Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007

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1 Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007 Prof. Dr. F. Liese Dipl.-Math. M. Helwich Serie 8 Termin: 1. Juni 2007 Aufgabe 1 (4 Punkte) Es seien X 1 und X 2 unabhängige Zufallsvariable, die jeweils eine Poissonverteilung mit den Parametern λ 1 bzw. λ 2 besitzen. Weisen Sie mit Hilfe der Faltungsformel für diskrete Verteilungen nach, dass X 1 + X 2 eine Poissonverteilung mit dem Parameter λ 1 + λ 2 besitzt. Lösung: Eine Zufallsgröße K besitzt eine Poissonverteilung mit Parameter λ, wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten P (K k) gegeben sind durch Demnach gilt für die Zufallsgrößem X 1 und X 2 P (K k) λk k! e λ, k 0, 1,... P (X 1 k) λk 1 k! e λ 1 und P (X 2 k) λk 2 k! e λ 2, k 0, 1,... Die Verteilung der Summe beider Zufallsgrößen berechnet sich dann für k 0, 1,... unter Verwendung der Unabhängigkeit wie folgt: P (X 1 + X 2 k) P (X 1 i, X 2 j) i+jk P (X 1 i, X 2 k i) i0 P (X 1 i) P (X 2 k i) i0 i0 λ i 1 e (λ 1+λ 2 ) e (λ 1+λ 2 ) k! λ k i i! e λ 1 2 (k i)! e λ 2 λ i 1 λk i 2 i! (k i)! ( ) k λ i 1 λ k i 2 i (λ 1 + λ 2 ) k e (λ 1+λ 2 ), k! da nach dem binomischen Satz (λ 1 + λ 2 ) k k ( k ) i0 i λ i 1 λ k i 2. Nach obigen Angaben ist klar, dass (λ 1 +λ 2 ) k k! e (λ 1+λ 2 ) der Einzelwahrscheinlichkeit einer Poissonverteilung mit Parameter λ 1 + λ 2 entspricht. i0 i0 Aufgabe 2 (4 Punkte) Um eine hohe Auslastung von Plätzen in Flugzeugen zu garantieren, werden von den Fluggesellschaften Flugzeuge systematisch überbucht, weil bekannt ist, dass nicht alle gebuchten Reisenden ihren Flug auch antreten. Es sei gegeben, dass die Passagiere einen Flug mit Wahrscheinlichkeit 1 p 0. antreten. Für ein Flugzeug mit 100 Passagieren werden 103 Tickets verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Passagiere nicht befördert werden können? 1

2 Hinweis: Verwenden Sie für die Binomialverteilung die Näherung durch die Poissonverteilung, d.h. ( n k) p k (1 p) n k λk k! e λ, für λ np. Lösung: Wir betrachten ein Binomialexperiment mit n 103 Versuchen. Die Anzahl der Erfolge K sei definiert als Anzahl der nicht zum Flug angetretenen Passagiere, wobei dann die Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben ist als p Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest ein Passagier nicht befördert werden kann, welches genau dann der Fall ist, wenn weniger als 3 Passagiere nicht zum Flug erscheinen. Dabei sollen die Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung durch die Einzelwahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung mit Parameter λ n p angenähert werden. Es ist also exakt beziehungsweise näherungsweise P (K < 3) P (K 2) b 103,0.01 (0) + b 103,0.01 (1) + b 103,0.01 (2) , P (K < 3) P (K 2) e e ! 1! 2! e 1.03 Aufgabe 3 (4 Punkte) Eine Zufallsvariable X besitzt eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0, falls X eine stetige Zufallsvariable mit folgender Dichte ist: f X (t) 0, für t < 0 λ exp λt}, für t 0. Zwei unabhängig arbeitende Bauteile seien a) in Reihe, b) parallel geschaltet. Die Zeiten bis zum Ausfall des ersten bzw. des zweiten Bauteils, X 1 bzw. X 2, mögen jeweils eine Exponentialverteilung mit den Parametern λ 1 1 bzw. λ 2 2 besitzen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System nicht vor dem Zeitpunkt 1.5 ausfällt. Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Verteilungsfunktionen von Min(X 1, X 2 ) und Max(X 1, X 2 )! Lösung: Seien U Min(X 1, X 2 ) und V Max(X 1, X 2 ). Dann gilt mit der Unabhängigkeit von X 1 und X 2 P (U < t) P (Min(X 1, X 2 ) < t) 1 P (Min(X 1, X 2 ) t) 1 P (X 1 t, X 2 t) 1 (P (X 1 t) P (X 2 t)) 1 ( e 1t) ( e 2t) 1 e 3t 2

