Gewinnchancen und Gewinnerwartung

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1 Bachelorarbeit an der Ruhr-Universität Bochum Gewinnchancen und Gewinnerwartung Marius Alexander Wilker aus Marl Bochum, im April 008 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. R. Verfürth

2 Inhaltsverzeichnis I. Einleitung 3 II. Beispiel Chuck-a-Luck.. 3 II.1 Spielidee... 3 II. Gewinnwahrscheinlichkeiten II.3 Einführung der Begriffe Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.. 6 II.3.1 Zufallsvariable.. 6 II.3. Erwartungswert. 7 II.3.3 Varianz und Standardabweichung 9 II.4 Modifikation für eine faire Variante 11 II.5 Spielstrategien.. 13 III. Beispiel Roulette.. 16 III.1 Spielmöglichkeiten. 16 III. Der Vorteil der Bank III.3 Spielsysteme... 1 III.3.1 Die Martingale classique.. 1 III.4 Bernoulli-Experimente... III.5 Gewinnerwartung der Martingale classique 6 IV. Literaturverzeichnis. 9

3 I. Einleitung Schon seit Jahrhunderten begeistern sich die Menschen für alle möglichen Formen von Spielen, insbesondere für das Glücksspiel. Mit Hilfe der Mathematik ist es uns möglich, diese Spiele zu analysieren. Es können nicht nur Gewinnerwartungen für Glücksspiele berechnet, sondern auch Spielstrategien für Spiele entwickelt werden, die nicht nur vom Zufall abhängen. Bei der Analyse der Spiele bedienen wir uns eines weiten Bereichs mathematischer Methoden wie zum Beispiel der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Kombinatorik. Die folgende Arbeit basiert auf einem Seminarvortrag aus dem Seminar Mathematik und Spiel, das im Wintersemester 007/008 von Prof. Dr. Rüdiger Verfürth gehalten wurde. Inhalt dieses Seminars war es, mathematische Grundlagen von Spielen wie zum Beispiel Schach, Poker, Lotto oder Monopoly zu erarbeiten. Im Verlauf dieser Arbeit werden die beiden Glücksspiele Chuck-a-Luck und Roulette untersucht. Als Literatur für den ersten Teil, der sich mit dem Chuck-a-Luck beschäftigt, dient das Buch Glück, Logik und Bluff von Jörg Bewersdorff aus dem Jahr 007. II. Beispiel Chuck-a-Luck II.1 Spielidee Chuck-a-Luck ist ein Glücksspiel, bei dem ein Spieler gegen die Bank spielt. Dabei werden pro Spiel vom Spieler drei Würfel geworfen. Zuvor kann der Spieler auf eines der sechs Würfelsymbole setzen. Trifft der Spieler mit den drei Würfeln einmal das richtige Symbol, gewinnt er zusätzlich zu seinem Einsatz einen Einsatz dazu. Bei zwei Treffern gewinnt der Spieler zusätzlich zu seinem Einsatz zwei Einsätze dazu und bei drei Treffern gewinnt er drei zusätzliche Einsätze. Trifft der Spieler auf keinem der drei Würfel das gesetzte Symbol, verliert er seinen Einsatz. Im Folgenden soll Chuck-a-Luck auf seine Gewinnwahrscheinlichkeiten untersucht werden. Denn wie bei jedem Glücksspiel stellt sich die Frage, ob die Bank im Vorteil ist und wenn ja, wie stark? Obwohl Chuck-a-Luck im Vergleich zu anderen Glücksspielen, wie zum Beispiel Black Jack, ein recht überschaubares Glücksspiel ist, werden die Gewinnchancen von Spielern oft überschätzt. Da der Spieler bei jedem Spiel auf eines der sechs Symbole setzt und ihm zum Treffen des gesetzten Symbols drei Würfel zur Verfügung stehen, könnte man denken, dass man bei jedem zweiten Spiel gewinnt. 3

4 Die Spieler sehen sich im Vorteil, da sie dabei nicht nur doppelt, sondern auch dreifach und vierfach gewinnen können. Doch wie sich noch zeigen wird, ist dies ein Trugschluss. II. Gewinnwahrscheinlichkeiten Um die Gewinnchancen beim Chuck-a-Luck zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn und die jeweilige Höhe des Gewinns kennen. Es reicht also nicht, nur die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten zu kennen, sondern man muss auch die Höhe des Gewinns beachten. Der erste Schritt, um die Gewinnchancen des Spielers zu berechnen, sieht wie folgt aus: Wir müssen zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Spielresultate berechen. Dazu betrachten wir einen Laplace- Raum, das heißt einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum, in dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Definition: Sei Ω ein endlicher Ergebnisraum. Wir definieren die Laplace- Wahrscheinlichkeitsverteilung, kurz Laplace-Verteilung, auf Ω, indem wir für ein Ereignis A C Ω A P(A):= Ω festlegen, wobei A die Mächtigkeit der Menge A ist. Das Paar (Ω, P) heißt Laplace-Raum. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Chuck-a-Luck betrachten wir den Laplace-Raum Ω = {(ω 1, ω, ω 3 ) ω i " {1,, 3, 4, 5, 6}}. Die Mächtigkeit von Ω ist: Ω = 6 3 = 16, d. h. es gibt 16 verschiedene Würfelkombinationen. Der nächste Schritt ist es nun, diese 16 Würfelkombinationen auf ihre Anzahl der richtigen Treffer zu überprüfen. Die Anzahl der richtigen Treffer kann man natürlich von der Bedeutung mit der Höhe des Gewinns gleichsetzen. 4

