Statistik (Ch/Ph) Schwerpunkte und Aufgaben

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1 1 Kombinatorik 1.1 Aufgaben Statistik (Ch/Ph) Schwerpunkte und Aufgaben Eine Münze wird fünfmal geworfen. Es wird notiert, ob Zahl oder Wappen erscheint. Wieviel verschiedene Versuchsprotokolle sind möglich? Wieviel Diagonalen besitzt ein n-eck? Eine Lieferung von 100 Erzeugnissen, die durch ihre Fabrikationsnummer unterscheidbar sind, enthalte 5 minderwertige. Bei wievielen verschiedenen Fällen können unter 10 zur Prüfung willkürlich herausgegriffenen Erzeugnissen genau 2 minderwertig sein? Drei schwarze und drei weiße Kugeln sollen so in eine Reihe gelegt werden, daß in keiner Anordnung gleichzeitig zwei schwarze oder zwei weiße Kugeln nebeneinander liegen. Auf wieviel verschiedene Arten ist das möglich? Die Qualität von 10 Erzeugnissen wird überprüft ( Gut-schlecht- Prüfung ). 1. Wie viele verschiedene Prüfungsprotokolle und insgesamt möglich? ( Als Beispiel sei das Protokoll g, s, s, g, s, g, g, s, g, g angegeben.) 2. Wie viele Protokolle enthalten das Element g genau sechsmal? 2 Wahrscheinlichkeiten Ereignisse: Zufällige Ereignisse, unmögliches und sicheres Ereignis, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement von Ereignissen, Teilereignisse Wahrscheinlichkeiten: Definition der Wahrscheinlichkeit, Elementarereignisse und klassische Wahrscheinlichkeit Ereignisalgebra: Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammengesetzter Ereignisse, vollständige Ereignissysteme, totale Wahrscheinlichkeit Bedingte Ereignisse: Bedingte Ereignisse, Unabhängigkeit von Ereignissen, Satz von Bayes 2.1 Aufgaben A und B seien zwei Ereignisse. Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich. Zieht dann das Ereignis A das Ereignis B nach sich? Man vereinfache die Ausdrücke D = (A A) (B C) (B C) (B C) E = (A C) (A C) (A C) F = A B G = A B und versuche die Lösungen grafisch darzustellen! 1

2 Zwei Glühlampen sollen unabhängig voneinander arbeiten. Nach einer gewissen (zufälligen) Lebensdauer fallen sie aus. Wir betrachten die Anzahl der ausgefallenen Glühbirnen. Man definiere geeignete atomare Ereignisse und gebe weitere Ereignisse des Ereignisfeldes an! Bilden die zufälligen Ereignisse A, A B, A B ein vollständiges Ereignissystem? Aus einer Tabelle von Zufallszahlen werde willkürlich eine Zahl herausgezogen. A bedeutet, daß die ausgewählte Zahl durch 5 teilbar ist, B bedeutet, daß die ausgewählte Zahl mit einer Null endet. Was bedeuten die Ereignisse A B und A B? A sei das Ereignis, daß von 6 Maschinen genau 2, und B bedeute, daß mindestens 2 intakt sind. Was bedeuten dann die Ereignisse: A, B, A B, A B, A B, A B? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die aus den Ziffern von 0 bis 9 willkürlich gebildeten zweistelligen Zahlen durch 9 bzw. durch 18 teilbar sind? Eine Münze wird viermal geworfen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl a) genau zweimal ; b) mindestens einmal ; c) höchstens einmal oben liegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Skatspieler beim Verteilen der Karten a) 4 Buben b) 2 Buben und 3 Asse erhält? In einem Behälter liegen 20 Maschinenteile, davon sind 6 fehlerhaft. Es werden willkürlich nacheinander und ohne zurücklegen 4 Teile ausgewählt. Wie groß ist die W. dafür, daß solch eine Stichprobe a) genau 2 fehlerhafte Stücke, b) höschstens ein fehlerhaftes Stück, c) mindestens ein fehlerfreies Stück enthält? n Personen werden zufällig ausgewählt. Wie groß ist die W. dafür, daß mindestens zwei von den ausgewählten an demselben Tag Geburtstag haben? Dabei nehme man an, daß das Jahr 365 Tage hat, die als Geburtstage für jede der n Personen gleichwahrscheinlich sind. Ein Versuch gelingt mit einer W. von 0,2. Wieviel solcher Versuche muß man durchführen, damit mit einer W. von 0,9 wenigstens einer gelingt? Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der beiden unabhängigen Ereignisse A i und A 2 seien p 1 bzw. p 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nur eines der beiden Ereignisse eintritt. Das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse A und B ziehe das Ereignis C nach sich. Man zeige, daß dann für die Wahrscheinlichkeit P (C) die Abschätzung P (C) P (A) + P (B) 1 gilt! 3 Zufallsgrößen Ereignisse einer Zufallsgröße: Definition einer Zufallsgröße, Äquivalenz von Ereignissen und Zahlenmengen, Verteilungsfunktionen, allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen, Median, Quantile Diskrete Zufallsgrößen: Einzelwahrscheinlichkeiten, Treppenfunktionen, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Stetige Zufallsgrößen: Dichtefunktion, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 2