3 und P (V < t) P (Max(X 1, X 2 ) < t) P (X 1 < t, X 2 < t) P (X 1 < t) P (X 2 < t) ( 1 e 1t ) (1 e 2t) 1 e 1t e 2t + e 3t. Die Lebensdauer eines Systems zweier Bauteile in Reihe ergibt sich als Minimum beider Lebensdauern und die Lebensdauer eines Systems zweier Bauteile parallel ergibt sich als Maximum beider Lebensdauern. Somit erhalten wir für a) P (U > 1.5) 1 P (U < 1.5) 1 ( 1 e 3 1.5) 1 ( 1 e 4.5) und b) P (V > 1.5) 1 P (V < 1.5) 1 ( 1 e e e 3 1.5) Aufgabe 4 (4 Punkte) Ein spezielles radioaktives Material hat eine Halbwertszeit von 100 Jahren. Wieviel Material ist prozentual nach 150 Jahren zerfallen. Hinweis: Betrachten Sie den Zerfallszeitpunkt X eines Atoms als eine exponentiell verteilte Zufallsvariable mit dem Median 100. Bestimmen Sie zunächst λ und dann die Wahrscheinlichkeit P (X < 150). Lösung: Dem Hinweis entsprechend berechnen wir aus dem gegebenen Median m 100 den Parameter λ einer exponentialverteilten Zufallsgröße. Es gilt folgende Gleichheit: F X (m) F X (100) 1 e λ Daraus ergibt sich λ ln(1) ln(2) 100 ln(2) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann P (X < 150) 1 e Aufgabe 5 (4 Punkte) Die ausfallfreie Arbeitszeit T (in Jahren) von Bauelementen einer bestimmten Sorte habe die Dichtefunktion 0 für t 0 f T (t) t e t für t > 0. a) Man berechne die Verteilungsfunktion und den Median. b) Man berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: der Ausfall erfolgt vor dem Zeitpunkt 1; der Ausfall erfolgt nach dem Zeitpunkt 5; der Ausfall erfolgt zwischen den Zeitpunkten 0.5 und 2.5. c) Ein Gerät enthält zwei derartige Bauelemente, die unabhängig voneinander arbeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens eines dieser Geräte mindestens ein halbes Jahr lang ausfallfrei arbeitet? Lösung: Wir beginnen mit der Berechnung der Verteilungsfunktion und des Medians. 3

4 a) Für die Verteilungsfunktion erhalten wir mit der Regel u v u v u v F T (t) t t 0 f T (x) dx x e x dx ( x e x e x) t 0 t e t e t e t (t + 1). Damit ergibt sich der Median als Lösung der Gleichung F T (m) 1 e m (m + 1) 1 2. Diese wird von Maple näherungsweise angegeben mit m b) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind: P (T < 1) 1 e 1 (1 + 1) 1 2 e P (T > 5) 1 P (T 5) 1 P (T < 5) 1 ( 1 e t (t + 1) ) und P (0.5 T < 2.5) P (T < 2.5) P (T < 0.5) c) Die Arbeitszeit beider Bauteile sei bezeichnet mit T 1 bzw. T 2, wobei beide Zufallsgrößen die obige Verteilung besitzen. Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum beider Arbeitszeiten größer ist als ein halbes Jahr. Die Unabhängigkeit verwendend erhalten wir P (Max(T 1, T 2 ) > 0.5) 1 P (Max(T 1, T 2 ) < 0.5) 1 P (T 1 < 0.5, T 2 < 0.5) 1 (P (T 1 < 0.5) P (T 2 < 0.5)) 1 ( (1 e 0.5 ( )) ((1 e 0.5 ( ) ) 1 ( (1 e 0.5 ( ) ) Übungsaufgaben sind verfügbar unter: helwich/uebungen.html 4

