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1 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am , Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung. Da keine Taschenrechner zugelassen sind, brauchen Zahlenrechnungen, für die man normalerweise einen Taschenrechner benutzen würde, nicht durchgeführt zu werden. Ausnahme: Zwischenergebnis, für das der Zahlenwert für die weitere Behandlung der Aufgabe unbedingt nötig ist. Dieser Zahlenwert kann aber dann durch Kopfrechnung ermittelt werden. Ein Endergebnis ist vollständig, wenn zur Ermittlung des Zahlenwertes höchstens die Ausführung der elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Anwendung elementarer Funktionen (exp x( e x ), ln x, log x, sin x, cosx, tanx, arcsin x, arccosx, arctan x, a x, x) nötig wäre. c) Zugelassene Hilfsmittel: Werden für die künftigen Klausuren neu festgelegt. Weitere Hinweise: a) Wer mindestens 30 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem file allginfo.ps oder allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe 0405/. Aufgabe 1 7 Punkte Bei den Kleinbetrieben einer Stadt wurden die Meldung der Umsätze vom in der folgenden Häufigkeitstabelle ausgewertet: Klasse Tagesumsatz von... prozentuale bis unter... (Euro) Häufigkeit Wieviel % haben näherungsweise einen Tagesumsatz von weniger als 450 Euro und wieviel % haben näherungsweise einen Tagesumsatz von mindestes 650 Euro?

2 2 Lösungsvorschlag zu Aufg. 1: Klasse Merkmalswert von... prozentuale kum. proz. Häufigkeit kum. proz. Häufigkeit bis unter... Häufigkeit aufsteig. Kum. absteig. Kum Klasse 2: 20% haben einen Tagesumsatz unter 400 Euro 50% haben einen Tagesumsatz unter 600 Euro y% haben einen Tagesumsatz unter 450 Euro Anwendung der Interpolationsformel (2.2.1): y = (50 20) Klasse 3: 50% haben einen Tagesumsatz von mindestens 600 Euro 10% haben einen Tagesumsatz von mindestens 800 Euro y% haben einen Tagesumsatz von mindestens 650 Euro Anwendung der Interpolationsformel (2.2.1): y = (10 50) Aufgabe 2 5 Punkte Vorgegeben sei folgende Häufigkeitstabelle: x i f i Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung. Lösungsvorschlag zu Aufg. 2: Das arithmetische Mittel beträgt: x = Die mittlere absolute Abweichung beträgt: ( 3) ( 3) = = 4 =

3 3 Aufgabe 3 5 Punkte 4 Kleinbetriebe hatten folgende Monatsumsätze in Tausend Euro: 10, 10, 60 und 20. Zeichnen Sie die Lorenz Kurve und bestimmen Sie den (nicht normierten) Gini-Koeffizienten? Lösungsvorschlag zu Aufg. 3: Wir ordnen die Daten der Größe nach (Rangliste): x 1 = 10, x 2 = 10, x 3 = 20, x 4 = 60, Summe=100. Daraus erhalten wir die kumulierten Anteile am Gesamteinkommen v 1 = 10/100 = 0.10, v 2 = ( )/100 = 0.20, v 3 = ( )/100 = 0.40 und schließlich den (nicht normierten) Gini Koeffizienten: G = (v 1 + v 2 + v 3 ) 4 Abszissen der Eckpunkte der Lorenzkurve = ( )/ u k = k 4, k = 0, 1,..., 4 Die Ordinaten der Eckpunkte sind die oben bestimmten v k ergänzt durch v 0 = 0 und v 4 = 1 v v = u Lorenz-Kurve u Aufgabe 4 5 Punkte In einem Betrieb wurde 2003 der Artikel C neu eingeführt: Artikel Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl in Euro in Euro in Euro A B C Beschreiben Sie die Preisentwicklung (nicht bei den einzelnen Artikeln, sondern bei dem Gesamtbetrieb) von 2002 nach 2003 und von 2002 nach 2004 durch die Bestimmung je eines geeigneter Indexes.

4 4 Lösungsvorschlag zu Aufg. 4: Die Preisentwicklung von 2002 nach 2003 wird durch den Preisindex beschrieben. P 0,1 = = 100 = Wir benötigen den fiktiven Preis für den neuen Artikel im Basisjahr 2002, bei dem die Gesamtpreisentwicklung von A und B berücksichtigt wird: p 0,2 = Die Preisentwicklung von 2002 nach 2004 wird durch den Preisindex beschrieben. P 0,2 = (28/1.40) Aufgabe 5 6 Punkte Die Umsatzdaten eines Unternehmens seien in Quartalswerten y i angegeben. Zur Vorbereitung der Schätzung der Saisonnormale wurden von diesen Werten y i die zugehörigen Werte des gleitenden Durchschnitts abgezogen, was dann folgende Differenzen d i (in Mio.Euro) ergab: Quartal Jahr I II III IV Die ersten 5 Werte der Zeitreihe sind y 1 = 1, y 2 = 1, y 3 = 7, y 4 = 10, y 5 = 3. Bestimmen Sie dazu die ersten 5 Schätzwerte der saisonbereinigte Zeitreihe. Lösungsvorschlag zu Aufg. 5: Wir bilden zunächst die Durchschnittswerte bei den einzelnen Quartalen: d I = = 3, d II = = 3, d III = = 3, d IV = = 7 Wir bilden dann deren Durchschnittswert: Schätzwerte der Saisonnormale zu y i : d = ( )/4 = 1 S I = 3 1 = 4, S II = 3 1 = 4, S III = 3 1 = 2, S IV = 7 1 = 6.

