Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

2 Aus Kapitel XI: 1. Bei einem Test zum Niveau α ist bei stetiger Gütefunktion das Supremum der Fehlerwahrscheinlichkeit.Art 1 α. Es gibt Testprobleme, für die es zu 0 < α < 1 keinen gleichmäßig besten Test zum Niveau α gibt. Bei einem Testproblem, zu dem es keinen gleichmäßig besten Test zu gegebenem Niveau α mit 0 < α < 1 gibt, ist es eine sinnvolle Forderung, nur solche Tests zuzulassen, deren Fehlerwahrscheinlichkeit.Art nirgendwo größer als 1 α ist. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

3 Definition: Ein Test δ : χ {d 0, d 1 } zum Niveau α für H 0 : γ Γ 0 gegen H 1 : γ Γ 1 heißt unverfälscht, wenn P II (δ, γ) 1 α für alle γ Γ 1 gilt. Bemerkung: Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie falsch ist, mindestens so groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie richtig ist: 1 P II (δ, γ) α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 3

4 Gleichmäßig beste Tests existieren häufig nicht a) bei zweiseitigen Tests (s. Beispiel aus Kapitel XI) b) bei Verteilungen mit mehreren Parametern, wenn sich das Testproblem auf einen Parameter bezieht und der/die andere(n) unbekannt ist/sind. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 4

5 Beispiel zu b): Test zum Mittelwert der Normalverteilung bei unbekannter Varianz, Parameterraum der Normalverteilung Γ = {(µ, σ ) µ R, σ R ++ } R ++ Menge der positiven reellen Zahlen Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 5

6 Das Testproblem H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 entspricht der Aufteilung des Parameterraums in Γ 0 = {(µ, σ ) µ R mit µ µ 0, σ R ++ } und Γ 1 = {(µ, σ ) µ R mit µ > µ 0, σ R ++ } Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 6

7 σ Γ 0 Γ 1 µ 0 µ Aufteilung des Parameterraums bei H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 7

8 Bei bekanntem σ ist { d1 x > µ 0 + σ δ(x) = n u 1 α d 0 x µ 0 + σ n u 1 α gleichmäßig bester Test zum Niveau α (u 1 α ist (1 α)-quantil der Standardnormalverteilung). Die Konstruktion des Tests beruht darauf, dass bei Mittelwert µ X µ σ n standardnormalverteilt ist. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 8

9 Bei unbekanntem σ kann σ durch einen Schätzwert ersetzt werden. Es gilt X µ S (X ) n ist t(n 1)-verteilt ( t-verteilt mit n 1 Freiheitsgraden) mit S (X ) = 1 n 1 n (x i x) korrigierte i=1 Stichprobenstandardabweichung (Achtung: S (X ) ist nicht erwartungstreu für σ, obwohl S (X ) erwartungstreu für σ ist) Damit ersetzen wir σ in δ durch S (X ) und u 1 α durch das (1 α)-quantil der t(n 1)-Verteilung t(n 1) 1 α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 9

10 Der resultierende Test δ(x) = { d1 x > µ 0 + S (x) n t(n 1) 1 α x µ 0 + S (x) n t(n 1) 1 α d 0 ist kein gleichmäßig bester Test zum Niveau α, aber ein gleichmäßig bester unverfälschter Test zu Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 10

11 Analog ist für H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ < µ 0 bei unbekannter Varianz { d1 x < µ 0 s (x) δ(x) = n t(n 1) 1 α d 0 x µ 0 s (x) n t(n 1) 1 α gleichmäßig bester unverfälschter Test zum Niveau α, aber kein gleichmäßig bester Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 11

12 Beispiel zu a) Zweiseitige Tests zum Mittelwert einer Normalverteilung: Testsituation: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 Bemerkung: Die umgekehrte Testsituation H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ = µ 0 sollte nicht angesetzt werden, da dann bei stetiger Gütefunktion die Fehlerwahrscheinlichkeit. Art (Γ 1 hat nur das Element µ 0 ) bei einem Test zum Niveau α mindestens 1 α ist. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 1

13 Naheliegend ist, die Nullhypothese abzulehnen wenn der Stichprobenmittelwert stark von µ 0 abweicht. Dies führt zu { d1 x µ δ(x) = 0 > c x µ 0 c d 0 Gesucht ist c zu vorgegebenem Niveau α. Bei Gültigkeit von H 0 ist µ = µ 0. Gesucht ist also c mit P µ0 ( X µ 0 > c) = α Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 13

14 i) σ bekannt: Bei Mittelwert µ 0 ist X µ 0 σ n standardnormalverteilt(n(0, 1)). Mit dem α - Quantil u α und dem (1 α ) - Quantil u 1 α gilt damit ) P µ0 (u α X µ 0 σ n u 1 α = 1 α Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 14

15 Wegen u α = u 1 α P ist dann X µ 0 > σ n u 1 α } {{ } c = α Somit ist δ(x) = d 1 d 0 x µ 0 > σ n u 1 α x µ 0 σ n u 1 α gleichmäßig bester unverfälschter Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 15

16 ii) σ unbekannt: Bei Mittelwert µ 0 ist X µ 0 S (X ) n t(n 1) verteilt. Mit dem α - Quantil t(n 1) α und dem (1 α ) - Quantil t(n 1) 1 α gilt damit P µ0 t(n 1) α X µ 0 S (X ) n t(n 1) 1 α = 1 α Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 16

17 Wegen t(n 1) α = t(n 1) 1 α P X µ 0 > S (X ) n Somit ist δ(x) = ist dann t(n 1) 1 α } {{ } c = α. d 1 x µ 0 > S (X ) n t(n 1) 1 α d 0 x µ 0 S (X ) n t(n 1) 1 α ist gleichmäßig bester unverfälschter Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 17

