Musterlösung zur Klausur im Fach Fortgeschrittene Statistik am Gesamtpunktzahl: 60

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1 WESTFÄLISCHE WILHELMS - UNIVERSITÄT MÜNSTER Wirtschaftswissenschaftliche Faktultät Prof. Dr. Bernd Wilfling Professur für VWL, insbesondere Empirische Wirtschaftsforschung Musterlösung zur Klausur im Fach Fortgeschrittene Statistik am Gesamtpunktzahl: 6 Aufgabe : (2 Punkte) Betrachten Sie die gemeinsame Dichtefunktion f X,Y (x, y) für λ, λ 2 >. λ λ 2 exp ( (λ x + λ 2 y)), falls x, y [, ) [, ], sonst (a) Zeigen Sie, dass f X,Y (x, y) eine gemeinsame Dichtefunktion darstellt. (b) Berechnen Sie die Randdichten f X (x) und f Y (y) von X und Y. (c) Betrachten Sie die Randdichte f X (x) von X. Es sei λ. Bestimmen Sie den Erwartungswert µ X und die Varianz σx 2 von X. Bestimmen Sie mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit P ( X ). (a) Die Funktion ist offensichtlich stetig, und ebenfalls größer als, da λ, λ 2 >

2 sind. Es bleibt zu zeigen, dass das Integral über die Funktion ist. f X,Y (x, y) dy dx f X,Y (x, y) dy dx λ exp( λ x) λ 2 exp( λ 2 y) dy dx ( ) λ exp( λ x) λ 2 exp( λ 2 y) dy dx Das hintere Integral ist das Integral über die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung, und somit gleich λ exp( λ x) dx Dieses Integral ist ebenfalls das Integral über die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung, und somit gleich. (b) Die Randdichten berechnet man durch f X (x) λ exp( λ x) λ 2 exp( λ 2 y) dy λ exp( λ x) λ exp( λ x). λ 2 exp( λ 2 y) dy Analog berechnet man f Y (y) λ 2 exp( λ 2 y). Die Randdichten lauten somit f X (x) f Y (y) λ exp( λ x), falls x, [, ), sonst λ 2 exp( λ 2 y), falls y, [, ), sonst (c) Die Randdichte f X (x) ist die Dichte einer Exponentialverteilung mit Parameter λ, diese hat den Erwartungswert λ und die Varianz. Im vorliegenden Fall ist λ 2 λ, und somit ist der Erwartungswert µ X von X sowie die Varianz σx 2 von X gleich. 2

3 Die Chebychev-Gleichung besagt P( X µ X > k) σ2 X k 2. Im vorliegenden Fall ist µ X und k, somit ergibt sich Aufgabe 2: (2 Punkte) P( X µ X > k) P( X > ) σ2 X k 2. Betrachten Sie die gemeinsame Dichtefunktion f X,Y (x, y) aus Aufgabe. (a) Berechnen Sie die bedingten Dichten f X Y y und f Y Xx sowie die zugehörigen bedingten Varianzen. (b) Was können Sie über die Abhängigkeit der Variablen X und Y sagen? (c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer Exponentialverteilung mit λ > mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion. (a) In Aufgabe wurden bereits die Randdichten von X und Y berrechnet. Man erkennt sofort, dass f X (x) f Y (y) f X,Y (x, y) ist. Somit sind X und Y unabhängig voneinander und die bedingten Dichten sind gleich den Randdichten, also f X Y y f X (x) und f Y Xx f Y (y). Da beide Randdichten Exponentialverteilungen beschreiben, sind die zugehörigen Varianzen (s.aufgabe c)) σ 2 X Y y λ 2 und σ 2 Y Xx λ 2 2 (b) Wie in a) bereits gezeigt sind X und Y unabhängig. (c) Die momenterzeugende Funktion einer Exponentialverteilung lautet m λ (t) Durch Ableiten erhält man m λ(t) λ (λ t) 2 und m λ(t) 2λ (λ t) 3. λ. λ t Wenn X eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist, dann gilt E(X) m λ () und λ E(X2 ) m λ () 2. Somit ist dann V (X) E(X 2 ) E(X) 2 2 λ 2 λ 2 λ 2. λ 2 3

4 Aufgabe 3: (2 Punkte) Betrachten Sie eine exponentialverteilte Zufallsvariable X mit Parameter λ > und die Funktion g(λ) (λ 2) 2. Es seien x,..., x eine konkrete Stichprobe aus X und x 2 der realisierte Stichprobenmittelwert. (a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood (ML) Schätzer für λ. (b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood (ML) Schätzer für λ gegeben g(λ) 4. (c) Führen Sie einen Likelihood-Ratio (LR) Test zur Hypothese H : g(λ) 4 gegen H : g(λ) 4 zum Signifikanzniveau α.5 durch. (a) Die Likelihoodfunktion lautet L(λ) n i λ exp( λx i). Die log-likelihoodfunktion ist dann ( n ) ln(l(λ)) ln λ exp( λx i ) i n ln(λ) λ n x i. Zur Bestimmung des Maximums leitet man ln(l(λ)) nach λ ab und setzt die Ableitung gleich : ln(l(λ)) λ n λ n n λ n i i x i i x i! ˆλ n n i x x. i (b) Für g(λ) 4 ergeben sich zwei Möglichkeiten: (λ 2) 2 4 λ 2 4λ λ 2 4λ λ(λ 4) λ v λ 4. 4

5 Da λ aufgrund der Bedingung λ > nicht in Frage kommt, ist ˆλ H 4. Einsetzen in die log-likelihoodfunktion ergibt ln( L(4)) 66, 6. (c) Es soll H : g(λ) 4 gegen H : g(λ) 4 getestet werden zu α.5. Die Likelihood-Ratio-Teststatistik lautet dann [ ] LR 2 ln(l(ˆλ ML )) ln(l(ˆλ H )) 2 [ln(l( 2 ] )) ln(l(4)) 984, 8.. Der kritische Wert des Tests ist χ 2 ;.95 3, 84 < 984, 8, somit kann H zum Niveau α zu Gunsten von H verworfen werden. 5