5 Es seien hier noch zwei weitere Aufgaben für die Übungen besprochen. ZA 1: Die Lebensdauer X des Bauteils eines Autos möge eine Gleichverteilung in [0 km, km ] besitzen. Es ist bekannt, dass das Bauteil bis a) km bzw. b) km gearbeitet hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in den nächsten km ausfällt! Welche Werte würden sich ergeben, wenn X eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ln 10 hätte? Lösung: Zunächst sei X auf [0, ] gleichverteilt. Die Verteilungsfunktion ist dementsprechend F X (t) t [0, ](t) + 1 ( , ) (t). a) Wir berechnen P ( X < X ) P ( X < ) P (X ) 1/15 10/ sowie b) P ( X < X ) P ( X < 0 000) P (X ) 1/15 7/ Nun sei X exponentialverteilt mit Parameter λ 1 F X (t) 1 exp( x ln 10 ). Daher gilt im Fall a) und im Fall b) ln 10 P ( X < ) P ( X < X ) P (X ) F X(60 000) F X (50 000) 1 F X (50 000). Die Verteilungsfunktion ist dann exp( 5 ln 10 ) exp( 6 ln 10 ) exp( 5 ln 10 ( ) 1 exp ln 10 ) P ( X < 0 000) P ( X < X ) P (X ) F X(0 000) F X (80 000) 1 F X (80 000) exp( 8 ln 10 ) exp( ln 10 ) exp( 8 ln 10 ( ) 1 exp ln 10 ) Dies ist die so genannte Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung. 5

6 ZA 2: X habe die Verteilungsfunktion F X (t). Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion für die folgenden Zufallsvariablen: a) Y 1 a X + b mit a > 0, b) Y 2 X 2, c) Y 3 min(x, 2) und d) Y 4 max(x, 4)! Lösung: a) Wir berechnen die Verteilungsfunktion F Y1 (x) P (Y 1 < x) wie folgt: F Y1 (x) P (Y 1 < x) P (a X + b < x) P (a X < x b) ( P X < x b ) a ( ) x b F X. a b) Für x 0 ist offenbar F Y2 (x) P (X 2 < x) 0. Für x > 0 ist F Y2 (x) P (Y 2 < x) P (X 2 < x) P ( X < x) P ( x < X < x) P (X < x) P (X x) F X ( x) F X ( x + 0) also F Y2 (x) 0, x 0, F X ( x) F X ( x + 0), x < 0. c) Da stets Min(X, 2) 2 gilt, ist F Y3 (x) 1 für x > 2. Sei x 2 F Y3 (x) P (min(x, 2) < x) P (X < 2, Min(X, 2) < x) + P (X 2, Min(X, 2) < x) P (X < x) + 0 F X (x), folglich F Y3 (x) F X (x), x 2, 1, x > 2. d) Da stets Max(X, 4) 4 gilt, ist F Y4 (x) 0 für x 4. Sei x > 4 F Y4 (x) P (Max(X, 4) < x) P (X < 4, Max(X, 4) < x) + P (X 4, Max(X, 4) < x) P (X < 4) + P (4 X < x) F X (x), folglich F Y4 (x) 0, x 4, F X (x), x > 4. 6