5 In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten beispielhaft für einen einfachen Einsatz auf die Sechs dargestellt. Gewinnhöhe Würfelkombinationen _A_ Wahrscheinlichkeit 4 6 _ 6 _ 6 1 1/ _ 6 _ a, 6 _ a _ 6, a _ 6 _ 6 mit a _ {1,, 3, 4, 5} 15 15/16 6 _ a _ b, a _ 6 _ b, a _ b _ 6 mit a,b _ {1,, 3, 4, 5} 75 75/ _ a _ b, a _ 6 _ b, a _ b _ 6 mit a,b _ {1,, 3, 4, 5} 15 15/16 gesamt 16 1 Tabelle 1: Gewinnwahrscheinlichkeit beim Chuck-a-Luck und Einsatz auf die Sechs Die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Spielresultate beim Chuck-a-Luck sind nun bekannt. Doch wie kann man daraus die Gewinnchancen des Spielers berechnen? Gesucht wird also das Verhältnis, in dem über lange Zeit der durchschnittliche Gewinn zum Einsatz steht. Wenn dieses Verhältnis bekannt ist, kann eine konkrete Aussage darüber gemacht werden, ob die Bank im Vorteil ist. Um die Gewinnchancen des Spielers zu berechnen, muss jede Gewinnhöhe mit ihrer relativen Häufigkeit multipliziert werden. Diese Produkte werden anschließend addiert und die Summe, die sich ergibt, ist der durchschnittliche sich auf Dauer einstellende Gewinn des Spielers beim Chuck-a-Luck. Konkret ergibt sich der Wert = = 0, Da dies etwa 8% weniger sind als der Einsatz, ist die Bank beim Chuck-a-Luck deutlich im Vorteil. 5

6 II.3 Einführung der Begriffe Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung II.3.1 Zufallsvariable Für den weiteren Verlauf ist es wichtig, zunächst einige Begriffe einzuführen. Der erste Begriff ist die Zufallsvariable. Zufallsvariablen spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Zufallsexperimenten. Andere Begriffe, die manchmal für eine Zufallsvariable benutzt werden, sind zufällige Variable, Zufallsgröße und zufällige Größe. Eine Zufallsvariable ist einfach gesagt eine veränderliche Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. Beim Chuck-a-Luck werden die Zahlenwerte 0,, 3 und 4 zufällig angenommen. In dem bereits eingeführten Laplace-Raum Ω entsprechen die Elemente ω " Ω den möglichen Ergebnissen des Zufallsexperimentes. Die Zufallsvariable ist also eine Zuordnungsvorschrift X, die jedem Ergebnis ω des Experimentes eine reelle Zahl x zuordnet. Kurz gesagt handelt es sich bei einer Zufallsvariablen also um eine Funktion X: Ω R. Natürlich kann man auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x " X angenommen wird, berechnen. Fürs Chuck-a-Luck wurden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bereits in Tabelle 1 zusammengefasst. In unserem Fall kann man also für die Zufallsvariable X, die zufällig die Werte 0,, 3 und 4 annimmt, die so genannte Wahrscheinlichkeitsverteilung, folgendermaßen schreiben: 15 P(X = 0) = P(X = ) = P(X = 3) = 16 1 P(X = 4) = 16 Ebenso kann man mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch die Wahrscheinlichkeit für eine Teilmenge A " R berechnen. So wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mindestens mit einem der drei Würfel die gesetzte Zahl trifft P(X 91 " A) =, mit A = {, 3, 4}. 16 6

