ] ( x μ)t A ( x μ) mit und der Normierung A (n n) K = (π) n det A Die oben eingeführte Matrix A wollen wir uns jetzt einmal etwas näher anschauen. Falls μ = 0, ergibt sich n x T A x = x i A ij x j i,j= woraus sich für die Koeffizienten von x i,x j (i j) A ij + A ji ergibt. Es liegt also nahe, zu fordern, daß die Matrix A symmetrisch sein soll, d.h. A ij = A ji oder A = A T gilt, um Ambiguitäten zu vermeiden. Außerdem fordern wir. daß die Diagonalelemente A ii ungleich Null sein sollen, um die Normierbarkeit von p zu gewährleisten (A ist dann positiv definit). Es ergibt sich des weiteren sofort, daß in Analogie zur eindimenbsionalen Gaußverteilung folgendes gilt: Satz 7 Die n-dimensionale Gaußverteilung hat den Erwartungswert sowie die Kovarianz wobei die Matrix < x>= μ cov(x i,y i )=(A ) ij V A auch als Kovarianzmatrix bezeichnet wird. Häufig schreibt man daher die mehrdimensionale Gaußverteilung auch in der Form [ p( x; μ, V ) = exp ] (π) n det V ( x μ)t V ( x μ) Im Einzelnen hat also nach unseren Voraussetzungen die Matrix V die explizite Form σ cov(x,x )... σ cov(x,x ) σ... ϱ n σ σ n... V = = ϱ σ σ cov(x,x n )... σn ϱ n σ σ n... σn

27 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 3 Für den Spezialfall, daß die Variablen unkorreliert sind, ergibt sich daher sofort V ij =0 i, j d.h. es ergibt sich und dementsprechend σ... 0 V = σn A = V = σ σn Aus dieser Darstellung folgt, daß sich dann die Gaußverteilung zu [ p( x; μ, V ) = exp (x μ ) ] [...exp (x n μ n ) ] (π) n σ σ...σ n d.h. im Spezialfall unkorrelierter Variablen stellt die mehrdimensionale Gaußverteilung gerade das Produkt aus den eindimensionalen Gaußverteilungen der n Variablen dar. Falls die Matrix V nicht diagonal ist (d.h. wenigstens Variablen sind korreliert), ergibt sich sofort das massive numerische Problem, die Matrix V zu invertieren. Es ist daher zweckmäßig, eine Koordinatentransformation durchzuführen, so daß man einen Satz von unabhängigen Parametern erhält. One Beweis gilt dabei, daß immer eine unitäre Matrix U mit der Eigenschaft U T = U gefunden werden kann, so daß die Matrix eine Diagonalmatrix ist. Daraus folgt: V = U T VU σ A = V =(U T V U) = UV U T Wählen wir zunächst der Einfachheit halber μ = 0 sowie x = U x, so ergibt sich damit: [ exp ] xt V x =exp [ ] x T U T UV U T U x =exp [ ] x T V x d.h. im transformierten Koordinatensystem hat die Gaußverteilung die oben betrachtete Form. Ein wichtiger, häufig betrachteter Spezialfall ist die zweidimensionale Gaußverteilung. Bei dieser Verteilung handelt es sich um eine Verteilung von Variablen x und y, die die zweidimensionale Kovarianzmatrix ( ) σx V = ϱσ x σ y ϱσ x σ y σ y σ n und deren Inverse V = σ x σ y ( ϱ ) ( σ x ϱ σ x σ y ) ϱ σ x σ y σ y

