4. Übungsserie: Stetige Zufallsgrößen 8 < ax 2 =100 0 < x < sonst

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1 Stochastik f ur ET SS Juliane.Schuetze@fh-jena.de 4. Übungsserie: Stetige Zufallsgrößen a =. Es sei f() = a( 3) =4 3 : sonst a) Bestimmen Sie a so, dass f eine Verteilungsdichte ist. b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion. c) Berechnen Sie für eine Zufallsgröße X mit dieser Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten P (X ):und P (X ): d) X stelle die zufällige Lebensdauer eines Bauteils dar, das maimal 3 Einheiten funktioniert. Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Altersgrenze, die von nur % überschritten wird. a) R f()d =, somit = R a =d + R 3 somit a = = und f() = : > b) Verteilungsfunktion F () = >: a( 3) =4d = a3 3 = ( 3) =4 3 sonst 3 =3 + ( 3) 3 = 3 sonst + a( 3)3 3 = a y c) P (X ) = F () = =3 d) EX = : Grenze ist von F () = :9 + ( 3) 3 = = :9 = 9:373 ( 3) 3 = = : 3 = 3p = :67 = 9:373. Berechnen Sie die Quantile der Ordnung a). und.9 der Standardnormalverteilung, b). und.9 von N(, 4).

2 a) z :9 : P (X z :9 ) = (z :9 ) = :9 z :9 = (:9) = :64 Aus Symmetriegründen ist z : = z :9 = :64 b) u :9 : P (Y u :9 ) = ( u :9 ) = :9 u :9 = :64 u :9 = :64 + = 4: Wegen Symmetrie zu ist u : = (4: ) = : allgemein ist u = z + MATLAB: norminv(p,mu,sigma) norminv(.9,,)= :6449, norminv(.,,)= :6449 norminv(.9,,)= :97, norminv(.,,)= :97 3. Die Wärmeerzeugung an einem Widerstand (in Joule) sei normalverteilt mit N (77,,6 ). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die erzeugte Wärme unter 6? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie über 9? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie zwischen 6 und 9? a) P (X 6) = P X 77 :6 b) P (X > 9) = P (X 9) = P X 77 : :6 = ( ; 47) = (; 46) = :99 = : :6 = (:) = :69 = :3 c) P (6 X 9) = P (X 6) P (X > 9) = :7 :3 = :79 MATLAB: normcdf(,mu,sigma) = P(X ) P (X 6) =normcdf(6,77,.6) = :74 P (X > 9) = normcdf(9,77,.6) = :3 P (6 X 9) =normcdf(9,77,.6) - normcdf(6,77,.6) = Der zufällige Fehler eines Messinstruments ist nach N(, ) verteilt. In einer langen Messreihe hat man ermittelt, dass % der Messungen mit einem betragsmäßigen Messfehler von mehr als als.4 Einheiten behaftet sind. Wie großist? P (jxj > :4) = : P (:4 X) = : :9 = P (X ; 4) = P X ;4 ;4 = (:9) = :6 = :4 :6 = :3 MATLAB: norminv(p,mu,sigma) norminv(.9,,)=.6 = ;4. Eine physikalische Größe wird n-mal gemessen. Der Messvorgang ist fehlerbehaftet, und die Messfehler können als Realisierungen von N(; ) verteilten Zufallsgrößen " i aufgefasst werden.die Standardabweichung als Maßfür die Genauigkeit des Messvorgangs sei Einheit. Somit ist die Einzelmessung darstellbar als X i = + " i. Als Schätzung für wird das arithmetische Mittel Xn = n P n i= X i verwendet. Wie großmuss n sein, damit die Schätzung X n mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens.9 nur. Einheiten von abweicht? " = = X i ~N(; ) P X i ~N(n; n) X n ~N(; n ), folglich n = p n n so bestimmen, dass P ( Xn :) > :9 P ( : X n + :) = (: p n) ( (: p n)) (: p n) > :97 : p n = :96, n = :366, somit 6 Wdh. MATLAB : p n = (:97) = norminv(.97,,) =.96

