Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

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Carsten Meissner
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1 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht Kosten. Fällt der Server mal aus, so kostet das 5000 Euro, genauso müssen bei maligem Ausfall 5000 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind es bereits jeweils 0000 Euro und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat verursachen die Reparaturen 0000 Euro Kosten. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Server mehr als mal ausfällt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Server, der bereits mal ausgefallen ist, mindestens ein weiteres mal ausfällt? c) Wie groß ist sind die erwarteten Reparaturkosten im Jahr? Sei Yzufällige Reparaturkosten pro Jahr. Die Verteilungstabelle von Y ist: ai pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 Zu a) X>) - X ) - X0)-X) 3/0 0,7 X X ) Zu b) X /X ) X ) X X ) ) X < ) X < ) 0,7 0,9 7 9 Zu c) Die erwarteten Reparaturkosten pro Jahr sind: 3 EY Euro Zu Aufgabe Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,7} Sekunden. Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit? Es gilt Xi) /5 für i3,4,5,6,7. Daraus folgt: 7 5 EX i 5 Sekunden 5 5 i 3

2 Zu Aufgabe 3 Sei X eine zweipunkt-verteilte Zufallsgröße: Berechnen Sie EX und Var(X)! p X. 0 ( p) Es gilt EX p + 0 ( p) p. Var( x) ( p) p + (0 p) ( p) p( p) Zu Aufgabe 4 Ein Würfel wird geworfen. Sei X die Zufallsgröße, welche die doppelte Augenzahl angibt, und Y die Zufallsgröße, welche die Werte oder 3 annimmt, je nachdem, ob eine ungerade oder gerade Zahl erscheint. Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von a) X b)y Lösung : Zu a) Verteilung von X : i pixi) /6 /6 /6 /6 /6 /6 EX ( )/ Var(X) (i 7) i Zu b) Verteilung von Y : i 3 piyi) / / EY / + 3 / Var(X) ( ) + ( 3), 5

3 Zu Aufgabe 5 Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 bei zweimal Wappen, bei genau einmal Wappen und, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz? Sei X der zufällige Gewinn pro Spiel. X ist wie folgt verteilt: k 5Euro Euro Euro pkxk) /4 / /4 Daraus folgt für den erwarteten Gewinn: EX 5/4 + (/) + /4,5Euro. D.h. wenn der Einsatz,5 Euro beträgt, ist das Spiel fair. Stetige Zufallsgrößen Zu Aufgabe 6 Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort! Nr. (Fläche unter der Dichte ist >) und 4. (Dichten dürfen nicht negativ sein). Zu Aufgabe 7 Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort! 3

4 ) (nicht mon. wachsend), ) F(x) >, 3) F(x) ist negativ 5) nicht monoton wachsend. Zu Aufgabe 8 Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f. Stellen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten grafisch als Fläche unter der Dichtefunktion f dar: F(b), - X>a), -F(a), a X b), X a < b). 4

Zu Aufgabe 0 Eine stetige Zufallsgröße X die nur Werte im Intervall [a,b] annehmen kann und die für x [ a, b] Dichtefunktion f ( x) b a. 0 sonst besitzt, heißt auf [a,b]stetig gleichverteilt.

5 Zu Aufgabe 0 Eine stetige Zufallsgröße X die nur Werte im Intervall [a,b] annehmen kann und die für x [ a, b] Dichtefunktion f ( x) b a. 0 sonst besitzt, heißt auf [a,b]stetig gleichverteilt. a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion von X! b) Zeigen Sie, dass bei einer auf [a,b] gleichverteilten Zufallsgröße alle Teilintervalle in [a,b] gleicher Länge d die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen! Berechnen Sie diese! c) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an! d) Berechnen Sie EX und Var(X)! e) Wie groß ist das 90%-Quantil von X? Zu a) und c) 0 x a F ( x) b a Zu b) falls falls falls x < 0 0 x x > u + h u h u X u + h) F( u + h) F( u) b a b a b a D.h., die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X in einem Intervall [u,u+h] liegt, hängt nicht von der Lage (durch u gegeben) des Intervalls, sondern nur von der Breite h ab! Zu d) 5

6 a + b EX xf ( x) dx xdx b a b a ( b a) VarX ( x EX ) f ( x) dx ( x EX ) dx b a Zu e) Wir suchen das x mit F(x)0,9. x a F( x) 0,9 0,9 x ( b a)0,9 + a 0,a + 0, 9b b a Zu Aufgabe b a Die zufällige Zeit T (Stunden), die bis zum Abbau einer bestimmten Droge (z.b. ein Glas Wein, 0. cl) im menschlichen Blut vergeht, sei exponentialverteilt mit dem Parameter α/, d.h., sie ist durch folgende Dichtefunktion charakterisiert: 0, falls x < 0, a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(x)! b) Berechnen Sie die erwartete Abbauzeit EX und die Varianz Var(X). c) In wieviel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als Stunden? d) Welche Abbauzeit überschreiten höchstens 0 % aller Personen? e) In wieviel % aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits Stunde überschreitet, überschreitet sie auch Stunden? Zu a) 0 falls x < 0 x F( x) e falls x 0 Zu b) EX xf ( x) dx e f(x) { 0 x e, falls x 0 x xdx VarX ( x EX ) f ( x) dx ( ) x EX e Zu c) P ( X > ) F() e 0,37 37% Zu d) Gesucht ist t mit P ( X > t) 0,. 0 x dx 4 6

7 Es ist t t X > t) 0, F( t) 0, e 0, ln(0,) t ln(0,) 4,6Stunden Zu e) X > X > ) X > ) F() e X > / X > ) e X > ) X > ) F() e e 0,6 6% Zu Aufgabe Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F X (x) { 0, falls x <, (x / 4 - x + ), falls x < 4,, falls x 4. a) Berechnen Sie die Dichtefunktion f X (x)! b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion in ein Koordinatensystem! c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass < X < 3 gilt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X> 3, wenn man weiß, dass X >. 5 ist? Zu a) Zub) x f ( x) F' ( x) 0 für x 4 sonst Zuc) < X < 3)F(3)-F() 4 7

8 F(3) Zu d) P ( X > 3/ X >,5) 0, 8 F(,5) 8

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