28 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 4 Damit ergibt sich für die Verteilung: p(x, y; μ x,μ y,σ x,σ y,ϱ)= πσ x σ y ϱ [ exp [ (x μx ) ( ϱ ) σ x + (y σ y) σ y ϱ(x μ ]] x)(y μ y ) σ x σ y Uns interessieren nun die Kontouren gleicher Wahrscheinlichkeiten, d.h. die Kurven im R mit p(x, y) =konst. Hierfür ergibt sich dann sofort, daß der Exponent in obiger Verteilung konstant sein soll, d.h. (x μ x ) σ x + (y σ y) σ y ϱ(x μ x)(y μ y ) σ x σ y =konst gelten muß. Dies ist bekanntlich die Gleichung einer Ellipse im R, d.h. wir halten fest: Satz 8 Bei der zweidimensionalen Gaußverteilung liegen die Punkte gleicher Wahrscheinlichkeiten auf Ellipsen im R. Man nennt diese Ellipsen auch Kovarianzellipsen. Betrachten wir einmal ein Beispiel: Für μ x = μ y = 0 und ϱ = 0 haben die beiden Einzelvariablen die Verteilungen ] ] p(x) = exp [ x πσx σx p(y) = exp [ y πσy σy sowie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte p(x, y) =p(x) p(y) Bei einer Variation um ±σ ergibt sich nun p(x = ±σ x )= πσx e = e p(0) und damit p(x, y) =e p(0, 0) d.h. es ergibt sich für die σ-kontour: x σx + y σ y = d.h. eine Ellipse mit den Hauptachsen σ x und σ y. Im allgemeinen Fall ergibt sich (ohne Beweis): Satz 9 Die σ-kontour hat die folgende Ellipsengleichung: [ x ϱ σx + y σy ϱxy ] = σ x σ y

29 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 5 σ y y σ u σ v φ x σ x σ x Neigungswinkel φ: σ y Abbildung 3.3: Kovarianzellipse tan(φ) = ρσ x σ y σ x σ y Koordinatentransformation x, y u, v mit u, v voneinander unabhängig ( ) ( )( ) u cos(φ) sin(φ) x = v sin(φ) cos(φ) y wobei die Matrix gerade U, die V diagonalisiert, ist. Achtung: σ u = cos(φ) σ x sin(φ) σ y cos(φ) sin(φ) σ y = cos(φ) σ y sin(φ) σ x cos(φ) sin(φ) Die Wahrscheinlichkeit einen -dim. Punkte (x, y) innerhalb der σ-kontour zu finden ist kleiner als 68, 7% (wie im -dim. Fall)! Wahrscheinlichkeit, dass x innerhalb der σ - Kontour einer n-dim. Gaußfunktion liegt. W : 68.7 %, W : %, W 3 : 9.86 %, W 4 : 9.0 % Stattdessen häufig Konfidenzellipsen = Ellipsen um μ die x mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit W enthalten. Beispiel Sei n = W = 50%, 8σ Kontour W = 70%, 55σ Kontour W = 90%, 5σ Kontour W = 95%, 45σ Kontour W = 99% 3, 03σ Kontour W n (g): Wahrscheinlichkeit, x innerhalb eines n-dim. Ellippsoieden zu finden mit x T V x = g = const:

30 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 6 W n (g) = n g 0 ( n p(χ,n) dχ = P, g ) wobei p(χ,n)dieχ-verteilung darstellt und P (a, x) die unvollständige Gammafunktion: P (a, x) = Γ(a) Im -dim. Fall: Integral analytisch lösbar Mit x 0 e t t a dt ( W n (g) =P, g ) = g e t dt = e g Γ() 0 folgt ( W ) (σ) e ( 39, 95% W ) (σ) e 86, 46% ( W ) (3σ) e 9 98, 89% 3.7 Die χ -Verteilung Eine weitere in der Praxis vorkommende Verteilung ist die χ -Verteilung. Diese ist folgendermaßen definiert: Definition 7 (χ -Verteilung) x +n p(x, n) = [ x ] ( n ), 0 x n exp Γ wobei n die Zahl der Freiheitsgrade darstellt. Für ganzahlige n gilt für die Γ-Funktion (ohne Beweis): Γ(n) = (n )! Γ(x +) = xγ(x) ( ) Γ = π Es ergibt sich nun (ohne Beweis): Satz 0 Für die χ -Verteilung gilt: μ = x = n V (x) = n σ = V (x) = n Folgende Summe N (x i μ i ) z = i= σ i

31 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 7 ist χ -verteilt, falls x i gaußverteilt um μ i mit der Breite σ i. Maß dafür, wie gut die Daten mit den Vorhersagen übereinstimmen, bzw. wie gut der Fit ist. Für einen guten Fut sollte der Mittelwert gleich Anzahl der Dimensionen sein. Falls Variablen abhängig voneinander: χ = z =( x μ) T V ( x μ) Im Folgenden sind die Verteilungsfunktionen für n von bis 5 explizit dargestellt, in Abb (3.4) sind sie zusätzlich skizziert. p(x, ) = p(x, ) = p(x, 3) = p(x, 4) = p(x, 5) = [ x ] exp π x [ x ] exp x [ x ] exp π x [ x ] 4exp 3 x [ x ] 3exp π Abbildung 3.4: Die χ -Verteilung mit n von n =bis n = Die Cauchy- oder Breit-Wigner-Verteilung Die letzte Verteilungsfunktion, die wir hier besprechen wollen, ist die Breit-Wigner- Verteilung:

32 KAPITEL 3. THEORETISCHE VERTEILUNGEN 8 Definition 8 (Breit-Wigner-Verteilung) Die ist folgendermaßen definiert: Breit-Wigner-Verteilung p (x, Γ,x 0 )= π (Resonanz mit Masse x 0 und Zerfallsbreite Γ) Γ ( Γ 4 +(x x 0) ) Meist wird folgendes eingesetzt: x = Masse, Γ = Breite,wobei die Fläche unter der Funktion immer gleich groß ist. (?) Spezialfall Cauchy-Funktion für x 0 = 0 und Γ =. p(x) = π ( + x ) Zeichnung der Breit-Wigner-Verteilung (3.5) für (x,, 0), (x,, ) und (x,, 0) Abbildung 3.5: Die Breit-Wigner-Verteilung Es gilt nun: Satz Die Breit-Wigner-Verteilung hat den Erwartungswert und die Varianz μ =< x>= π v(x) = π Γ Γ x (x x 0 ) dx + Γ 4 (x μ) (x x 0 ) + Γ 4 dx Man sieht also, daß der Erwartungswert divergent und somit nicht definiert ist. Das liegt daran, daß die Schwänze der Verteilung nicht schnell genug gegen 0 gehen, wenn noch ein x dazumultipliziert wird. Das gleiche gilt für die Varianz.

33 Kapitel 4 Fehler von Messungen Im folgenden Kapitel wollen wir uns mit den Grundlagen der Fehlerrechnung auseinandersetzen und unsere bereits kennengelernten statistischen Grundbegriffe darauf anwenden. Zunächst soll der Begriff des Fehlers erläutert werden. 4. Was sind Fehler? Wenn in der Physik Messungen durchgeführt werden, sind die Messergebnisse niemals exakt, sondern haben Ungenauigkeiten/Unsicherheiten. Es ist daher notwendig, gemessene Werte mit einer Angabe zu versehen, die diese Unsicherheit charakterisiert. Diese Unsicherheiten bezeichnet man auch als Fehler. Es gibt i.a. mehrere Ursachen für Fehler: Begrenzte Zeitdauer der Messungen Begrenzte Anzahl von Versuchen was im wesentlichen die Ursachen für statistische Fehler sind. Eine weitere Art, Fehler zu produzieren, ergibt sich aus der Tatsache, daß es Unsicherheiten in Versuchsaufbau,-durchführung sowie -auswertung geben kann, die im wesentlichen zu sog. systematischen Fehlern führen. Systematische Fehler lassen sich nur schwer mathematisch ausdrücken, sondern deren Angabe beruht im Wesentlichen auf Schätzungen. Wir werden uns daher zunächst mit statistischen Fehlern beschäftigen. Statistische Fehler werden üblicherweise derart angegeben, daß zum Meßwert ±σ einer Gaußverteilung dazuaddiert wird, d.h sei m der Meßwert, so schreibt man m ± σ m wobei σ m der Fehler von m ist. Wichtig ist hierbei der Unterschied zwischen Toleranzen und Fehlern. Die Toleranz garantiert nämlich - im Gegensatz zum Fehler-,daß der wahre Wert einer Größe innerhalb der Toleranzgrenze zu finden ist, während bei einem Fehler nur die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden kann, daß der wahre Wert innerhalb der angegebenen Fehlergrenzen liegt. Wir definieren nun den statistischen Fehler wie folgt: Definition 9 (statistischer Fehler) Der statistische Fehler σ stat einer Messung ist die Breite der Verteilung um den wahren Wert, aus der der angegebene Meßwert entnommen worden ist. 9