7 II.3. Der Erwartungswert Im Beispiel des Chuck-a-Luck wurden die Gewinnchancen direkt aus den möglichen Gewinnhöhen und den ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten berechnet. Mathematisch wurde der so genannte Erwartungswert berechnet. Definition: Für eine Zufallsgröße X, die nur endlich viele Werte x 1, x,, x n annehmen kann, definieren wir den Erwartungswert E(X) durch n E(X):= i = 1 P(X = x i ) x i. Allgemein kann man sagen, dass der Erwartungswert des Gewinns, kurz, die Gewinnerwartung, bei der Analyse von Spielen eine zentrale Bedeutung erhält. Bei Spielen, die strategisch beeinflusst werden können, sollte man sich so verhalten, dass die Gewinnerwartung maximal wird. Die folgenden Sätze geben uns Rechenregeln an die Hand, die uns die Berechnung des Erwartungswertes von Zufallsvariablen erheblich erleichtern. Satz: (Linearität des Erwartungswertes) Es seien X und Y zwei Zufallsvariablen, deren Erwartungswerte existieren. Dann gilt für a, b " R (i) E(aX + b) = ae(x) + b, (ii) E(X + Y) = E(X) + E(Y). Die folgende Definition ist für den nächsten Satz notwendig: Definition: Die Zufallsvariablen X 1,, X n heißen unabhängig, wenn für alle Intervalle I 1,, I n C R gilt P(X 1 " I 1,, X n " I n ) = n i= 1 P(X i " I i ). Satz: (Multiplikationsgesetz) Für zwei unabhängig Zufallsvariablen X und Y gilt E(XY) = E(X) E(Y), sofern die Erwartungswerte E(X) und E(Y) existieren. 7

8 Beispiele zum Erwartungswert: a) Für den Erwartungswert eines einfachen Würfelwurfes mit einem regulären Sechser- Würfel ergibt sich der Wert 6 E(X) = i = 1 P(X = x i ) x i = 61 6 i = 1 x i = 6 1 ( ) = = 3,5. b) Für den Erwartungswert der Summe zweier Würfelwürfe mit einem regulären Sechser-Würfel ergibt sich der Wert 1 E(X) = i = P(X = x i ) x i = = 7. c) Das letzte Beispiel ist etwas außergewöhnlicher. Es geht darum, den Erwartungswert eines Kandidaten der bekannten TV-Quiz-Show Wer wird Millionär? zu berechnen, wenn er sich auf der Gewinnstufe befindet und sich an dieser Stelle zufällig für eine der vier Antwortmöglichkeiten entscheidet. Dabei betrachten wir die ältere Version des Quiz, bei dem der Kandidat bei falscher Antwort auf die Gewinnstufe zurückfällt. An dieser Stelle fällt der Kandidat mit einer Wahrscheinlichkeit von ¾ auf die Gewinnstufe zurück. Jedes vierte Mal erreicht er allerdings die Gewinnstufe Folglich ergibt sich der Erwartungswert 4 E(X) = i = 1 P(X = x i ) x i = = für den Kandidaten. Im Durchschnitt gewinnt der Kandidat an dieser Stelle bei völliger Ahnungslosigkeit mehr, als er gewinnen würde, wenn er sich dazu entschließt, nicht zu antworten und die sicheren zu kassieren. Nicht zu vergessen ist, dass er zusätzlich auch noch die Frage zu sehen bekommt, dessen Antwort er möglicherweise auch kennt. Noch eindeutiger wird es, wenn der Kandidat noch den 50:50 Joker besitzt. Dann ergibt sich für den Kandidaten der Erwartungswert 8

9 E(X) = i = 1 P(X = x i ) x i = = II.3.3 Varianz und Standardabweichung Durch die Berechnung des Erwartungswertes werden die möglichen Ergebnisse eines Spiels gut zusammengefasst. Der Spieler hat mit der Kenntnis über den Erwartungswert einen guten Überblick, in welchem Bereich sich die Ergebnisse durchschnittlich bewegen. Allerdings reicht die alleinige Betrachtung des Erwartungswertes zur Beschreibung eines Zufallsexperimentes bzw. eines Spiels nicht aus. Denn es gehen wichtige Informationen darüber verloren, wie weit die Werte auseinander liegen. Um diese Information zu beschreiben, gibt es den Begriff der Streuung. Die Streuung ist ein Maß dafür, wie stark und wie wahrscheinlich die Werte um den Erwartungswert schwanken. Mathematisch wird die Streuung einer Zufallsvariablen X durch die transformierte Zufallsgröße X E(X) beschrieben. Der Erwartungswert E( X E(X) ) dieser transformierten Zufallsvariable, die genau die Angaben darüber enthält, welche absoluten Abweichungen vom Erwartungswert möglich sind und wie wahrscheinlich sie eintreten, ist ein mögliches Maß für die Streuung. Um den Begriff der Streuung etwas zu verdeutlichen, folgt zunächst ein Beispiel: Der Erwartungswert für die Augenzahl eines einfachen Würfelwurfes ist mit E(X) = 3,5 bekannt. Für die Streuung der Augenzahlen eines einfachen Würfelwurfes ergibt sich der Wert E( X E(X) ) 6 = i = 1 P( X 3,5 = x i 3,5 ) x i 3,5 6 = 61 i = 1 x i 3,5 = 6 1 (,5 + 1,5 + 0,5 + 0,5 + 1,5 +,5) = 1,5. 9