5 5 Die ersten 5 Schätzwerte der saisonbereinigten Zeitreihe sind demnach: 1 ( 4) = 5, 1 ( 4) = 5, 7 2 = 5, 10 6 = 4, 3 ( 4) = 7. Aufgabe 6 8 Punkte Zu zwei Merkmalen liegen Daten aus 4 Beobachtungen vor: i x i y i Bestimmen Sie für die erste Regressionsgerade die Koeffizienten a 1 und b 1. y = a 1 + b 1 x Lösungsvorschlag zu Aufg. 6: Wir verwenden eine Arbeitstabelle für die Ermittlung der Mittelwerte: i x i y i x i y i x 2 i /4 17/4 7 Für die gesuchten Koeffizienten erhalten wir somit: b 1 = xy x y x 2 x 2 = 17/4 + 3/4 7 1 = 5 6, a 1 = y b 1 x = Aufgabe 7 7 Punkte a) Für ein neu einzurichtendes Schreibbüro sollen aus 30 Bewerberinnen 4 Schreibkräfte gleichzeitig ausgewählt werden. a 1 ) Auf wieviele Arten ist das möglich? a 2 ) Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn eine der 30 Bewerberinnen aus gesetzlichen Gründen eingestellt werden muss?

6 6 b) Jemand verschenkt 4 gleiche Briefmarken an 9 Personen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn jede Person keine, eine oder mehr als eine Briefmarke bekommen kann? Lösungsvorschlag zu Aufg. 7: a 1 ) Zahl Möglichkeiten: K 4 (30)o.Z.o.B.d.A. = ( ) 30 = a 2 ) Dadurch, dass eine der Bewerberin eingestellt werden muss, sind aus den restlichen 29 dann 3 Bewerberinnnen auszuwählen. Zahl Möglichkeiten: K 3 (29)o.Z.o.B.d.A. = ( ) = b) Für jede Briefmarke wird eine Person ausgewählt (nicht umgekehrt). Da eine Person auch mehrere Briefmarken bekommen kann, wird m.z. ausgewählt. Da die Briefmarken alle gleich sind, kommt es auf die Ziehungsreihenfolge nicht an. Zahl Möglichkeiten: ( ) K 4 (9)m.Z.o.B.d.A. = = Aufgabe 8 7 Punkte Ein Interviewer wählt aus den 200 Besuchern einer Veranstaltung nacheinander 4 zufällig für ein Interview aus, wobei er sich nicht merkt, wen er schon ausgewählt hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einmal jemanden auswählt, den er schon befragt hat? Lösungsvorschlag zu Aufg. 8: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass der Interviewer mindestens einen Besucher noch einmal befragt, berechnen wir über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses A: Kein Besucher wird mehr als einmal ausgewählt. Um gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zu garantieren, wählen wir m.b.d.a. und erhalten so und P(A) = K 4(200)o.Z.m.B.d.A =, K 4 (200)m.Z.m.B.d.A P(A) = 1 P(A) =

7 7 Aufgabe 9 10 Punkte Drei Versicherungsgesellschaften einer Region bieten Kapital Lebensversicherungen und Risiko Lebensversicherungen an und nur diese beiden Lebensversicherungsformen. Jeder neue Lebensversicherungsvertrag wird mit einer der drei Gesellschaften abgeschlossen, mit Wahrscheinlichkeit 0.40 mit Versicherungsgesellschaft 1 und mit Wahrscheinlichkeit 0.20 mit Versicherungsgesellschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mit Gesellschaft 1 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Kapital Lebensversicherung ist, sei mit Gesellschaft 2 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Kapital Lebensversicherung ist, sei mit Gesellschaft 3 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Kapital Lebensversicherung ist, sei a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Risiko Lebensversicherung ist? b) Ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer schließt eine Risiko Lebensversicherung ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie mit Gesellschaft 1 abgeschließt? c) Ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer schließt eine Kapital Lebensversicherung ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie mit Gesellschaft 1 abgeschließt? Lösungsvorschlag zu Aufg. 9: a) Ereignisse: K: Abschluss einer Kapitallebensversicherung R: Abschluss einer Risikolebensversicherung V i : Abschluss bei Versicherunggesellschaft i Die Bedingungen der Sätze (Formel für die totale Wahrscheinlichkeit) und (Formel von Bayes) sind erfüllt, da V 1, V 2, V 3 ein vollständiges System bilden und da P(V i ) > 0 für alle i und P(R/V 1 ) > 0 gelten. P(V 3 ) = = 0.4 P(K/V 1 ) = 0.7 P(R/V 1 ) = 0.3 P(K/V 2 ) = 0.8 P(R/V 2 ) = 0.2 P(K/V 3 ) = 0.6 P(R/V 3 ) = 0.4 P(R) = P(R/V 1 ) P(V 1 ) + P(R/V 2 ) P(V 2 ) + P(R/V 3 ) P(V 3 ) = = 0.32

8 8 b) P(V 1 /R) = P(R/V 1) P(V 1 ) P(R) = c) P(V 1 /K) = P(K/V 1) P(V 1 ) P(K) =

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