3 3.1 Aufgaben Für einen Betrieb werden 3 Bohrmaschinen gekauft. Diese haben unterschiedliche Qualitätseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß diese länger als 5000 Stunden ausfallfrei arbeiten, betragen jeweils 0.8; 0.7; 0.6. Es ist die Zufallsgröße X:= Anzahl der Maschinen, die länger als 5000 h arbeiten zu untersuchen. a) Welche Werte kann die Zufallsgröße X annehmen? b) Bestimmen Sie ihre Verteilungstabelle und deren graphische Darstellung! Die Verteilung der stetigen Zufallsgröße X sei durch die Verteilungsfunktion 0 für t 2 F X (t) = a t 1 für 2 < t 4 1 für t > 4 gegeben. Bestimmen Sie a) die Dichtefunktion der Zufallsgröße X b) die Konstante a c) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X Werte kleiner als 0.2 annimmt d) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X Werte größer als 3 annimmt e) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X Werte zwischen 2.5 und 3 annimmt. Gegeben ist die Dichte f X (x) = { 1 2 sin x für 0 x π 0 sonst. Bestimmen Sie a) F X (t) b) E(X) c) P (X π 2 ) d) P (X < π 4 ). 4 Spezielle Verteilungsfunktionen Diskrete Verteilungen: Null-Eins-Verteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung Normalverteilung: Definition, Dichtefunktion, Umgang mit der Tabelle, Summen normalverteilter Zufallsgrößen, Grenzwertsätze Stetige Verteilungen: Gleichverteilung (Rechteckverteilung), Exponentialverteilung, χ 2 -Verteilung, Γ-Verteilung, t-verteilung, F -Verteilung 4.1 Aufgaben Fünf Arbeiter arbeiten unabhängig voneinander. Jeder von ihnen benötigt mit der Wahrscheinlichkeit 1 6 im Verlaufe einer Stunde elektrischen Strom. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß a) höchstens 3 Arbeiter im Verlaufe einer Stunde Strom benötigen, b) mindestens ein Arbeiter Strom benötigt? Eine Münze wird viermal geworfen. X sei die zufällige Anzahl des Ergebnisses Zahl liegt oben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitstabelle von X. 3

4 In einem Behälter liegen 4 Kondensatoren. Jeder einzelne ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 2 fehlerhaft. Diese Kondensatoren werden der Reihe nach geprüft. Die Prüfung wird abgebrochen, wenn der erste fehlerfreie Kondensator gefunden wird. X sei die zufällige Anzahl der geprüften Kondensatoren. a) Ermitteln Sie die Verteilungstabelle von X! b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz! c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß höchstens 2 Stück geprüft werden? Die Anzahl der Meteoriten, die auf den Apparaturteil einer kosmischen Rakete auftreffen, unterliege einer Poissonverteilung mit dem Parameter λ. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Meteorit auf ein besonders anfälliges Aggregat trifft, betrage p. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß auf dieses Aggregat a) genau k Meteoriten auftreffen, b) mindestens ein Meteorit auftrifft! Auf einer Maschine werden Einzelteile hergestellt, deren Länge eine normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 25 cm und σ = 0,05 cm ist. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Länge eines Einzelteils zwischen 24,86 cm und 25,14 cm liegt? b) Wieviel Prozent der gefertigten Teile sind länger als 25,1 cm? c) Bestimmen Sie c derart, daß P( X µ < c) = 0,92 gilt! Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X) = 0 und D 2 (X) = 1. Berechnen Sie a) P (X 2, 5) ; b) P (X < 1, 5) ; c) P (1, 2 X < 2, 3) ; d) P ( 1, 1 X < 3)! Die Länge X (in mm) von Stahlstiften sei angenähert normalverteilt mit µ = 15. Ermitteln Sie die Standardabweichung, wenn 98% der Stahlstifte zwischen 14 mm und 16 mm lang sind! Die Zerfallszeit X für Polonium ist eine exponentialverteilte Zufallsgröße. Mittels der Halbwertzeit, die für dieses radioaktive Element 140 Tage beträgt, bestimme man a) den Parameter λ der Exponentialverteilung, b) die Zeitdauer t so, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0.95 ein Zerfall erfolgt. (unter Halbwertzeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls gleich 0.5 ist.) X (in Monaten) eines Bauelements bestimmter Art besitzt die Verteilungs- { 0 für t 0 F X (t) = 1 e 0,2t für t > 0 Die Lebensdauer funktion a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß solch ein Bauelement länger als 5 Monate funktionstüchtig ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß von 4 solchen Bauelementen α) genau zwei; β) wenigstens zwei länger als 5 Monate funktionstüchtig sind? 5 Statistik Stichproben: Stichprobenfunktionen, die Verteilung von X, die Verteilung von S 2, Parameterunabhängige Stichprobenfunktion 4

