Konfidenzbereiche. Kapitel Grundlagen. Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus,

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1 Kapitel 4 Konfidenzbereiche 4.1 Grundlagen Wir gehen wieder von einem allgemeinen parametrischen statistischen Modell aus, M, A, P ϑ ; sei eine Funktion des Parameters gegeben, die einen interessierenden Teil-Parameter γϑ beschreibt, γ : Θ G, wobei G eine nicht-leere Menge ist. ϑ Θ Definition 4.1 Bereichsschätzer, Konfidenzbereich Ein Bereichschätzer für γϑ ist eine Mengen-wertige Abbildung Ŝ : M PG, die in folgendem Sinne messbar ist: { } { } Ŝ z := x M : Sx z A z G. Die Wahrscheinlichkeiten P ϑ Ŝ γϑ, ϑ Θ, heißen die Überdeckungswahrscheinlichkeiten des Bereichsschätzers Ŝ für γϑ; wenn für ein gegebenes α 0, 1 gilt: P ϑ Ŝ γϑ 1 α ϑ Θ, dann heißt Ŝ ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ. 9

2 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 30 Lemma 4. Konfidenzbereich und nicht-randomisierte Signifikanztests a Sei Ŝ ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ. Definiere für jedes z G : { 1, falls z ϕ z x := Ŝx 0, falls z Ŝx x M. Dann ist ϕ z z G eine Familie von nicht-randomisierten Tests auf M mit der Eigenschaft P ϑ ϕz = 1 α ϑ γ 1 {z}, z G. D.h. für jedes z G ist ϕ z ein nicht-randomisierter α-signifikanztest für das Testproblem H 0,z : γϑ = z gegen H 1,z : γϑ z. b Sei umgekehrt ϕ z z G eine Familie von nicht-randomisierten Tests auf M mit der Eigenschaft. Dann ist durch Ŝx := { z G : ϕ z x = 0 } x M, ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ gegeben. Lemma 4.3 Konstruktion eines Konfidenzbereichs durch ein Pivot Sei T z z G eine Familie von Statistiken T z : M, A N, B z G, wobei N, B ein Messraum ist, mit der Eigenschaft, dass die Verteilungen P T γϑ ϑ für alle ϑ Θ identisch sind: Die Familie T z z G nennt man ein Pivot für γϑ. P T γϑ ϑ = Q ϑ Θ. Sei α 0, 1 gegeben, und sei B 0 B mit QB 0 1 α gewählt. Dann ist durch ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ gegeben. Ŝx := { z G : T z x B 0 } x M, Bemerkung: Reellwertiges Pivot Im Fall eines reellwertigen Pivot T z z G, also N, B = R, B 1, wählt man meistens B 0 = a 0, b 0, wobei a 0 ein p 1 -Quantil von Q, b 0 ein p -Quantil von Q und p 1, p 0, 1 mit p p 1 = 1 α sind. Dann ist in der Tat Q a 0, b 0 = F Q b 0 F Q a 0 p p 1 = 1 α. Die Standardwahl für p 1, p ist: p 1 = α und p = 1 α. Aber auch die Wahl B 0 =, b 0 mit einem 1 α-quantil b 0 von Q oder die Wahl B 0 = a 0, mit einem α-quantil a 0 von Q sind bisweilen von Interesse.