3 6. Zwei Ohmsche Widerstände R und R werden hintereinander geschaltet. Sie seien unabhängig und normalverteilt mit = ; = bzw. = ; = 4 (alles in ):In welchen Grenzen (7 "; 7 + ") liegt mit Sicherheit.99 der Gesamtwiderstand R + R? R + R ~N(7; 6) P (7 " R + R 7 + ") = :99 " p 6 = :99 " p 6 = (:99) = : 7 " = : 7 p 6 = 7:74 damit liegt Gesamtwiderstand mit 99% Sicherheit im Intervall (67: ; 77:74) 7. Berechnen Sie den Median einer eponentialverteilten Zufallsgröße X mit =. Interpretieren Sie die gefundene Größe, wenn X die Lebensdauer eines Elektrogerätes beschreibt. ~ : mit P (X ~ : ) = : e ~: = : ~ : = ln : = ln = :693 Interpretation: Zeitspanne, die nur von etwa der Hälfte aller Geräte ohne Defekt überstanden wird MATLAB ~ : = epinv(.,) =.693 Achtung: Parameter der Eponentialvert. ist in MATLAB gleich dem Erwartungswert, d.h. reziprok zu aus Vorlesung Dichte f() = e für > y Bei der Produktion von Blechen wird eine Solldicke von.mm bei einer Standardabweichung von.3mm eingehalten, wobei die Dicke eines Bleches normalverteilt ist und unabhängig von der Dicke der anderen Bleche. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Blech dicker als 3mm? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Stapel von 3 Blechen höher als 9mm? c) Wieviel Bleche können mit Wahrscheinlichkeit.99 in einen Container der Höhe m geschichtet werden? 3 : a) P (X > 3) = = :4 :3 3

4 b) Stapelhöhe entspricht Summe von 3 Zufallsgrößen mit je N(:; :3 ) Verteilung der Summe N(3 :; 3 :3 ) = N(7:; :7) = p :7 = : 9 7: P (X + X + X 3 > 9) = P (X + X + X 3 9) = = : : c) im Mittel passen =: = 4 Bleche in den Container. Fordert man Sicherheit von.99, sind weniger Bleche zu erwarten. P Normalverteilung von n P X i : E n P X i = n :; V ar n X i = n V arx i = n :3 i= i= i= P P ( n n : X i ) = i= :3 p = :99 n n : :3 p = (:99) = :36 n n : = :36 :3 p n, mit p n = > ergibt das : + :36 :3 = = 9:6; = :4 entfällt, da damit n größer als Erwartungswert wird n = 9:6 = 394:46 d.h. 394 Bleche 9. Die Lebensdauern X; Y seien unabhängig und eponentialverteilt mit den Parametern und ; 6= : a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Summe der Lebensdauern. b) Berechnen Sie die Dichte der Verteilung der Summe von X; Y: Anleitung: Die so genannte Faltungsdichte der Summe zweier unabhängiger Zufallsgrößen berechnet sich als f(z) = R f X ()f X (z )d: c) Berechnen Sie die Faltungsdichte für den Spezialfall = und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Dichte der Erlangverteilung. a) EX = ; EY = E(X + Y ) = + = + V ar(x + Y ) = + = + b) f s (z) = R + f (t)f y (z t)dt = R z e t e (z t) dt = e R z z e t e t dt = e z e )t ( z = e z e ( )z = e z e z c) f s (z) = R + f (t)f y (z t)dt = R z e t e (z t) dt = e R z z e( +)t dt = e z tj z = ze z ist Dichte der Erlangverteilung für n =. Die Zeit (in h) zwischen dem Eintre en zweier Telefonanrufe an einem Anschluss sei eponential verteilt mit dem Parameter = :. a) Wie viel Zeit vergeht im Mittel zwischen dem Eintre en von Anrufen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tri t länger als eine Stunde kein Anruf ein? c) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X > t + =X > ). a) EX = = b) P (X > ) = P (X ) = e : = :6 4