34 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 30 Aus dieser sicherlich sinnvollen Definition des statistischen Fehlers ergibt sich sofort das Problem, daß zwar die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x; μ, σ) bekannt ist, aber nicht der wahre Wert μ, sondern nur der Meßwert x. Gefragt ist also die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von μ, wenn x gemessen worden ist, die wir mit Hilfe des Bayes-Theorems für kontinuierliche Verteilungen berechnen können: p(μ x) = p(x μ) p(μ) dμ p(x μ) p(μ) Da wir für μ keine a-priori-annahmen gemacht haben, gilt p(μ) =konst und es folgt: p(μ x) = p(x μ) dμ p(x μ) wobei das Integral im Nenner in der Regel gleich Eins ist. Falls p(x μ) gaußverteilt ist, ergibt sich mit [ p(x μ) = exp ( ) ] x μ πσ σ [ exp ( ) ] x μ [ πσ σ p(μ x) = [ dμ exp ( ) ] = exp ( ) ] x μ x μ πσ σ πσ σ weil die Gaußverteilung bekanntlich auf Eins normiert ist. Das bedeutet, daß wir in der Praxis meistens die Wahrscheinlichkeit für den wahren Wert kennen, da diese der gleichen Verteilung mit der gleichen Breite σ folgt wie die Wahrscheinlichkeit für die Meßwerte. Wichtig ist aber, daß dies zwar in den meisten, aber nicht in allen Fällen zutrifft, nämlich immer dann nicht, wenn die Verteilung p(x μ) unsymmetrisch in den Variablen x und μ ist. Beispiele dafür sind z.b. die Binomial- bzw. Poissonverteilung. Schauen wir uns z.b. die Poissonverteilung p(r; λ) = λr e λ r! an und drehen die Argumente, d.h. wir fassen jetzt die Verteilung von r als Verteilung von λ auf, so finden wir für die Normierung der Verteilung: 0 dλ λr e λ r! Für den Erwartungswert ergibt sich dann = Γ(r +)= r! λ = dλ λr+ e λ 0 r! und entsprechend für die Varianz = Γ(r +)=r + r! λ λ = 0 dλ r! (λ (r +) )λ r e λ =(r +)(r +) (r +) = r + Des weiteren gilt die Annahme, daß p(μ) konst gilt, nicht an physikalischen Grenzen. Zum Schluß dieses Abschnittes wollen wir noch kurz untersuchen, ob bzw wann die

35 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 3 Breite σ der wahren Verteilung bekannt ist. Ist σ zusammen mit μ Meßgröße, so kann man mithilfe der gemessenen Breite ˆσ eine neue, normierte Variable t einführen mit t = x μ ˆσ = x μ σˆσ σ x μ σ für große N (N 0) womit wir die Gaußverteilung zur sogenannten Students t-verteilung umformen können, die in diesem Bereich üblicherweise verwendet wird. 4. Zentraler Grenzwertsatz (Central limit theorem) Viele elementare Grundannahmen und Regeln für die Arbeit mit statistischen Fehlern beruhen im Wesentlichen auf dem zentralen Grenzwertsatz, der folgende Aussagen macht: Satz (Zentraler Grenzwertsatz) Gegeben seien n unabhängige Variablen x i ( i n) aus Verteilungen mit Erwartungswerten μ i und Varianzen σ i. Dann gilt für die Verteilung der Summe X = i x i: Der Erwartungswert X berechnet sich zu X = i μ i Die Varianz V (X) ergibt sich aus V (X) = i σ i X ist immer gaußverteilt für n. Als erstes Beispiel für die Anwendung dieses Satzes sei die Messung von Größe und Gewicht von Menschen genannt. Die Größemessung beruht auf vielen kleinen Faktoren, z.b. Ernährung, Erbgut, Umweltbedingungen etc, woraus folgt, daß wir die Größe eines Menschen sicherlich bei sehr vielen Menschen durch eine Gaußverteilung approximieren können. Das Gewicht eines Menschen ist dagegen im Wesentlichen durch seine Ernährung festgelegt, d.h. ein einziger Faktor dominiert. Daher wird sich in diesem Fall keine Gaußverteilung ergeben. Als zweites Anwendungsbeispiel betrachten wir das sog. Laplacesche Fehlermodell. Dieses macht folgende Annahme: Sei m 0 der wahre Wert einer Meßgröße und es gebe n kleine Störungen ±ɛ. Dann kann man schreiben: p(x; m 0,ɛ)= (δ(x m 0 + ɛ)+δ(x m 0 ɛ)) wobei mit δ die Diracsche Deltafunktion gemeint ist..dies entspricht im wesentlichen einer Binomialverteilung für p =. Es ergibt sich dann für den Erwartungswert x : x = dx p(x) = (m 0 ɛ)+ (m 0 + ɛ) =m 0