10 Hier wurde die Streuung, wie bereits erwähnt, als mittlere Abweichung vom Erwartungswert dargestellt. Dies ist eine Möglichkeit. In der Regel wird die Streuung allerdings mit der so genannten Standardabweichung = E (( X E( X )) ) X gemessen. Dies liegt ausschließlich daran, dass Absolutbeträge, wie sie eben benutzt wurden, mathematisch ungünstiger zu handhaben sind. Diesem Problem geht man durch das Quadrieren der einzelnen Abweichungen der Werte der Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert aus dem Weg. Den Radikand nennt man auch Varianz der Zufallvariablen X. Sie wird mit Var(X) bezeichnet. Zusammengefasst wird dies in der folgenden Definition. Definition: Es sei X eine Zufallsvariable, für die E(X E(X)) existiert. Dann definieren wir die Varianz von X als Var(X):= E(X E(X)). Als Symbol für die Varianz wird oft σ bzw. σ X verwendet. Die Wurzel der Varianz heißt Standardabweichung. Auch für die Varianz und die Standardabweichung soll noch mal das Beispiel des einfachen Würfelwurfes betrachtet werden. Für die Varianz ergibt sich Var(X) = X 6 = i = 1 P( (X 3,5) = (x i 3,5) ) (x i 3,5) 6 = 61 i = 1 (x i 3,5) = 6 1 [(-,5) + (-1,5) + (-0,5) + (0,5) + (1,5) + (,5) )] = 6 1 (6,5 +,5 + 0,5 + 0,5 +,5 + 6,5) = ,5,917. Für die Standardabweichung ergibt sich daher der Wert σ X = 1,

11 Wir sehen, dass der Wert, den wir zuerst für die Streuung ausgerechnet haben, nicht mit dem eben berechneten Wert für Standardabweichung übereinstimmt. Daher ist es wichtig, immer denselben Ausdruck für die Streuung zu verwenden. Wie bereits erwähnt, bietet sich hier die Standardabweichung eher an, da es bei der Standardabweichung vermieden wird, mit den mathematisch ungünstigeren Absolutbeträgen zu rechnen. Abschließend werden noch die Rechenregeln für die Varianz bzw. die Standardabweichung in den beiden folgenden Sätzen zusammengefasst. Satz: Es sei X eine Zufallsvariable und a, b " R mit a 0. Dann gilt für die Varianz bzw. für die Standardabweichung (i) bzw. Var(aX + b) = a Var(X) ax + b = a X (ii) Var(X) = E(X ) (E(X)). Satz: Für unabhängige Zufallsvariablen X 1,..., X n gilt Var(X X n ) = Var(X 1 ) + + Var(X n ) bzw. = X X n X X n Das heißt die Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen. II.4 Modifikation für eine faire Variante Ein Glücksspiel wird als fair bezeichnet, wenn der Einsatz und der durchschnittliche Gewinn übereinstimmen. Chuck-a-Luck ist demnach nicht fair, denn 199 E (X) = Wir können Chuck-a-Luck allerdings so anpassen, dass es fair ist. Dazu muss man allerdings zunächst verstehen, warum die Bank überhaupt im Vorteil ist. Wie bereits erwähnt wurde, würfelt man durchschnittlich in jedem zweiten Spiel einen Treffer. Dies kann man leicht zeigen, indem man den Erwartungswert für die durch- 11

12 schnittliche Anzahl von Treffern in einem Spiel berechnet. Dazu müssen wir die relativen Häufigkeiten der einzelnen Spielresultate, die bereits in Tabelle 1 beispielhaft für einen einfachen Einsatz auf die Sechs berechnet wurden, mit der jeweiligen Anzahl von Treffern multiplizieren und anschließend die Produkte addieren. Als Erwartungswert für die durchschnittliche Anzahl von Treffern in einem Spiel ergibt sich E(X) = = An dieser Stelle ist es wichtig zu beachten, dass die Zufallsvariable X in diesem Fall eine andere ist. Bisher wurden von der Zufallsvariable X im Beispiel des Chuck-a-Luck immer die Werte der Gewinnhöhen (0,, 3, 4) zufällig angenommen. In der letzten Berechnung nimmt die Zufallsvariable X aber zufällig die mögliche Anzahl der Treffer (0, 1,, 3) in einem Chuck-a-Luck Spiel an. Derselbe Erwartungswert ergibt sich auch mit den Rechenregeln für den Erwartungswert: E(X) = E(X Wurf 1 ) + E(X Wurf ) + E(X Wurf 3 ) = + + = Hier stellt sich die Frage, warum der Erwartungswert für den durchschnittlichen Gewinn bei einer Chuck-a-Luck Partie nicht eins ist, obwohl man jedes zweite Mal die gesetzte Zahl trifft. Zur Erklärung machen wir zunächst eine Vorüberlegung. Wir stellen uns die Frage, wie viel wir pro Treffer gewinnen müssen, damit sich Einsatz und Gewinn ausgleichen? Die Antwort ist eindeutig: Wenn man jedes zweite Mal die gesetzte Zahl trifft, gleichen sich Einsatz und Gewinn bei einer Gewinnhöhe von zwei Einsätzen pro Treffer aus. Was soviel bedeutet, dass man jedes zweite Mal einen Einsatz verliert, dafür aber die anderen Male im Durchschnitt zwei Einsätze gewinnt. Dabei ist zu beachten, dass man bei einem Gewinn von zwei Einsätzen nur einen Einsatz netto gewinnt. Beim Chuck-a-Luck ist dies nur bei der Gewinnhöhe für einen Treffer der Fall. Hier erhalten wir für einen Treffer zwei Einsätze. Bei zwei Treffern erhalten wir lediglich drei Einsätze. Nach unserer Vorüberlegung sollte man für zwei Treffer allerdings vier Einsätze gewinnen. Gleiches gilt für drei Treffer hier erhalten wir vier Einsätze, obwohl sechs nötig wären, um im Durchschnitt ein ausgeglichenes Verhältnis von Einsatz und Gewinn zu erhalten. Würde man die Gewinnhöhen entsprechend der Vorüberlegung anpassen, würde sich ein Erwartungswert von 1