5 P (X > t + \ X > ) c) P (X > t+=x > ) = = P (X > ) entspricht der Nichtalterungseigenschaft P (X > t + ) P (X > ) = e :(t+) e : = e :t = P (X > t). Ein System enthält ein Bauteil in 3facher Ausführung in kalter Redundanz, d.h. ein Reservebauteil wird jeweils erst dann benutzt, wenn das vorherige Bauteil ausgefallen ist. Die Bauteile funktionieren unabhängig voneinander im Mittel h, ihre Lebensdauer ist eponentialverteilt. a) Bestimmen Sie die Verteilung der Lebensdauer des Systems sowie Erwartungswert und Standardabweichung. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert es länger als 4 h? Anleitung: Erlangverteilung verwenden, in MATLAB ist Parameter = EX; in Vorlesung = EX (analog Eponentialverteilung) Lebensdauer S des Systems = Summe der Lebensdauer der 3 Bauteile X i ~ ep() mit = Erlangverteilung bei n eponential verteilten Summanden X i ~ ep() hat Verteilungsfunktion F () = e n P () k k k= S = X + X + X 3 ~Erl(3; =) n = 3 : F () = e P () k = e ( + k= k + ) EX = n = 3 = = 36 V arx = n 3 = e 4= ( ) = e = ( + + (=) = 43 s = p 43 = 7: P (X > 4) = P (X 4) = 4 ) = :33. b) a) Ein Seriensystem (Reihenschaltung) enthält 4 unabhängig ausfallende Bauteile, deren Lebensdauern eponentialverteilt sind mit den Parametern = =; = =; 3 = =; 4 = =: a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Lebensdauer des Systems. b) Welche Zeit überleben nur % der Systeme? a) Lebensdauer S bei Reihenschaltung: S = min(x ; :::; X 4 )~ ep( + ::: + 4 ) = ep(:), da = + = + = + = = EX = = : = 47:69 Herleitung der Verteilung: F () = P (min(x ; X ; X 3 ; X 4 ) ) = P (min(x ; X ; X 3 ; X 4 ) ) = P (X ; X ; X 3 ; X 4 ) = P (X )P (X )P (X 3 )P (X 4 ) = ( F ()( F ()( F 3 ()( F 4 ()) = (e )(e )(e 3 )(e 4 ) = e (++3+4) = F S () mit S = min(x ; :::; X 4 ) b) gesucht ist t so dass P (X > t) = : :9 = P (X t) = e :t : = e :t ln : = : t t = ln : : = 9:6 3.,Die zufällige Lebensdauer X (in h) eines Gerätetyps mit Verschleißerscheinung kann durch eine Weibull-Verteilung mit der Dichte f() = : a ( a )4 e ( beschrieben werden. Es sei bekannt, dass nach 4 h Betriebsdauer a ) > 9% der Geräte ausgefallen sind.

6 a) Bestimmen Sie den Parameter a. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet ein Gerät länger als 3 Stunden? c) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät länger als 3 Stunden arbeitet, wenn seine Lebensdauer bereits Stunden überschritten hat? a) Dichte der Weibull-Verteilung: f() = : a ( a )4 e ( a ) >, somit b = Verteilungsfunktion b F () = e a Berechnung von a aus P (X 4) = F (4) = :9 4 e a = :9 4 : = e a 4 4 ln : = T = = 3:9 a = ( ln :) a = 3:9 b) F () = e 3:9 y P (X > 3) = F (3) = e 3 3:9 C A = :49 P (X > 3 \ X > ) P (X > 3) c) P (X > 3=X > ) = = P (X > ) P (X > ) 3 e 3:9 C A = e 3:9 C A = e e 3 3:9 3:9 = :39 4 im Unterschied zur Eponentialverteilung liegt hier keine konstante Überlebenswahrscheinlichkeit vor 6