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1 Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X) definiert: V(X) = (x E(X)) 2 f(x)dx. Die Sätze über Erwartungswerte und Varianz in Kapitel 2.3 übertragen sich auf den stetigen Fall, insbesondere gilt auch Satz Wir können die Varianz auch wie folgt berechnen: V(X) = x 2 f(x)dx [E(X)] 2. Beispiel Erwartungswert einer N(µ,σ 2 ) verteilten Z.V. ist µ, die Varianz ist σ 2. In dem Fall ist die Zufallsvariable (X µ)/σ standardnormalverteilt. Die Verteilungsfunktion einer N(µ,σ 2 ) verteilten Z.V. ist Φ ( x µ ) σ 51

2 und die Dichtefunktion wobei f(x) = 1 σ ϕ( x µ ) σ ϕ(x) = 1 2π e 1 2 x2 die Dichte der Standardnormalverteilung mit µ = 0 und σ = 1 ist. 2.6 Eigenschaften der Normalverteilung Satz 2.36.Es seien X 1 und X 2 zwei unabhängig normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswerten µ 1 und µ 2 sowie Varianzen σ 2 1 und σ 2 2. Dann ist auch X 1 + X 2 normalverteilt mit Erwartungswert µ 1 + µ 2 und Varianz σ 2 1 +σ 2 2. Man nennt diese Eigenschaft auch die Faltungseigenschaft der Normalverteilung: HabenganzallgemeinzweiunabhängigeZ.V.dieDichtenf undg,sohatx 1 +X 2 die Dichte f(t)g(x t)dt 52

3 und das hier auftretende Integral heißt die Faltung von f und g. Beim schwachen Gesetz der großen Zahlen (Satz 2.30) haben wir gesehen, dass man Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen berechnen kann. Im Fall normalverteilter Z.V. kennt man sogar die Verteilung. Der Beweis ist im Gegensatz zu den meisten bisher formulierten Sätze nicht trivial: Satz 2.37 (Zentraler Grenzwertsatz). Es seien X 1,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P). Dann gilt für die Folge der Zufallsvariablen X = 1 n (X X n ): lim P( X µ n σ/ n z) = Φ(z). Mit anderen Worten: Das arithmetische Mittel ist asymptotisch N(µ,σ 2 /n)- verteilt. Sei F B(n,p) die Verteilungsfunktion einer B(n,p) verteilten Zufallsvariable S n. Dann gilt F B(n,p) (x) Φ ( x+ 1 2 np ) np(1 p) 53

4 falls np undn(1 p) beide groß sind (Faustregel: np(1 p) 9). Man nennt die Addition von +1/2 die Stetigkeitskorrektur. Das wird deutlich, wenn man sich ein Beispiel anschaut, z.b. die Verteilung von B(300, 0.2) und die entsprechende Normalverteilung ohne und mit Stetigkeitskorrektur. Im ersten Bild ohne, im zweiten Bild mit Stetigkeitskorrektur: 54

5 Man nennt diese Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung auch den zentralen Grenzwertsatz von demoivre-laplace. Beachten Sie, dass bei der Berechnung der W.K. P(k S n l) die Stetigkeitskorrektur an der unteren Schranke mit einem anderen Vorzeichen erfolgt: P(k S n l) Φ ( l+ 1 2 np ) ( k 1 Φ 2 np ) np(1 p) np(1 p) Da die Poissonverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung auftritt ist es auch nicht überraschend, dass die Poissonverteilung F P(λ) zum Parameter λ 55

6 durch die Normalverteilung approximiert werden kann: F P(λ) (x) Φ ( x+1/2 λ) λ 2.7 Gleichverteilung und Exponentialverteilung Eine Zufallsvariable X mit Realisierungen auf einem Intervall [a, b] heißt gleichverteilt, falls für die Wahrscheinlichkeiten gilt P(X [c,d]) = d c b a für a c d b. Die Dichtefunktion f(x) ist dann { 1 f(x) = b a x (a,b) 0 sonst Man kann dann daraus leicht Erwartungswert und Varianz einer auf [a, b] gleichverteilten Zufallsvariablen X bestimmen: E(X) = b+a 2 V(X) = (b a)

7 Definition Eine Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt zum Parameter λ (geschrieben X Exp(λ)), wenn die Dichte f(x) = λ e λx für x > 0 und 0 sonst ist. Satz Die Verteilungsfunktion F(x) einer Exponentialverteilung ist F(x) = 1 e λx für x 0 und 0 für x < 0. Der Erwartungswert ist 1/λ und die Varianz 1/λ 2. Bemerkung Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos im folgenden Sinne: P(X t+h X t) = P(X h) für alle t,h > 0. Hier sind die Bilder der Dichten von zwei Exponentialverteilungen, einmal zum Parameter λ = 1 (rot) und einmal zum Parameter λ = 1/2 (blau). 57

8 2.8 Gammaverteilung Zunächst verallgemeinern wir den Begriff der Fakultät: Γ(z) := Es gilt Γ(k) = (k 1)! für k {1,2,3,...}. 0 x z 1 e x.x, z > 0 Definition Eine Zufallsvariable X heißt gammaverteilt ( Γ(α, λ)) mit Parametern α > 0 und λ > 0, wenn ihre Dichte f(x) = λα Γ(α) xα 1 e λx fürx > 0 58

9 ist (und 0 für x 0). Der Parameter λ ist nur ein Formparameter, denn wenn X Γ(α,1), dann gilt 1 λx Γ(α,λ). Der Parameter α hingegen hat wesentlichen Einflußauf die Dichtefunktion. Im Fall α = 1 erhalten wir die Exponentialverteilung. Satz Sei X Γ(α,λ), dann E(X) = α λ V(X) = α λ 2. Das folgende Bild zeigt die Dichte der Gammaverteilung jeweils für λ = 1 und α = 0.5 (rot), α = 1 (blau) und α = 2 (grün): 59

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