18 Einseitige Tests zur Varianz der Normalverteilung i) Bei bekanntem Mittelwert µ Wie gesehen ist für das Testproblem H 0 : σ σ 0 gegen H 1 : σ > σ 0 δ(x) = d 1 d 0 n (x i µ) > χ (n) 1 α σ0 i=0 n (x i µ) χ (n) 1 α σ0 i=0 gleichmäßig bester Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 18

19 Ebenso ist für H 0 : σ σ 0 gegen H 1 : σ < σ 0 δ(x) = d 1 d 0 n (x i µ) < χ (n) α σ0 i=0 n (x i µ) χ (n) α σ0 i=0 gleichmäßig bester Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 19

20 ii) Bei unbekanntem Mittelwert Ersetzen wir den unbekannten Mittelwert µ durch den Schätzwert x, so ist bei Varianz σ 0 1 n 1 n (X i X ) i=1 1 n 1 σ 0 = S (X ) n (X i X ) = σ0 σ n 1 i=1 0 χ (n 1) verteilt Mit dem α-quantil χ (n 1) α der χ (n 1)-Verteilung gilt damit für σ0 P σ S (X ) χ (n 1) 0 σ0 α = α n 1 Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 0

21 und für das Testproblem ist δ(x) = H 0 : σ σ 0 gegen H 1 : σ > σ 0 d 1 S (x) = 1 n 1 d 0 S (x) = 1 n 1 n (x i x) > χ (n 1) 1 α σ0 1 n (x i x) χ (n 1) 1 α σ0 1 Test zum Niveau α. Man kann zeigen: δ ist gleichmäßig bester Test zum Niveau α. i=1 i=1 n 1 n 1 Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 1

22 Entsprechend ist bei σ0 mit dem (1 α)-quantil χ (n 1) 1 α P σ S (X ) χ (n 1) 0 σ0 1 α = α n 1 und für das Testproblem H 0 : σ σ 0 gegen H 1 : σ < σ 0... Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

23 ... ist δ(x) = d 1 S (x) = 1 n 1 d 0 S (x) = 1 n 1 ein Test zum Niveau α. n (x i x) < χ σ0 (n 1) α n (x i x) χ σ0 (n 1) α i=1 i=1 n 1 n 1 Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 3

24 Es gilt: δ ist gleichmäßig bester unverfälschter Test zum Niveau α. Aber: δ ist kein gleichmäßig bester Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 4

25 Zweiseitige Tests zur Varianz der Normalverteilung Das Testproblem lautet H 0 : σ = σ 0 gegen H 1 : σ σ 0 (Wie bei den zweiseitigen Tests zum Mittelwert wird das Testproblem mit vertauschten Hypothesen nicht verwendet.) Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 5

26 Zweiseitige Tests zur Varianz der Normalverteilung i) Bei bekanntem Mittelwert µ Naheliegend ist es, wieder die Testgröße n (x i µ) bzw. S (x) = 1 n i=1 n (x i µ) i=1 zu verwenden und H 0 abzulehnen, wenn S (x) stark von σ 0 abweicht. S (x) ist ja GBE-Schätzfunktion für σ bei bekanntem Mittelwert µ 0. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 6

27 Gesucht sind also Testschranken c 1, c, so dass der Test δ(x) = { d0 c 1 S (x) c d 1 S (x) < c 1 oder c < S (x) ein Test zum Niveau α ist. Bei σ 0 ist S (X ) σ 0 n χ (n)-verteilt Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 7

28 Mit den Quantilen χ (n) α1 und χ (n) 1 α gilt also ( ) ( ) S (X ) P σ χ (n) 0 σ0 α1 + P σ0 χ (n) 1 α < S (X ) σ0 n n Gilt α 1 + α = α, so ist = α 1 + α δ(x) = { d 0 χ σ0 (n) α1 n S (x) χ σ0 (n) 1 α n d 1 S (x) < χ σ0 (n) α1 n oder χ σ0 (n) 1 α n < S (x) ein Test zum Niveau α. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 8

29 Bemerkung: α 1 und α können so bestimmt werden, dass δ ein gleichmäßig bester unverfälschter Test zum Niveau α ist. Gilt α 1 = α = α, so heißt δ Equal-Tails-Test. Wegen der Asymmetrie der χ -Verteilung ist der Equal-Tails-Test nicht unverfälscht (s. Abb.). Bei Anwendungen wird dennoch in der Regel der Equal-Tails-Test verwendet. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 9

30 G δ (σ ) σ Gütefunktion des equal-tails-test für verschiedene Werte Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests vonzur n. Normalverteilung 30

31 Damit sind die anschließenden Überlegungen analog zu Fall i) mit unbekanntem Mittelwert. d 0 χ σ (n 1) α 0 n 1 S (x) δ(x) = d 1 χ (n 1) 1 α σ 0 n 1 S (x) < χ (n 1) α χ (n 1) 1 α σ 0 n 1 oder < S (x) ist Equal-Tails-Test zum Niveau α. δ ist wiederum nicht unverfälscht. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 31

32 Bemerkung: Tests zur Normalverteilung sind von besonderer Bedeutung, weil nach dem zentralen Grenzwertsatz 1 n n X i µ i=1 Z = n N(0, 1) σ für X i u.i.v. mit E(X i ) = µ und Var(X i ) = σ. = Für eine Testsituation zum Erwartungswert kann man für beliebige Verteilungen die Tests der Normalverteilung als Approximation heranziehen, falls nur n genügend groß ist (meist n 30). Dies gilt insbesondere auch dann, wenn der Verteilungstyp nicht bekannt ist. Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung 3