3 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 31 Lemma 4.4 Bonferroni-Konstruktionen Seien r N, r, α l 0, 1 für l = 1,..., r mit α := r α l < 1. a Für jedes l = 1,..., r sei Ŝl ein 1 α l -Konfidenzbereich für γϑ. Dann ist Ŝx := r Ŝ l x, x M, ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ. b Die Menge G Wertevorrat von γ sei das cartesische Produkt von Mengen G 1,..., G r, G = r G l, und γϑ = γ 1 ϑ,..., γ r ϑ, ϑ Θ, mit Funktionen γ l : Θ G l, 1 l r. Für jedes l = 1,..., r sei Ŝl ein 1 α l -Konfidenzbereich für γ l ϑ. Dann ist ein 1 α-konfidenzbereich für γϑ. Ŝx := r Ŝ l x, x M, 4. Normalverteilungsmodelle: Konfidenzintervalle für reelle Parameter 4..1 Modell mit u.i.v. normalverteilten ZV en Wir betrachten das Modell mit n u.i.v. Nβ, σ -verteilten Zufallsvariablen X 1,..., X n, wobei β R und σ 0, die Parameter sind, d.h.: M = R n, A = B n, P β,σ = n Nβ, σ, β, σ R 0,. Konfidenzintervalle für den Erwartungswert β : Sei γβ, σ = β. wobei x = 1 n Betrachte n x i und sx = T z x := n x z sx 1 n 1 n x i x. x R n, z R, Streng genommen ist für gegebenes z R die Statistik T z nur auf dem Teilbereich {s > 0} von R n definiert. Auf der Menge {s = 0} λ n -Nullmenge sei T z irgendwie messbar definiert, z.b. gleich 0. Die Familie T z z R ist ein Pivot für β mit der Pivotverteilung Q = t n 1 : P T β β,σ = t n 1 β, σ, t n 1 die t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Lemma 4.3 liefert die folgenden 1 α-konfidenzintervalle entsprechend der Wahl von B 0 als B 0 = t n 1, 1 α, t n 1, 1 α, bzw. B0 =, t n 1, 1 α, bzw. B0 = t n 1, 1 α, ; dabei bezeichnet t n 1, p für p 0, 1 das p-quantil der t n 1 -Verteilung.

4 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 3 Lemma 4.5 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert β Im Modell X i Nβ, σ u.i.v. 1 i n, wobei n, haben wir die folgenden 1 α- Konfidenzintervalle für β : Îx = x sx t n n 1, 1 α, x + sx t n n 1, 1 α x R n ; Î u x = Î o x = x sx n t n 1, 1 α,, x + sx n t n 1, 1 α x R n ; x R n. Konfidenzintervalle für die Varianz σ : Sei γβ, σ = σ. Betrachte T z x = n x i x / z x R n, z 0,. Die Familie T z z 0, ist ein Pivot für σ mit der Pivotverteilung Q = χ n 1 : Mit Lemma 4.3 erhalten wir: P T σ β,σ = χ n 1 β, σ. Lemma 4.6 Konfidenzintervalle für die Varianz σ Im Modell X i Nβ, σ u.i.v. 1 i n, wobei n, haben wir die folgenden 1 α- Konfidenzintervalle für σ : n Îx = x i x / n c n 1, 1 α, x i x / c n 1, α x R n ; n Î u x = x i x / c n 1, 1 α, x R n ; n Î o x = 0, x i x / c n 1, α x R n. Dabei bezeichnet c n 1, p das p-quantil der χ n 1-Verteilung, für p 0, Lineares Normalverteilungsmodell X = X 1,..., X n t NBβ, σ I n, β, σ R k 0,, wobei B eine gegebene n k Matrix vom Rang k und n > k. Im Folgenden werden oft Intervalle der Form m, m + auftreten, wobei m und längliche Ausdrücke darstellen. Wir wollen daher als abkürzende Schreibweise vereinbaren: m ± := m, m +.