13 E(X) = = ergeben, und das Spiel wäre fair. II.5 Spielstrategien Im Verlauf dieser Arbeit wurde bereits gezeigt, wie man mit Zufallsvariablen rechnet. Dabei haben wir gesehen, dass der Erwartungswert linear ist und dass das Multiplikationsgesetz gilt. Um hierfür ein paar praktische Beispiele zu geben, betrachten wir Zufallsgrößen, wie sie sich aus den Ergebnissen von zwei aufeinander folgenden Chuck-a- Luck Partien ableiten. Dabei bezeichnet X 1, X,, X 6 den Gewinn, wenn man beim ersten Wurf einen einfachen Einsatz auf die Eins, Zwei, bzw. Sechs setzt. Gleiches gilt bei den Zufallsvariablen Y 1, Y,, Y 6 für den zweiten Wurf. Wie man leicht erkennen kann, sind die zwei Zufallvariablen X i und Y i stets voneinander unabhängig. Das heißt, dass der Wert, den die Zufallsvariable X i annimmt, nicht durch den Wert, den die Zufallsvariable Y i annimmt, beeinflusst wird und umgekehrt. So kann es zum Beispiel sein, dass X 1 und Y 6 beide zugleich den Maximalwert 4 erreichen. Anders ist dies für zwei verschiedene Zufallsvariablen X i und X j oder Y i und Y j. Diese Zufallsvariablen sind voneinander abhängig. Es ist unmöglich, dass zum Beispiel X 1 und X 6 beide zugleich den Maximalwert 4 erreichen. Die dafür notwendigen Würfelergebnisse und schließen sich gegenseitig aus. Im Folgenden werden die Ausdrücke X 6, X 6 1, X 1 + X 6, X 6 + Y 6 und X 6 Y 6 betrachtet. Mathematisch handelt es sich bei den Ausdrücken um die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Abbildungen, die einen gemeinsamen Definitionsbereich besitzen. Bevor die Ausdrücke mathematisch auf ihren Erwartungswert und später auch auf ihre Varianz untersucht werden, sollen sie zunächst in der folgenden Tabelle praktisch gedeutet werden. 13

14 Ausdruck X 6 Praktische Deutung Der Gewinn, wenn bei ersten Wurf ein doppelter Einsatz auf die Sechs gesetzt wird X 6-1 Der möglicherweise negative Gewinnsaldo, wenn bei einem einfachem Einsatz auf die Sechs im ersten Wurf vom Gewinn der Einsatz abgezogen wird X 1 + X 6 Der Gesamtgewinn, wenn jeweils einfach auf die Eins und die Sechs gesetzt wird X 6 + Y 6 Der Gesamtgewinn, wenn bei beiden Würfen jeweils einfach auf die Sechs gesetzt wird X 6 Y 6 Der Gewinn, wenn beim ersten Wurf auf die Sechs gesetzt wird und der eventuelle Gewinn für den nächsten Wurf stehen bleibt und somit auch auf die Sechs gesetzt wird Tabelle : Praktische Deutung verschiedener Ausdrücke Mit Hilfe der Rechenregeln ergeben sich folgende Erwartungswerte für die fünf Zufallsvariablen: E(X 6 ) = E(X 6 ) = 1,843 E(X 6 1) = E(X 6 ) 1 = 0,079 E(X 1 + X 6 ) = E(X 1 ) + E(X 6 ) = 1,843 E(X 6 + Y 6 ) = E(X 6 ) + E(Y 6 ) = 1,843 E(X 6 Y 6 ) = E(X 6 ) E(Y 6 ) = 0,849. Bei den ersten vier Ausdrücken erhalten wir nahezu denselben Erwartungswert. Lediglich E(X 6 1) weicht ab, was damit zusammenhängt, dass der Einsatz bereits abgezogen ist. E(X 6 Y 6 ) fällt etwas aus der Reihe, da hier die Erwartungswerte von zwei unabhängigen Zufallsvariablen miteinander multipliziert werden. Außerdem werden hier mit einem Einsatz zwei Runden gespielt. Hierbei muss man beachten, dass in der zweiten Runde der Gewinn der ersten Runde, der im Durchschnitt bei 0,9 liegt, gesetzt wird. Daher liegt der Verlust bei zwei Runden, im Gegensatz zu den anderen Strategien, bei durchschnittlich 0,151 Einsätzen. Bei den Zufallsvariablen, die den Erwartungswert 1,843 haben, liegt der durchschnittliche Verlust logischerweise bei 0,157 Einsätzen. Hier werden immer mit zwei Einsätzen insgesamt zwei Runden gespielt. Dabei kommt es aber auch vor, dass beide Einsätze in derselben Runde gesetzt werden. Wichtig ist es, sich dessen bewusst zu sein, dass man, egal für welche Spielstrategie man sich entscheidet, immer für einen ganzen Einsatz pro Runde etwa 8% verliert. In der folgenden Tabelle sind die verschiedenen Spielstrategien mathematisch untersucht worden. 14