36 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 3 und für die Varianz: σ = V (x) = dx (x x ) p(x) = (m 0 ɛ m 0 ) + (m 0 + ɛ m 0 ) = ɛ Für große n (viele additive Meßfehler) ergibt sich dann mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes ein (gaußverteilter) Fehler der Größe σ = nɛzum Erwartungswert m 0. Wiederholen wir N Messungen x i mit gleichem Erwartungswert μ und gleicher Breite σ. Dann ergibt sich für den Erwartungswert der Summe X = N i= x i: N N X = x i = μ i = Nμ i= i= Daraus folgt, daß gilt sowie woraus x = V ( x) = N X = μ, x = N N N i= N x i = X N i= V (x i )= N Nσ = N σ σ X = N σ N für den Fehler der Summe folgt. es gilt also: Satz 3 (Gesetz der großen Zahlen) Gegeben seien N Einzelmessungen mit den Einzelunsicherheiten σ i. Dann gilt für den Fehler der Summe der Einzelgrößen: lim N ( N N i= σ i ) =0 was auch als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird. Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes ist der sogenannte Schauerzähler,der auch als elektromagnetisches Kalorimeter bezeichnet wird. Dieser sieht in etwa so aus wie in Abb.(4.): γ e + e γ e + e + e Scintillatoren e Abbildung 4.: Ein Schauerzähler

37 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 33 Zunächst existiert eine Nachweisgrenze E 0, die gegeben ist durch diejenige Energie, die ein Teilchen mindestens haben muß, um in dem Detektor eine Wechselwirkung zu erzeugen. Die Anzahl der registrierten Teilchen (ist identisch mit der Anzahl der Teilchen mit einer Energie oberhalb der Nachweisgrenze), ist dann gegeben durch N E E 0 Alle diese Teilchen wechselwirken mit dem Detektor derart, daß sie Elektronen/- Positronen-Paare erzeugen, die in einem Photomultiplier Signale erzeugen gemäß einer Verteilung der Breite σ. Die Güte der Energiemessung ist gegeben durch σ E Nσ E Daraus folgt dann: σ E E σ E E E k E wobei k der Gütefaktor des Kalorimeters ist. Typische Werte liegen z.b. bei %- 00% für k, wobei die Güte der Energiemessung besser ist mnit höheren Energien. 4.3 Fehlerfortpflanzung In der Praxis ist es häufg nicht möglich, bestimmte Werte direkt zu messen, sondern sie müssen aus anderen (fehlerbehafteten) Größen berechnet werden. Uns interessiert jetzt, wie sich die Fehler der Messrößen auf die berechneten Größen auswirkt. Ein typisches Beispiel für eine solche Problemstellung stellt die Messung der invarianten Masse eines relativistischen Teilchens dar. Für die Masse gilt m = E p wobei p der relativistische Impuls und E die Gesamtenergie des Teilchens sind, die i.a. Meßgrößen sind, also fehlerbehaftet sind. Zunächst betrachten wir den Fall, daß die zu bestimmende Größe f nur Funktion einer Variablen x ist, wobei x einer Meßgröße sein soll, d.h. es gilt f = f(x) Das einfachste Beispiel für f ist eine lineare Funktion: f(x) =ax+ b, Dann folgt sofort für den Erwartungswert: a, b =konst f = a x+ b = a x + b = f( x ) Entsprechend ergibt sich dann für die Varianz: V (f) = f f und für die Standardabweichung: = (ax + b) ax+ b = a x +ab x + b a x b a b x = a ( x x ) = a V (x) σ f = a σ x Dieses Ergebnis sieht in etwa so aus wie in Abb.(4.):

