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Innozenz Eberhardt
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1 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am , Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung. Da keine Taschenrechner zugelassen sind, brauchen Zahlenrechnungen, für die man normalerweise einen Taschenrechner benutzen würde, nicht durchgeführt zu werden. Ausnahme: Zwischenergebnis, für das der Zahlenwert für die weitere Behandlung der Aufgabe unbedingt nötig ist. Dieser Zahlenwert kann aber dann durch Kopfrechnung ermittelt werden. Ein Endergebnis ist vollständig, wenn zur Ermittlung des Zahlenwertes höchstens die Ausführung der elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Anwendung elementarer Funktionen (exp x( e x ), ln x, log x, sin x, cosx, tanx, arcsin x, arccosx, arctan x, a x, x) nötig wäre. Die Bildung von m! und des Binomialkoeffizienten z.b. gehören nicht zu den elementaren Rechenoperationen. c) Zugelassene Hilfsmittel: Werden für die künftigen Klausuren neu festgelegt. Weitere Hinweise: a) Wer mindestens 30 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem File allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe 006/. Aufgabe 1 7 Punkte Bei den Kleinbetrieben einer Stadt wurden die Meldung der Umsätze vom in der folgenden Häufigkeitstabelle ausgewertet: Klasse Tagesumsatz von... prozentuale bis unter... (Euro) Häufigkeit a) Zeichnen Sie das Histogramm. b) Bestimmen Sie einen Näherungswert für den Median.

2 2 Lösungsvorschlag zu Aufg. 1: Klasse Merkmalswert von... prozentuale kum. proz. Häufigkeit Rechteckbis unter... Häufigkeit aufsteig. Kum. höhe Als Bezugsklassenbreite wurde 100 gewählt. Somit erhielten wir z.b. für die erste Klasse als Rechteckhöhe: /200 = 10. a) b) Der Median ist der Wert, für den die kumulierte prozentuale Häufigkeit 0 beträgt. Damit erhalten wir nach der Interpolationsformel (2.2.1) als Näherungswert für den Median: ( ) Aufgabe 2 4 Punkte Vorgegeben sei folgende Häufigkeitstabelle: Merkmalswert Absolute Häufigkeit Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz. Lösungsvorschlag zu Aufg. 2: Das arithmetische Mittel beträgt: x = ( 2) Für die Varianz erhalten wir nach Formel (3.2.3): = = 2 x 2 (x) 2 = ( 2)

3 3 Aufgabe 3 7 Punkte In einem Betrieb wurden 2004 die Artikel C und D neu eingeführt: Artikel Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl in Euro in Euro in Euro A B C D Beschreiben Sie die Preisentwicklung (nicht bei den einzelnen Artikeln, sondern bei dem Gesamtbetrieb) von 2003 nach 2004 durch die Bestimmung eines geeigneten Indexes und von 2003 nach 200 durch die Bestimmung eines geeigneten Indexes. Lösungsvorschlag zu Aufg. 3: Die Preisentwicklung von 2003 nach 2004 wird durch den Preisindex P 0,1 = 100 = 100 = beschrieben. Wir benötigen die fiktiven Preise für die neuen Artikel C und D im Basisjahr 2003, bei dem die Gesamtpreisentwicklung von A und B berücksichtigt wird: p 0,3 = = 30, p 0,4 = = Die Preisentwicklung von 2003 nach 200 wird durch den Preisindex beschrieben. P 0,2 = Aufgabe 4 9 Punkte Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der exponentiellen Trendschätzfunktion T (t) = a b t für die Umsatzentwicklung eines Betriebes in den Jahren 2001 bis 200, wobei von den Umsatzddaten y 1, y 2,..., y, in den einzelnen Jahren bereits die natürlichen Logarithmen gebildet wurden: ln(y 1 ) = 1.0, ln(y 2 ) = 2.0, ln(y 3 ) = 1.0, ln(y 4 ) = 2.0, ln(y ) = 2.0. Lösungsvorschlag zu Aufg. 4: Wir bestimmen zunächst eine linearen Trendschätzfunktion zu der (bereits vorgegebenen) Zeitreihe ln y i. Dazu benötigen wir einige Mittelwerte: t 2 = t = = = 3, ln y = = 11, t ln y = = 8.0 = 1.6, = 26.0 =.2.

