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Adolph Holst
vor 7 Jahren
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1 Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, Dipl.-Math. M. Helwich Name:... Matrikelnummer: Aufgabe (3 Punkte) Bei einem Multiple-Choice-Test wird eine Frage gestellt, auf die es 4 mögliche Antworten gibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat die richtige Antwort weiß, sei.2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat die richtige Antwort gibt, betrage 99%, wenn er die richtige Antwort weiß, und /4, wenn er sie nicht weiß. Angenommen, ein Kandidat gibt die richtige Antwort; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie tatsächlich wusste? Lösung: Ω W W mit sowie W Kandidat weiß die Antwort., P (W ).2 W Kandidat weiß die Antwort nicht., P (W ) P (W ).8 mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten R Kandidat beantwortet die Frage richtig P (R W ).99 und P (R W ).25. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (W R), welche sich nach dem Satz von Bayes wie folgt berechnet: P (W R) P (R W ) P (W ) P (R W ) P (W ) + P (R W ) P (W ) Die Wahrscheinlichkeit also, dass bei richtiger Antwort der Kandidat auch wirklich Bescheid wusste, beläuft sich auf 49.75%. 3 Punkte: jeweils einen Punkt für richtigen Ansatz, richtige Angabe der gegebenen Wahrscheinlichkeiten und für Endergebnis Aufgabe 2 (4 Punkte) Betrachtet wird der Versuch,,Zweimaliges Werfen eines Würfels. Stellen Sie folgende Ereignisse als Teilmengen von Ω {(ε, ε 2 ) : ε i {,..., 6}}, dar. a) Die Summe der Augen ist größer als. b) Die minimale Augenzahl in beiden Würfen ist 4. c) Im ersten Wurf fällt eine gerade Zahl und beim zweiten Wurf ist die Augenzahl kleiner als 3. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse!

2 Lösung: Wir erhalten für die nachgefragten Ereignisse folgende Teilmengen von Ω : a) A {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} b) B {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (6, 4)} c) C {(2, ), (2, 2), (4, ), (4, 2), (6, ), (6, 2)}. d) Für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten erhalten wir durch Abzählen P (A) 3 36 P (B) und P (A) Punkte: jeweils einen Punkt für jede Teilaufgabe 2, Aufgabe 3 (2 Punkte) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. A, B,... bezeichnen Ereignisse und P (A), P (B),... die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. P (A B) < P (A) P (A B) P (A B) A und B unabhängig falls A und B unabhängig P (A B) P (A)P (B) falls < P (A) < wahr falsch Lösung: P (A B) < P (A) P (A B) P (A B) A und B unabhängig falls A und B unabhängig P (A B) P (A)P (B) falls < P (A) < wahr falsch 2 Punkte: jedes richtige Kreuz ein halber Punkt Aufgabe 4 (4 Punkte) Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen sei gegeben durch f (t) { c t ( t) für < t < sonst, wobei c eine gewisse positive Konstante ist. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von! Lösung: Zunächst ermitteln wir den Wert von c so, dass f (t) auch wirklich eine Wahrscheinlich- 2

3 keitsdichte ist. Dazu muss das Integral über die Dichte den Wert ergeben: f (t) dt f (t) dt c t ( t) dt c t t 2 dt c 2 t2 ) 3 t3 c 2 ) 3 c 6. Demnach muss für c gelten c. Als Erwartungswert der Zufallsgröße erhalten wir E() t f (t) dt 6 t 2 ( t) dt t 2 t 3 dt 3 t3 ) 4 t4 3 ) 4 2. Die Varianz berechnen wir mit der Formel V() E( 2 ) E 2 (), wobei E( 2 ) t 2 f (t) dt 6 t 3 ( t) dt t 3 t 4 dt 4 t4 ) 5 t5 4 ) 5 2. Damit ergibt sich V() Punkte: je einen Punkt für c und E() und zwei Punkte für V() 3

4 Aufgabe 5 (3 Punkte) sei eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und der Lebesguedichte f. Es gilt lim t F (t) 2. f (t) t für alle t f (t) für t F () F (, 5) F ( x) F (x) für alle x f (t) ist streng monoton wachsend möglich immer falsch Lösung: Es gilt lim t F (t) 2. f (t) t für alle t f (t) für t F () F (, 5) F ( x) F (x) für alle x f (t) ist streng monoton wachsend 3 Punkte: jedes richtige Kreuz ein halber Punkt möglich immer falsch Aufgabe 6 (4 Punkte) Eine technische Baugruppe hat eine exponentialverteilte Lebensdauer T. In Bezug auf einen Zeitraum der Länge Stunden hat die Baugruppe eine Zuverlässigkeit (Überlebenswahrscheinlichkeit) von.96, d.h. P (T ).96 a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Lebensdauer und geben Sie die Verteilungsfunktion an! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Baugruppe schon vor Erreichen ihrer mittleren Lebensdauer aus? c) Sicherheitsanforderungen verlangen eine Zuverlässigkeit von mindestens.95 für den Zeitraum der Länge 3 Stunden. Sie ist erreichbar durch Parallelschalten von Baugruppen zu einem Aggregat. Wie viele Baugruppen muss das Aggregat mindestens enthalten, damit die geforderte Zuverlässigkeit erreicht wird? Lösung: Gegeben ist eine exponentialverteilte Zufallsgröße T mit P (T ).96. Demnach gilt P (T ).96.4 exp { λ }. Daraus ergibt sich für den Parameter λ ln(.96).48. a) Erwartungswert und Varianz einer exponentialverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ sind gegeben als µ λ und σ. Demnach erhalten wir hier λ 2 E(T ) Die Verteilungsfunktion ist für x und V(T ) F T (x) e.48 x 4

5 und sonst. b) Die Wahrscheinlichkeit, vor der mittleren Lebensdauer auszufallen beläuft sich auf P (T E(T )) P (T ) exp { }.632, also rund 63%. c) Wir berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil vor den besagten 3 Stunden ausfällt. Diese beträgt P (T 3) exp {.48 3}.52. Wegen <.5 reichen schon zwei parallel geschaltete Bauteile aus. 4 Punkte: zwei Punkte für a) und jeweils einen Punkt für b) und c) Aufgabe 7 (4 Punkte) Bei Personen einer bestimmten Gruppe wurde die Körperlänge gemessen. Diese Messungen ergaben das arithmetische Mittel x 75 cm. Unter der Voraussetzung, dass die Körperlänge eine normalverteilte Zufallsgröße mit σ cm ist, prüfe man die Hypothese H : µ 77 cm mit der Fehlerwahrscheinlichkeit α.5! Lösung: Für die Prüfgröße erhält man u x n µ σ n Verglichen mit dem Quantil z α einer Standardnormalverteilung, d.i. z , ergibt sich, dass die Nullhypothese abgelehnt werden muss. 4 Punkte: ein Punkt für den richtigen Test, einen für den Wert der Testgröße, einen Punkt für das richtige Quantil und schließlich einen für eine richtige Entscheidung) 5

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