38 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 34 y f(x) =ax + b f( x ) = f σ x x x Abbildung 4.: Fehlerfortpflanzung bei einer linearen Funktion Im allgemeinen Fall, d.h. wenn f nicht eine lineare Funktion ist, führt man eine Taylorentwicklung von f um x durch: f(x) =f( x )+(x x ) f ( x )+ Damit ergibt sich für den Erwartungswert: (x x ) f ( x )+O(x 3 ) f = f( x )+ σ x f ( x )+O(x 3 ) Das bedeutet, daß i.a. f(x) f( x ) gilt. Das ergibt dann den in Abb.(4.3) dargestellten Sachverhalt: y f(x) =ax + b f( x ) = f σ x x x Abbildung 4.3: Fehlerfortpflanzung im nichtlinearen Fall Zur Berechnung der Varianz, also dem Fehler der errechneten Größe, betrachte eine Entwicklung nur bis zur ersten Ordnung, also des linearen Terms: V (f(x)) = f ( x ) V (x) Es folgt dann für die Standardabweichung: σ f = f ( x ) σ x

39 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 35 wobei mit x der wahre Mittelwert der Verteilung gemeint ist (i.a. nicht mit dem gemessenen Wert identisch!) Wir fassen also zusammen: Satz 4 Sei x ± σ x eine fehlerbehaftete Meßgröße und gelte f = f(x). Dann gilt: f = f( x )+ σ x f ( x )+O(x 3 ) σ f = f ( x ) σ x Voraussetzung für die Gültigkeit des obigen Satzes ist, daß f (x) über einen Bereich von 3σ um x nur wenig variiert: f ( x ) f ( x wahr ), f ( x ) 0 Als Beispiel betrachten wir die Messung der Geschwindigkeit eines Körpers, die bekanntlich durch v = s t gegeben ist. Sei s = 00m genau bekannt und t = (0 ± )s fehlerbehaftet. Aus dv dt = s t= t t = v( t ) t sowie d v dt = s t= t t 3 = v( t ) t folgt dann für den Erwartungswert: v = v( t )+ d v σ t dt t= t [ = v( t ) + ] σ t t [ ( ) ] σt = v( t ) + t = v( t )[ + 0%] = 0. m s Für den Fehler folgt dann: σ v = dv dt σ t = v( t ) t= t t σ t = m s d.h. es ergibt sich v = (0. ± ) m s Im nächsten Fall wollen wir Fehlerfortpflanzung einer Größe untersuchen, die die Quadratwurzel einer fehlerbehafteten Größe ist: f(x) =a x, x = x ±σ x Es folgt: df a dx = x= x x = f( x ) x

40 KAPITEL 4. FEHLER VON MESSUNGEN 36 sowie d f a dx = x= x 4 x 3 = 4 x f( x ) Damit ergibt sich sofort für den Erwartungswert und den Fehler: Satz 5 Für den Erwartungswert und die Varianz einer Größe f, die diequa- dratwurzel einer fehlerbehafteten Größe x ist, gilt: [ f = f( x ) + ( ) ] σx 8 x σ f = ( ) σx f( x ) x d.h. der relative Fehler wird durch das Wurzelziehen halbiert. Im allgemeinen sieht die Situation allerdings komplizierter aus, denn f ist in den wenigsten Fällen Funktion von lediglich einer Variablen, sondern hängt häufig von einem Vektor x =(x,...x n ) von n Variablen ab,d.h. f = f( x) =f(x,...x n ) Auch hier betrachten wir wieder den einfachsten denkbaren Fall, d.h. f ist eine lineare Funktion zweier Variablen x und y: f = ax+ by+ c (a, b, c =konst) Dann folgt wiederum sofort für den Erwartungswert: und für die Varianz: f = a x+ by+ c = a x + b y + c = f( x, y ) V (f) = (a x+ by+ c) ax+ by+ c = a x + b y + c +ab x y +ac x +bc y a x b x c a b x y a c x b c y = a ( x x ) + b ( y y ) +ab ( x y x y ) = a V (x)+b V (y)+abcov(x, y) = a σx + b σy +abϱσ x σ y Falls x, y voneinander unabhängige Variablen sind, gilt dann also: σ f = a σ x + b σ y Dieser Ausdruck vergrößert (verkleinert) sich, wenn die Variablen x, y korreliert bzw. antikorreliert sind. Betrachten wir nach dieser kurzen Vorüberlegung jetzt den ganz allgemeinen Fall, in dem m Funktionen von n Variablen existieren, d.h. f = f( x) f i = f i (x...x n ) (i =...m) Wie im eindimensionalen Fall führen wir hier eine Taylorentwicklung durch: n f i ( x) f i ( x )+ (x k x k ) f i n n f i x k + (x k x k )(x l x l ) x= x x k x l k= k= l= x= x