Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

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Tristan Hase
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1 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie (Klausuraufgaben) Marcel Bliem Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Herbst 2010 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 1 / 7

2 Klausur 1 Aufgabe 6 Bei der Herstellung von Glühbirnen werden diese in zwei Qualitätsklassen eingeteilt. Die beiden Qualitätsklassen unterscheiden sich dadurch, dass die Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer einer Glühbirne von mehr als 1000 Stunden gleich 0.80 für die Qualitätsklasse 1, 0.20 für die Qualitätsklasse 2 beträgt. Von der Gesamtproduktion sei jede vierte Glühbirne aus der Qualitätsklasse 1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte Glühbirne länger als 1000 Stunden brennt? b) Eine Glühbirne ist innerhalb von 1000 Stunden durchgebrannt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese Glühbirne der Qualitätsklasse 1 angehört? c) Die (in Stunden gemessene) Lebensdauer einer Glühbirne der Klasse 1 sei exponentialverteilt mit Parameter λ. Berechnen Sie λ. Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 2 / 7

3 Lösung (K1 A6) Teil a) Bezeichnungen A = Lebensdauer ist > 1000 Stunden B 1 = Glühbirne ist in Qualitätsklasse 1 B 2 = Glühbirne ist in Qualitätsklasse 2 Gesucht P(A) Bekannte Wahrscheinlichkeiten P(B 1 ) = 1 4 P(B 2 ) = 3 4 P(A B 1 ) = 4 5 P(A B 2 ) = 1 5 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 3 / 7

4 Lösung (K1 A6) Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) = = 7 20 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 3 / 7

5 Lösung (K1 A6) Teil b) Gesucht P(B 1 A) Formel von Bayes P(B 1 A) = P( A B 1)P(B 1 ) P( A) a) = (1 4 5 ) = 1 13 = (1 P(A B 1))P(B 1 ) 1 P(A) Insgesamt P(B 1 A) = 1 13 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 3 / 7

6 Lösung (K1 A6) Teil c) Die Lebensdauer L ist exponentialverteilt: 0.8 = P(L > 1000) = 1 P(L 1000) = 1 λ = 1 + [ e λx] = 1 + e 1000λ 1 = e 1000λ e λx dx Auflösen: Insgesamt 0.8 = e 1000λ ln 0.8 λ = ln 0.8 λ = 1000 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 3 / 7

7 Klausur 2 Aufgabe 5 Ein Gerät bestehe aus 3 nacheinander angeordneten Teilsystemen, die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.4 und 0.5 ausfallen können. Das Gerät sei nur funktionsfähig, wenn alle Teilsysteme funktionieren. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gerät funktionsfähig? b) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit aus a), wenn dem dritten Teilsystem noch zwei unabhängige Reservesysteme (ebenfalls mit der Ausfallwahrscheinlichkeit 0.5) parallel geschaltet werden? Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 4 / 7

8 Lösung (K2 A5) Teil a) Zur Bezeichnung A = Teilsystem 1 funktioniert B = Teilsystem 2 funktioniert C = Teilsystem 3 funktioniert Gesucht P(A B C) Einzelne Wahrscheinlichkeiten für Funktionsfähigkeit P(A) = 1 P( A) = = 4 5 P(B) = 1 P( B) = = 3 5 P(C) = 1 P( C) = = 1 2 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 5 / 7

9 Lösung (K2 A5) Die Ereignisse sind unabhängig: P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 6 25 = 0.24 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 5 / 7

10 Lösung (K2 A5) Teil b) Zur Bezeichnung C neu = irgend ein System im dritten Teilsystem funktioniert c i = i-tes Ersatzsystem funktioniert nicht Gesucht P(A B C neu ) kein System des dritten Teilsystems funktioniert P(c 1 c 2 c 3 ) = P(c 1 ) P(c 2 ) P(c 3 ) = = 1 8 eines der Systeme im dritten Teilsystems funktioniert Insgesamt P(C neu ) = 1 P(c 1 c 2 c 3 ) = 7 8 P(A B C neu ) = P(A) P(B) P(C neu ) = = = 0.42 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 5 / 7

11 Klausur 2 Aufgabe 6 Bei der Herstellung von Gewindestiften sei deren Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern µ = 30 mm und σ 2 = 0, 25 mm 2. Ein Gewindestift ist für die Montage verwendbar, wenn er mindestens 29 mm lang ist. Die Lieferung der Stifte erfolge in Packungen zu 1000 Stück. a) Wie groß ist die mittlere Anzahl der verwendbaren Stifte einer Packung? b) Auf welchen Wert müsste der Mittelwert µ eingestellt werden, damit der Anteil der nicht verwendbaren Stifte nur noch 1% beträgt? Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 6 / 7

12 Lösung (K2 A6) Teil a) Erinnerung (Normalverteilung) Sei X eine N (µ, σ 2 ) verteilte Zufallsvariable und Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dann gilt P(X < x) = Φ Φ( x) = 1 Φ(x) «x µ für alle x R. σ X N (30, 0.25) bezeichne die Länge des Stiftes Zu bestimmen P(X 29) P(X 29) = 1 P(X < 29) ( ) = 1 Φ 0.5 = 1 Φ( 2) = 1 (1 Φ(2)) = Φ(2) Nachschlagen in der Tabelle P(X 29) = Φ(2) = Insgesamt sind von 1000 Stiften im Mittel Stifte brauchbar Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 7 / 7

13 Lösung (K2 A6) Teil b) Gesucht ist µ, so dass für Länge X N (µ, 0.25) gilt P(X 29) = 0.99 Umformen ( ) 29 µ P(X 29) = 1 P(X < 29) = 1 Φ 0.5 ( ( )) ( ) µ 29 µ 29! = 1 1 Φ = Φ = Nachschlagen in der Tabelle ( ) µ 29! Φ = 0.99 µ 29! = Insgesamt µ = Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 7 / 7

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