5 5.1 Aufgaben 200 Messungen des spezifischen Widerstandes R (in 10 6 Ωcm) bei Eisen ergaben folgende Häufigkeitstabelle. Die Meßwerte wurden in 8 Klassen eingeteilt. u m ist die Klassenmitte und h m die absolute Häufigkeit. u m 10,01 10,03 10,05 10,07 10,09 10,11 10,13 10,15 h m Berechnen Sie die Maßzahlen x, s und v! 6 Schätzungen und Tests Punktschätzungen: Aussage von Punktschätzungen, Momentenmethode Konfidenzschätzungen: Aussage von Konfidenzschätzungen, Schätzungen von Parametern der Normalverteilung bei bekannten und unbekannten Momenten Statistische Tests: Hypothesen, Prüfgrößen, Kritische Bereiche, Fehler erster und zweiter Art, Interpretation der Aussagen von Tests 6.1 Aufgaben Die Dichtefunktion der Zufallsgröße X sei f X (x) = 1 2λ exp { } x µ. λ Berechnen Sie die Momentenschätzung für die Parameter λ und µ! Wann ist eine Punktschätzfunktion konsistent? Zur Genauigkeitsermittlung eines Meßgerätes wurden mit diesem 5 Messungen vorgenommen, deren Resultate die Werte 2781, 2836, 2807, 2763, 2858 ergaben. Man ermittle eine erwartungstreue Schätzung der Varianz des Meßgerätes, wenn a) die gemessene Größe bekannt und gleich 2800 ist! b) die gemessene Größe unbekannt ist! Wie oft muß man eine Münze werfen, damit mit einer W. von 0,9973 behauptet werden kann, daß der Unterschied von relativer Häufigkeit des Ereignisses Zahl liegt oben und der W. dieses Ereignisses dem Betrage nach kleiner als 0,01 ist? Eine Grundgesamtheit X sei normalverteilt mit µ = 40 und σ = 4. X 16 ist das arithmetische Mittel einer mathematischen Stichprobe vom Umfang 16. Berechnen Sie die W. P (38 X 42) und P (38 X 16 42)! Skizzieren Sie die Bilder der Dichtefunktionen der Zufallsgrößen X und X 16! Für welchen Wert c gilt P ( X 16 µ < c) = 0, 762? Aus der Produktion von Zylinderschrauben wird eine Stichprobe vom Umfang n = 25 entnommen und an jeder Schraube die Schaftlänge gemessen. Die Stichprobe ergibt x = 16mm und s 2 = 484µm 2. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für σ 2 unter der Voraussetzung, daß das Konfidenzniveau 0,99 beträgt. 5

6 Wie groß muß der Stichprobenumfang n sein, damit man bei x = 5 und σ 2 = 9 ein Konfidenzintervall für µ der Länge L = 0, 4 bei α = 0, 01 unter Voraussetzung der Normalverteilung erhält? Es wurden 5 unabhängige Messungen zur Bestimmung der Ladung eines Elektrons durchgeführt. Die Versuche lieferten folgende Resultate (in absoluten elektrostatischen Einheiten) 4, ; 4, ; 4, ; 4, ; 4, Es sind eine Schätzung für die Größe der Ladung des Elektrons und unter der Annahme, daß die Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt, ein konkretes Konfidenzintervall mit α = 0, 01 anzugeben. Eine Stichprobe vom Umfang n = 200 aus der Lieferung eines Massenartikels lieferte 12 Ausschußteile. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Anteilswert p der zugehörigen Grundgesamtheit (α = 0, 05). 6