15 t P(X 6 = t) P(X 1 +X 6 = t) P (X 6 +Y 6 = t) P(X 6-1 = t) P(X 6 Y 6 = t) -1 0, , ,9630 0, , ,347 0, , , , , , ,347 0,1037 0,159 0, ,0778 0, , , , , , ,0000 0, , , ,0000 1, , , , ,00000 E(X) 1, , , , , Var(X) 4,956704,003001, , , _ X,6366 1, , , , Tabelle 3: Mathematische Untersuchung der fünf verschiedenen Spielstrategien Die Tabelle gibt Aufschluss darüber, wie sich die einzelnen Spielstrategien voneinander unterscheiden. Besonders interessant ist es, die drei Spielstrategien links vom Trennstrich zu betrachten, denn alle drei haben denselben Erwartungswert. Auch der zweifache Einsatz ist bei allen gleich. Es fällt auf, dass sich die drei Spielstrategien in der Risikobereitschaft, für die die Varianz bzw. die Standardabweichung stehen, unterscheiden. Dabei steht X 6 für ein hohes Risiko, denn die Varianz ist mit dem Wert 4,96 am größten. Bei dieser Strategie gewinnen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,579% nichts. Allerdings kann man bis zu 8 Einsätze gewinnen. Dieser maximale Gewinn wird durchschnittlich jedes 16. Mal ausgezahlt. Die Zufallsvariable X 1 + X 6 bürgt ein geringes Risiko mit sich, denn die Varianz ist mit dem Wert,00 am geringsten. Wir verlieren nur zu 0,96% unsere kompletten zwei Einsätze und erzielen immerhin durchschnittlich jedes 36. Mal den Maximalgewinn von 5 Einsätzen. Für ein mittleres Risiko steht die Strategie X 6 + Y 6. Hier beträgt die Varianz,48. Dabei wird zu 0,335% nichts gewonnen. Jedoch können bis zu 8 Einsätze gewonnen werden. Dies ist aber weitaus unwahrscheinlicher als bei der ersten Strategie. 15

16 III. Beispiel Roulette III.1 Spielmöglichkeiten Roulette ist das beliebteste Casino-Glücksspiel der Welt. Auf dem Rouletterad (Cuvette) befinden sich die Zahlen 1 36 und je nach Variante noch ein oder zwei weitere Zahlen; und zwar die Null (Zero) bzw. die Null und die Doppel-Null. Die 36 Zahlen sind in einer bestimmten Reihenfolge unregelmäßig auf dem Rouletterad verteilt und haben im Wechsel die Farben Rot und Schwarz. Die Null und Doppel-Null sind grün. Bild 1: Rouletterad Beim Roulette versucht der Spieler, im Vorhinein zu erraten, auf welche Zahl oder Farbe (rot oder schwarz) die Kugel im Rouletterad fällt. Dabei gibt es verschiedene Setzmöglichkeiten, die später noch erläutert werden. Wie bereits erwähnt, gibt es verschiedene Varianten des Roulettes. Die zwei bekanntesten Varianten des Roulettes sind zum einen das Französische oder Europäische Roulette und zum anderen das Amerikanische Roulette. Der Hauptunterschied der beiden Formen ist, dass es beim Französischen Roulette 37 Ereignisse gibt (1 36, 0), im Gegensatz zum Amerikanischen Roulette mit 38 Ereignissen (1 36, 0, 00). In den europäischen Casinos wird das Amerikanische Roulette allerdings auch mit 37 Zahlen angeboten. Hier liegt der Unterschied dann nur noch im Ablauf des Spiels und den Auszahlungsreglungen für den Fall, dass die Kugel auf die Null fällt. Im weiteren Verlauf der Arbeit sollen zunächst die verschiedenen Wettmöglichkeiten vorgestellt werden. Dabei wird auch erwähnt, wie hoch ein möglicher Gewinn wäre. Es handelt sich immer um Vielfache des Einsatzes. Alle Wettmöglichkeiten gelten sowohl fürs Französische, wie auch fürs Amerikanische Roulette. 16

