1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?

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1 1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan 27 14:56 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit P von Kolmogorow. Wir betrachten einen zufälligen Versuch mit der Menge der möglichen Versuchsergebnisse mit: heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf Jan 27 15:01 Prof.Dr.B.Grabowski 1

2 Zwei Interpretationen der Wkt. P(A) : Endliche Grundgesamtheit Gg. A : Die Objekte der Gg mit Eigenschaft D.h. P(A) = h Gg(A) = Anteil der Objekte der Grundgesamtheit mit Eigenschaft A Stabilität der rel. Häufigkt. Es gilt: bzw. st limh n(a) = P(A) (Stochastischer Limes) (andere Folge) hn(a) strebt gegen den geichen Grenzwert wie die blaue Folge) Folge von Beobachtungen, wir berechnen nach jeder Beobachtung h n (A) Jan 27 15:08 D.h. P(A) = h (A)= dem Anteil des Eintretens von A in einer unendlich großen (bzw. sehr großen) Menge von Versuchswiederholungen unter gleichen Bedingungen. Jan 29 09:34 Prof.Dr.B.Grabowski 2

3 2. Verteilung von Zufallsgrößen (ZG) Verteilung diskreter ZG h n (a i ) >p i Häufigkeitsverteilung in der Stichprobe Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Gg Jan 27 15:16 Def.: 3. besagt, dass man aus den Einzelwahrscheinlichkeiten pi alle Wahrscheinlichkeiten der Form X A berechnen kann. Jan 27 15:19 Prof.Dr.B.Grabowski 3

4 =Erwartungswert von X (= Mittelwert von X in der Gg) Jan 27 15:24 = Varianz von X (Streuung in der Gg) Jan 27 15:28 Prof.Dr.B.Grabowski 4

5 Hiermit machen wir jetzt weiter Jan 27 15:31 1. Die Zweipunktverteilung mit Parameter p Jan 27 15:34 Prof.Dr.B.Grabowski 5

6 2. Die Binomialverteilung mit den Parametern n und p Versuchsschema: Jan 27 15:37 Wir bezeichnen: Jan 27 15:41 Prof.Dr.B.Grabowski 6

7 Jan 27 15:44 Jan 27 15:47 Prof.Dr.B.Grabowski 7

8 Siehe Fallstudie 2, Aufgabe 2a): Gesucht: Jan 27 15:54 Satz: Es gilt gilt: Ist X~B(n,p) und Jan 27 16:00 Prof.Dr.B.Grabowski 8

9 Anwendungen: Sind n groß und p kein, so gibt es numerische Probleme beim Berechnen der Binomialwahrscheinlichkeiten Wir verwenden die Approximation Jan 27 16:03 Jan 29 10:12 Prof.Dr.B.Grabowski 9

10 Eine Bezeichnung: Ist so gilt: Jan 27 16:05 Jan 27 16:08 Prof.Dr.B.Grabowski 10

11 Lösung X = Anzahl der eintreffenden Autos Verteilung von X bestimmen: n = Anzahl aller möglichen Autos, die an der Kreuzung ankommen könnten. n ist sicher 20. Wir überlegen nun, was der zweipunktverteilte Versuch ist: Jan 29 10:21 i kommt an i kommt nicht an p ist klein: n und p sind unbekannt, aber np nicht: Nun können wir P(X>5) berechen: P(X>5) = 1 P(X < 5) = 1 (p0+p1+p2+p3+p4+p5) Jan 27 16:11 Prof.Dr.B.Grabowski 11

12 2. 2. Verteilungen stetiger ZG Jan 27 16:18 diskret stetig Jan 27 16:18 Prof.Dr.B.Grabowski 12

13 Bezeichnungen Verteilungsdichte = Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeiten für stetige ZG sind berechenbar, falls wir f(x) oder F(x) kennen. Wo bekommen wir f(x) her? Jan 27 16:43 Wir machen uns ein Modell für f(x) anhand der Gestalt des Histogramms einer Stichprobe Histogramm Modell für die Dichte f(x) Je nach Gestalt des Histogramms unterscheiden wir bestimmte spezielle stetige Verteilungen. Jan 27 16:45 Prof.Dr.B.Grabowski 13

14 Spezielle Stetige Verteilungen 1. Die Exponentialverteilung f(x) muss aber noch folgende Nebenbedingung erfüllen: Jan 27 16:49 Jan 27 16:52 Prof.Dr.B.Grabowski 14

15 Jan 29 14:22 HA Das ist die Aufgabe 5 der Fallstudie 2! Jan 27 16:54 Prof.Dr.B.Grabowski 15

16 2) Die Normalverteilung Nebenbedingung: Jan 27 16:56 Jan 27 17:00 Prof.Dr.B.Grabowski 16

17 Jan 29 14:29 Die σ Bereiche der Normalverteilung: 1 σ Bereich: 2 σ Bereich: 3 σ Bereich: Jan 27 17:02 Prof.Dr.B.Grabowski 17

18 Bedeutung der Angabe: (siehe Aufgabe 6a, Fallstudie 2) Gewicht Jan 27 17:05 Berechung von Wahrscheinlichkeiten einer Normalvert. Dieses Integral ist nicht direkt lösbar! Das machen wir besser mittels der Standardnomalverteilung. Jan 27 17:07 Prof.Dr.B.Grabowski 18

19 Bezeichnungen: Jan 27 17:09 Jan 27 17:11 Prof.Dr.B.Grabowski 19

20 Jan 27 17:17 Die Tabelle der Standardnormalverteilung finden Sie unter Jan 29 14:38 Prof.Dr.B.Grabowski 20

21 Jan 29 14:41 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer beliebigen Normalverteilung erfolgt mit folgendem Transformationssatz: Fallstudie 2 b) und c) können Sie so berechnen! Jan 27 17:19 Prof.Dr.B.Grabowski 21

22 In Fallstudie 2, e) und f) sind Quantile gesucht. Geg: Φ(x)=0.95 Ges: x=x 0,95 Jan 27 17:22 Prof.Dr.B.Grabowski 22