4 4 Daraus gewinnen wir dann die Steigung b und den Achsenabschnitt a der Trendschätzgerade zu der Zeitreihe ln y i : b = t ln y t ln y = t 2 (t) = = 0.2, a = ln y b t = = 1.0 Für die gesuchten Parameter der exponetiellen Trendschätzfunktion erhalten wir somit: b = e 0.2 und a = e 1.0. Bemerkungen: Es kann wie in Aufgabe 6 eine Arbeitstabelle benutzt werden. Die obigen Zahlenrechnungen brauchten nicht durchgeführt zu werden; es genügte gemäß der allgemeinen Regeln der Klausur die entsprechende Zahlenausdrücke (also z.b. 8.0/ für ln y) einzusetzen. Aufgabe 11 Punkte Die Gewinndaten eines Unternehmens in den Jahren von 2001 bis 2003 seien in Halbjahreswerten angegeben: Halbjahr Gewinn 2001, I , II , I , II , I , II Bestimmen Sie dazu alle 6 Schätzwerte der saisonbereinigten Zeitreihe. Lösungsvorschlag zu Aufg. : Jahr Halbjahr i y i D 2 (i) d i Si Bi I II 01 I II I II I II Ausrechnungsbeispiele und Zwischenrechnungen: D 2 (4) = (1+3)/ = 11, d 4 := y 4 D 2 (4) = = 2 (dem 2. Halbjahr zuzuordnen)

5 d = (d I + d II )/2 = ( 1 + 3)/2 = 1, SI := d I d = 1 1 = 2, SII := d II d = 3 1 = 2 B 4 := y 4 S4 = 13 2 = 11 Aufgabe 6 8 Punkte Zu zwei Merkmalen liegen Daten aus 4 Beobachtungen vor. i x i y i Bestimmen Sie für die erste Regressionsgerade die Koeffizienten a 1 und b 1. y = a 1 + b 1 x Lösungsvorschlag zu Aufg. 6: Wir verwenden in dieser Aufgabe eine Arbeitstabelle für die Ermittlung der Mittelwerte. Selbstverständlich können die Mittelwerte auch in der gleichen Weise wie in Aufgabe 4 bestimmt werden. i x i y i x i y i x 2 i /4 18/4 Für die gesuchten Koeffizienten erhalten wir somit: b 1 = xy x y x 2 x 2 = 7/ /4 1 = = 1 14, a 1 = y b 1 x = Aufgabe 7 4 Punkte Eine Softwarefirma hat sechs Mitarbeiter im Außendienst. Fünf ihrer Kunden brauchen Hilfe. Zu diesen fünf Kunden wird je ein Mitarbeiter geschickt, wobei also kein Mitarbeiter mehr als einen Kunden berät. a) Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es dafür, wenn es nicht gleichgültig ist, wer welchen Kunden berät?

6 6 b) Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es dafür, wenn es nicht gleichgültig ist, wer welchen Kunden berät und wenn zu einem besonders schwierigen Kunden der Mitarbeiter mit der meisten Erfahrung geschickt werden soll? Lösungsvorschlag zu Aufg. 7: a) Es handelt sich um Kombinationen. Ordnung aus 6 Elementen ohne Zurücklegen (kein Mitarbeiter berät mehr als einen Kunden) mit Berücksichtigung der Anordnung (es ist nicht gleichgültig, wer welchen Kunden berät); Anzahl: b) Es besteht nur noch für 4 Kunden die freie Auswahl aus Mitarbeitern. Damit erhält man analog zu a) als Anzahl der Möglichkeiten. Aufgabe 8 6 Punkte In einer Dose befinden sich 20 Schrauben. Sie wählen zufällig viermal eine Schraube mit Zurücklegen aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens eine der Schrauben mehr als einmal auswählen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie viermal dieselbe Schraube auswählen? Lösungsvorschlag zu Aufg. 8: a) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass mindestens eine der Schrauben mehr als einmal ausgewählt wird, berechnen wir über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses A: Jede Schraube wird höchstens einmal ausgewählt. Um gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zu garantieren, wählen wir m.b.d.a. und erhalten so P(A) = K 4(20)o.Z.m.B.d.A. K 4 (20)m.Z.m.B.d.A. = , und P(A) = 1 P(A) = b) Bei der 1. Ziehung haben wir noch 20 Möglichkeiten, bei den weiteren nur noch jeweils eine, da wir immer die bei ersten Ziehung gezogene Schraube ziehen. Damit erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: = Aufgabe 9 6 Punkte Bei der Überprüfung einer Lieferung werde ein defektes Stück mit Wahrscheinlichkeit 0.9 als solches erkannt und aussortiert und ein nicht defektes mit Wahrscheinlichkeit 0.04 irrtümlich aussortiert. Ein zufällig herausgegriffenes Stück sei mit Wahrscheinlichkeit defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als defekt aussortiertes Stück tatsächlich defekt ist?

7 7 Lösungsvorschlag zu Aufg. 9: Bezeichnen wir mit D das Ereignis Ziehung eines (tatsächlich) defekten Stückes und mit A das Ereignis Aussondern eines Stückes als defekt (evtl. irrtümlich), so gilt P(A/D) = 0.90, P(A/D) = 0.040, P(D) = und P(D) = 1 P(D) = Da die Ereignisse D und D ein vollständiges System bilden und u.a. P(A/D) = 0.90 > 0 ist, kann die Formel von Bayes angewendet werden und wir erhalten für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(D/A) = P(A/D) P(D) P(A) =

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