17 Beim Roulette werden einfache und mehrfache Chancen unterschieden. Bei den einfachen Chancen wird dem Spieler im glücklichen Fall ein 1:1-Gewinn ausbezahlt. D. h. er erhält zusätzlich zu seinem Einsatz einen weiteren Einsatz und hat sein Geld somit verdoppelt. Einfache Chancen: - Rouge (Rot, engl. Red) und Noir (Schwarz, engl. Black) - Pair (Gerade, engl. Even) und Impair (Ungerade, engl. Odd) - Manque (Niedrig, engl. 1 18) und Passe (Hoch, engl ). Mehrfache Chancen: - Plein, engl. Full number: Man setzt auf eine der 37 Zahlen; die Auszahlungsquote beträgt 35:1. - Cheval, engl. Split: Man setzt auf zwei auf dem Tableau benachbarte Zahlen, z. B. 0/ oder 13/14 oder 7/30, die Auszahlungsquote beträgt 17:1. - Transversale pleine, engl. Street: Man setzt auf die drei Zahlen einer Querreihe des Tableaus, also z. B. 19, 0 und 1; die Auszahlungsquote beträgt 11:1. - Carré, engl. Corner: Man setzt auf vier auf dem Tableau angrenzende Nummern, z. B. 3/4/6/7; die Auszahlungsquote beträgt 8:1. Dabei ist es auch möglich, auf die ersten vier Zahlen, d. h. auf 0, 1, und 3, zu setzen. Der gesonderte Ausdruck hierfür lautet: Les quatre premiers, engl. First four. - Transversale simple, engl. Six line: Man setzt auf die sechs Zahlen zweier aufeinander folgender Querreihen des Tableaus, z. B. auf die Zahlen 4, 5, 6, 7, 8 und 9; die Auszahlungsquote beträgt 5:1. - Douzaines, engl. Dozens: Die Zahlen 1 36 sind in drei Dutzende eingeteilt; die Gewinnquote beträgt jeweils : P, Premier, engl. First dozen. Erstes Dutzend, die Zahlen M, Milieu, engl. Second dozen. Mittleres Dutzend, die Zahlen D, Dernier, engl. Third dozen: Letztes Dutzend, die Zahlen Colonnes, engl. Columns: Man setzt auf die im Tableau senkrechten Reihen. Eine Kolonne wird aus zwölf Zahlen gebildet; die Gewinnquote beträgt wie bei den Dutzenden :1. - Colonne 34: Die erste Kolonne umfasst die Zahlen 1, 4, 7, 10,..., 34 - Colonne 35: Die mittlere Kolonne umfasst die Zahlen, 5, 8, 11,..., 35 - Colonne 36: Die letzte Kolonne umfasst die Zahlen 3, 6, 9, 1,...,

18 Die eben aufgeführten Wettmöglichkeiten beziehen sich auf die Anordnung im Tableau. In manchen Casinos ist es auch möglich, so genannte Kesselspiele zu spielen. Hierbei wird die Anordnung der Zahlen im Rouletterad als Grundlage für die Wettmöglichkeiten genommen. Da alle Fälle auch auf die bereits erwähnten Wettmöglichkeiten übertragbar sind, werden diese im weiteren Verlauf der Arbeit nicht mehr behandelt. In der nachfolgenden Grafik sind die Setzmöglichkeiten auf dem Tableau veranschaulicht: Abbildung 1: Setzmöglichkeiten auf dem Tableau III. Der Vorteil der Bank Nachdem nun alle Wettmöglichkeiten bekannt sind, interessiert uns natürlich auch hier, genau wie beim Chuck-a-Luck, ob die Bank im Vorteil ist und wenn ja wie stark. Wir gehen im Folgenden davon aus, dass alle Zahlen bzw. Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, d. h. es gibt keine Unregelmäßigkeiten auf Grund von Fehlern im Rouletterad oder sonstigen äußeren Einflüssen. Wir betrachten also einen Laplace-Raum mit 37 bzw. 38 Ereignissen. Um die einzelnen Erwartungswerte der Wettmöglichkeiten berechnen zu können, muss man zunächst wissen, wie die Auszahlung der Bank für den Fall aussieht, dass die Kugel auf die Null bzw. die Doppel-Null fällt. 18

