Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), Michael Roers (Übung),

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1 Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), Michael Roers (Übung), 1

2 Gliederung 7 Weitere Krigingverfahren 7.1 Simple-Kriging 7.2 Indikator-Kriging 7.3 Blockkriging 7.4 External-Drift-Kriging 7.5 Universal-Kriging 8 Weitere Verfahren der Variogrammschätzung 9 Geostatistische Simulation 2

3 7 Robuste Variogrammschätzung Schätzer nach Cressie and Hawkins: Im Vergleich zum Momentenschätzer haben grosse Differenzen einen kleineren Einfluss auf den Summanden, weil sie nur mit der Potenz 1/2 zur Summe beitragen. Der Cressie-Hawkins-Schätzer ist aber nicht optimal, weil ein einziger, extrem stark abweichender Messwert die Schätzung immer noch stark beeinflussen kann. Weitere Alternative: Median der Entfernungsklasse 3

4 Vergleich der Variogrammschätzverfahren 4

5 7 Maximum-Likelihood-Schätzung ML Bisher haben wir die Autokorrelation von z(u i ) mit dem Stichprobenvariogramm der Least Squares Residuen geschätzt. Man kann zeigen, dass dies keine erwartungstreue Schätzung der Autokorrelation des Fehlerprozesses ergibt (v.a. die Grösse des Sills des Variogramms wird dabei unterschätzt, vgl. Cressie, 1993). Maximum Likelihood Schätzung bieten hier einen Ausweg: Sie erlaubt, die Drift- und die Kovarianzparameter in einem Schritt zu berechnen, ohne für die Schätzung der Autokorrelation auf die Residuen des Regressionsmodells zurückgreifen zu müssen. Dazu werden die Daten nicht in Distanzklassen eingeteilt, sondern die Parameter der Modelle (z.b. des Sphärischen Modells) werden (iterativ) so geschätzt, dass sie die Daten maximal erklären. Für die Iteration müssen Anfangsparameter gesetzt werden. 5

6 Maximum Likelihood Schätzung ML Voraussetzungen: Normalverteilung der Residuen Erwartungswert der Residuen gleich Null Varianzhomogenität 6

7 Restricted ML -> REML Aber im Fall einer Drift p+1 Regressionsparameter für Schätzung der zufälligen Effekte bekannt Schätzung der festen Effekte Nur noch die zufälligen Effekte mittels REML zu schätzen (Varianzen) => Restriktionen des Modells beachtet 7

8 Vergleich LS / REML 8

9 Variogrammunsicherheit / Größe des Datenumfangs Schwarz: wahres Variogramm Gelb: Mit diesem Variogramm generiertes Datenfeld mit 100 bzw Messpunkten, daraus experimentelles Variogramm berechnet 9

10 Möglichkeit zur Überprüfung der Güte des Variogramms 1. Kreuzvalidierung 2. Kreuzvalidierung und Berechnung des Bias mit z(x) dem wahren Wert, Z*(x) dem geschätzten Wert am Ort 2 x und σ k,x der Krigevarianz. Der Median der Θ(x) sollte um liegen (Median der χ-verteilung mit einem Freiheitsgrad). 10

11 8.1 Geostatistische Simulation Problem: Kriging liefert ein Ergebnis mit geglätteter Realität (wegen der Minimierung der Schätzfehler); Verlust an Varianz. Lösung: geostatistische Simulation Es werden durch Monte-Carlo-Simulation viele gleichwahrscheinliche Realisationen erzeugt, welche jeweils das Variogramm, den Mittelwert und die Varianz sowie die Häufigkeitsverteilung wiedergeben. Beispiel: Beide Realisationen links sind aufgrund der Bohrinformation möglich, Standard- Krigingverfahren würden allerdings nur eine Realisation der Wirklichkeit ergeben. 11

12 Einschub: Monte Carlo Simulation Verfahren aus der Stochastik; Grundlage ist das Gesetz der großen Zahlen, und es wird versucht, durch sehr häufig durchgeführte Zufallsexperimente analytisch nicht oder nur schwer/ aufwändig lösbare Probleme numerisch zu lösen; Häufige Anwendung: Zufälliges ziehen aus einer bekannten Verteilung. Dabei kann die Untersuchte Variable ein Modellparameter sein, von dem man (z.b. aus empirischen Versuchen) die Verteilung kennt. 12

13 8.1 Geostatistische Simulation Problem: Kriging liefert ein Ergebnis mit geglätteter Realität (wegen der Minimierung der Schätzfehler); Verlust an Varianz. Lösung: geostatistische Simulation Es werden durch Monte-Carlo-Simulation (zufälliges Ziehen aus einer bekannten Verteilung) viele gleichwahrscheinliche Realisationen erzeugt, welche jeweils das Variogramm, den Mittelwert und die Varianz sowie die Häufigkeitsverteilung wiedergeben. Wichtige Anwendungen: Generierung von Parameterfeldern für die Modellierung. 2 Fälle: - Bedingte Simulation (die Messwerte werden an den Messpunkten wiedergegeben); - Unbedingte Simulation (die Messwerte werden an den Messpunkten nicht wiedergegeben). Wichtigste Verfahren: - Turning Band; - Simulated Annealing; - Sequentielle (Indikator) Simulation. 13

14 8.1 Beispiel: Sequentielle Geostatistische Simulation 1. Schritt: Random Walk (Zufallsschritt). 2. Monte Carlo Simulation - Über die Krigevarianz oder die Indikatorwahrscheinlichkeiten ist die Verteilung am Ort bekannt. 3. Neuer Wert geht als Messwert in die Menge der bekannten Werte ein. 4. Nächster Zufallsschritt. Deutsch, C. V. and A. G. Journel (1997) GSLIB, Geostatistical Software Library and User's Guide. Oxford University Press, New York, Oxford, 384 pp. 14

15 8.1 Sequentielle (Indikator-) Simulation Indikatorkodierung Ein Variogramm pro Klasse Viele Realisationen des Untergrundes 15

16 Saale Weichsel 8.1 Sequentielle (Indikator-) Simulation Indikator für Hohe Durchlässigkeit Mittlere Durchlässigkeit Geringe Durchlässigkeit Hohe Durchlässigkeit Mittlere Durchlässigkeit Geringe Durchlässigkeit Indikator für 1 hohe Sicherheit geringe Sicherheit Gleichwahrscheinliche Realisationen Statistik über die Realisationen (hohe Sicherheit rot, niedrige blau) Abb. : Statistische Auswertung von hundert Realisationen mit fünf Indikatoren des Bereiches um die Förderbrunnen (4 km x 4 km). Oben der vollständige Aquifer 20-fach überhöht, unten ein Schnitt als Fenster in den Aquifer. Rot bedeutet hohe Sicherheit, blau geringe.. 16

17 Übergabe der interpolierten Geologie an das Grundwassermodell (hier: FEFLOW) 17

18 8.1 Ergebnis für die Grundwassermodellierung Weichsel Saale Indikator für Hohe Durchlässigkeit Mittlere Durchlässigkeit Geringe Durchlässigkeit Hohe Durchlässigkeit Mittlere Durchlässigkeit Geringe Durchlässigkeit Gleichwahrscheinliche Realisationen GW-Fließlinien in unterschiedlichen Realisationen 18

19 8.1 Ergebnis für die Grundwassermodellierung Wahrscheinlichkeit, dass das Einzugsgebiet eines GW- Förderbrunnens durch Kiesabbau beeinflusst wird 19