Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse)

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1 Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse) ROLAND RAU Universität Rostock, Sommersemester Mai 2015 c Roland Rau Survival Analysis 1 / 18

2 Zensierung & Trunkierung: Nicht vollständig beobachtete Prozesszeit Zensierung: In essence, censoring occurs when we have some information about individual survival time, but we don t know the survival time exactly. KLEINBAUM AND KLEIN (2005, S. 5): One peculiar feature, often present in time-to-event data, is known as censoring, which, broadly speaking, occurs when some lifetimes are known to have occurred only within certain intervals. KLEIN AND MOESCHBERGER (2003, S. 55): c Roland Rau Survival Analysis 2 / 18

3 Rechtszensierung Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner als die Studiendauer ist. Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder ein bestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat. In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdings kann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen entweder freiwillig ( kein Interesse an weiterer Teilnahme) aber auch unfreiwillig ( komkurrierende Risiken) Beginn der Studie Prozesszeit Ende der Studie c Roland Rau Survival Analysis 3 / 18

4 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Beobachtet man den Event, so verwenden wir bei der Likelihood-Konstruktion die Dichte. Im Falle der Rechtszensierung wissen wir nicht, wann das Ereignis eintreten wird. Aber wir wissen zumindest, dass die Person bis zum Zensierungszeitpunkt überlebt hat. Daher verwenden wir die Survival-Funktion. Damit benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. c Roland Rau Survival Analysis 4 / 18

5 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. wolpi <- read.table("wolpertinger txt", header=true) head(wolpi) lifetime status c Roland Rau Survival Analysis 5 / 18

6 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? n Alt: L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) i=1 Neu: L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) S(x i ) i δ i =1 i δ i =0 n Alt: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = ln f (x i ) Neu: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 ln f (x i ) + i δ i =1 i δ i =0 ln S(x i ) c Roland Rau Survival Analysis 6 / 18

7 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem i δ i =...???? n Alt: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = ln f (x i ) Neu: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 ln f (x i ) + i δ i =1 i δ i =0 ln S(x i ) c Roland Rau Survival Analysis 7 / 18

8 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem δ i =...???? Ganz einfach!!! f (x) = λe λx ; log f (x) = ln f (x) = ln(λ) λx S(x) = e λx ; log S(x) = ln S(x) = λx log L(λ x 1, x 2,..., x n) = = log f (x i) + log S(x i) i δ i =1 i δ i =0 n (log λ λx i) δ i + i i n ( λx) (1 δ i) c Roland Rau Survival Analysis 8 / 18

9 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung log L(λ x 1, x 2,..., x n) = log f (x i ) + log S(x i ) i δ i =1 i δ i =0 n n = (log λ λx i ) δ i + ( λx) (1 δ i ) i i Loesung-Hausaufgabe r (Handout ausgeteilt in der Veranstaltung) c Roland Rau Survival Analysis 9 / 18

10 Trunkierung Neben der Zensierung gibt es noch eine andere Möglichkeit, dass nicht die gesamte Prozesszeit beobachtet wird. Bei der sogenannten Links-Trunkierung ( left truncation ) werden die Individuen nicht seit dem Nullpunkt der Prozesszeit beobachtet. Ein klassisches Beispiel wäre die Analyse der Sterblichkeit ab Alter 50. Zu Beginn der Studie sind jedoch bereits einige Individuen älter als 50 Jahre. Ein 67jähriges Individuum unterlag in unserer Studie jedoch niemals dem Risiko zwischen Alter 50 und 67 zu sterben. Wäre es vor dem Alter 67 gestorben, so wäre das Individuum gar nicht in unserer Studie enthalten. c Roland Rau Survival Analysis 10 / 18

11 Trunkierung c Roland Rau Survival Analysis 11 / 18

12 Einfluss von Linkstrunkierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten mit Linkstrunkierung mindestens drei Angaben: 1 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. 2 Der Beginn der beobachteten Prozesszeit und 3 das Ende der beobachteten Prozesszeit wolpi <- read.table("wolpertinger txt", header=true) head(wolpi) enter exit status c Roland Rau Survival Analysis 12 / 18

13 Hausaufgabe 1 Schreiben Sie die Log-Likelihood Gleichung für Linkstrunkierung und Rechtszensierung im Falle einer Prozesszeit, die einer Exponentialverteilung folgt. 2 Übersetzen Sie diese Gleichung in R. 3 Schätzen Sie ˆλ unter den gegebenen Annahmen (Exponentialverteilung; Linkstrunkierung; Rechtszensierung) und den Daten aus wolpertinger txt. c Roland Rau Survival Analysis 13 / 18

14 Kovariaten Einführung zu: Welchen Einfluss üben Kovariaten auf die Prozesszeit X aus? Heutige Veranstaltung und kommende Veranstaltungen: nicht-parametrische Schätzung parametrische Schätzung semi-parametrische Schätzung + kleinere Arbeiten mit dem Datensatz. c Roland Rau Survival Analysis 14 / 18

15 Einführung Datensatz c Roland Rau Survival Analysis 15 / 18

16 Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. New York, NY: Springer. Kleinbaum, D. G. and M. Klein (2005). Survival Analysis. A Self-Learning Text. New York: Springer. c Roland Rau Survival Analysis 16 / 18

17 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Survival Analysis 17 / 18

18 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im Sommersemester 2015: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Survival Analysis 18 / 18

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