19 Beim Französischen Roulette verliert der Spieler seinen kompletten Einsatz, wenn er auf Mehrfachchancen gesetzt hat. Ausnahmen sind hierbei natürlich alle Fälle, bei denen der Spieler auf die Null gesetzt hat. Dies ist bei den Spielmöglichkeiten Plein, Cheval und natürlich Carré (Les quatre premiers) möglich. Fällt die Kugel auf die Null, wenn der Spieler auf eine einfache Chance setzt, wird sein Einsatz gesperrt. Der Einsatz ist wieder frei, wenn im nächsten Spiel die Kugel auf die vom Spieler gesetzte einfache Chance fällt. Ist dies nicht der Fall, hat der Spieler seinen Einsatz verloren. Sollte die Kugel beim zweiten Mal wieder auf die Null fallen, ist der Einsatz doppelt gesperrt. Im relativ unwahrscheinlichen Fall, dass die Kugel dreimal in Folge auf die Null fällt, verliert der Spieler seinen Einsatz. Der Spieler hat auch die Möglichkeit, sich die Hälfte seines Einsatzes auszahlen zu lassen oder seinen gesperrten Einsatz auf eine andere einfache Chance zu verschieben, wenn die Kugel das erste Mal auf die Null gefallen ist. Beim Amerikanischen Roulette, wie es in europäischen Casinos angeboten wird (mit den Zahlen 0 und 1 36), bekommt der Spieler, wenn er auf einfache Chancen setzt, die Hälfte seines Einsatzes ausgezahlt, wenn die Kugel auf die Null fällt. Die Regel, dass der Einsatz gesperrt wird, gibt es hier nicht. In den USA verliert der Spieler beim Amerikanischen Roulette (mit den Zahlen 0, 00 und 1 36), das als einziges angeboten wird, seinen kompletten Einsatz, wenn die Kugel auf die Null oder die Doppel-Null fällt. Nachdem die Auszahlung für den Fall der Null (Doppel-Null) erläutert wurde, ist klar, dass sich die Bank durch die Null (Doppel-Null) einen Vorteil gegenüber dem Spieler sichert, denn ohne die Null (Doppel-Null) gleichen sich Einsatz und Gewinn bei allen Wettmöglichkeiten aus. Wie stark dieser Vorteil für die einzelnen Varianten ist, wird nun aufgezeigt. Beim Französischen Roulette beträgt der Vorteil der Bank bei den einfachen Chancen = 0,0135 = 1,35 % Dabei gehen wir davon aus, dass sich der Spieler nicht dafür entscheidet, sich die Hälfte seines Einsatzes auszahlen zu lassen, nachdem das erste Mal die Kugel auf die Null gefallen ist. Für die mehrfachen Chancen liegt der Vorteil beim Französischen Roulette bei 1 = 0,0703 =,703 %

20 Beim Amerikanischen Roulette, wie es in europäischen Casinos angeboten wird, beträgt der Vorteil der Bank bei den einfachen Chancen 1 18 = 0,1315 = 1,315 % Dieser etwas geringere Vorteil der Bank ist auch beim Französischen Roulette erreichbar, wenn sich der Spieler dafür entscheidet, sich die Hälfte seines Einsatzes auszahlen zu lassen, nachdem die Kugel das erste Mal auf die Null gefallen ist. Für die mehrfachen Chancen entspricht der Vorteil der Bank dem des Französischen Roulettes. Und zuletzt der Vorteil der Bank beim Amerikanischen Roulette wie es in den USA angeboten wird. Dieser beträgt für die einfachen, wie auch für die mehrfachen Chancen = 0,0563 = 5,63 %. 38 In der nachfolgenden Tabelle sind fürs Französische Roulette die Gewinnquote, die Gewinnwahrscheinlichkeit und der Erwartungswert mit der dazugehörigen Varianz und Standardabweichung für die einzelnen Wettarten zusammengefasst. Dabei gehen wir wieder davon aus, dass der Spieler sich nicht die Hälfte des Gewinns auszahlen lässt, wenn die Kugel auf die Null fällt. Wettart Gewinnquote Gewinnwahrscheinlichkeit Erwartungswert Varianz Standardabweichung Rouge/Noir 1 zu 1 49,34% 0,9865 0,9998 0,9999 Pair/Impair 1 zu 1 49,34% 0,9865 0,9998 0,9999 Manque/Passe 1 zu 1 49,34% 0,9865 0,9998 0,9999 Douzaine zu 1 1/37 = 3,433% 0,9730 1,97 1,4044 Colonne zu 1 1/37 = 3,433% 0,9730 1,97 1,4044 Transversale Simple 5 zu 1 6/37 = 16,16% 0,9730 4,891,116 Carré 8 zu 1 4/37 = 10,811% 0,9730 7,8101,7947 Transversale Pleine 11 zu 1 3/37 = 8,108% 0, ,790 3,755 Cheval 17 zu 1 /37 = 5,405% 0, ,5668 4,070 Plein 35 zu 1 1/37 =,703% 0, ,0804 5,8378 Tabelle 4: Französisches Roulette Zusammenfassend können wir sagen, dass der Spieler beim Französischen Roulette durchschnittlich pro Spiel mindestens 1,315 % seines Einsatzes verliert und der Erwartungswert dementsprechend maximal bei 0,98685 Einsätzen liegt. Außerdem ist es für den Spieler vorteilhafter, auf Wettmöglichkeiten mit einfachen Gewinnchancen zu setzen. Bei den mehrfa- 0