5 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 33 Konfidenzintervall für eine Linearkombination c t β : Sei γβ, σ = c t β, mit einem gegebenen c R k, c 0. Ähnlich wie in Abschnitt 4..1 mit etwas allgemeineren Argumenten, haben wir ein Pivot für c t β : T z x = c t B t B 1 c 1/ c t βx z sx wobei βx = B t B 1 B t 1 x und sx = n k RSSx ; die Pivotverteilung ist Q = t n k. Daraus ergeben sich die folgenden Konfidenzintervalle. x R n, z R, Lemma 4.7 Konfidenzintervalle für eine Linearkombination c t β Im linearen Normalverteilungsmodell X NBβ, σ I n haben wir die folgenden 1 α- Konfidenzintervalle für die Linearkombination c t β : Îx = c t βx ± c t B B 1 c 1/ sx tn k, 1 α x R n ; Î u x = c t βx c t B B 1 c 1/ sx tn k, 1 α, x R n ; Î o x =, c t βx + c t B B 1 c 1/ sx tn k, 1 α Dabei bezeichnet t n k, p das p-quantil der t n k -Verteilung. x R n. Konfidenzintervall für die Varianz σ : Sei γβ, σ = σ. Wiederum anolog zu Abschnitt 4..1 mit etwas allgemeineren Argumenten, haben wir ein Pivot für σ : T z x = 1 z RSSx x Rn, z 0,, mit der Pivotverteilung Q = χ n k. Daraus ergeben sich die folgenden Konfidenzintervalle. Lemma 4.8 Konfidenzintervalle für die Varianz σ Im linearen Normalverteilungsmodell X NBβ, σ I n haben wir die folgenden 1 α- Konfidenzintervalle für σ : Îx = RSSx RSSx, c n k, 1 α c n k, α x R n ; Î u x RSSx =, x R n ; Î o x = c n k, 1 α 0, RSSx c n k, α Dabei bezeichnet c n k, p das p-quantil der χ n k -Verteilung. x R n.

6 Kapitel 4: Konfidenzbereiche Lineares Normalverteilungsmodell: Mehrdimensionale Konfidenzbereiche Sei ein lineares Normalverteiliungsmodell gegeben: wobei B eine gegebene n k Matrix vom Rang k und n > k. X P β,σ = NBβ, σ I n, β, σ R k 0,, Oft interessieren nicht nur Konfidenzintervalle für eine Linearkombination c t β z.b. eine einzelne Komponente β j0, sondern auch simultane Konfidenzintervalle für mehrere Linearkombinationen c t l β, l = 1,..., r, z.b. für alle Komponenten β j, j = 1,..., k, hier wäre r = k und c l = e l, l = 1,..., k, die elementaren Einheitsvektoren des R k. Sei eine k r Matrix gegeben: C = c 1, c,..., c r, wobei c l R k \ {0}, 1 l r, Ein 1 α-konfidenzbereich Ŝ für Ct β heißt ein simultanes 1 α-konfidenzintervall für c t l β, l = 1,..., r, wenn Ŝ von der folgenden Form ist: Sx = r Î l x, x R n, mit Intervallen Îlx R für alle l = 1,..., r und alle x R n. Aus Lemma 4.4, Teil b, und Lemma 4.7 erhalten wir: Lemma 4.9 Simultanes Konfidenzintervall nach Bonferroni Ein simultanes 1 α-konfidenzintervall für c t lβ, 1 l r, ist gegeben durch: Ŝx = r c t l βx ± c t l Bt B 1 1/ c l sx tn k, 1 α, r wobei t n k, 1 α r das 1 α r -Quantil der t n k-verteilung ist. Eine anderer Konfidenzbereich für C t β im Fall RangC = r ist das Konfidenzellipsoid nach Scheffé, das aus dem folgenden Pivot für C t β resultiert: T z x = 1 r C t βx z t C t B t B 1 C 1 C t βx z / s x, x R n, z R r. Die Pivot-Verteilung ist Q = F r,n k. Lemma 4.10 Konfidenzellipsoid nach Scheffé Sei C eine gegebene k r Matrix mit RangC = r. Ein 1 α-konfidenzbereich für C t β ist gegeben durch: { Ŝx = z R r : z C t βx t C t B t B 1 C 1 } z C t βx r fr,n k, 1 α s x x R n, wobei f r,n k, 1 α das 1 α-quantil der F r,n k -Verteilung bezeichnet. Anmerkung: Für jedes x ist Ŝx ein Ellipsoid in Rr mit dem Mittelpunkt C t βx. Daher nennt man Ŝ ein Konfidenzellipsoid. Aus dem Konfidenzellipsoid lassen sich simultane Konfidenzintervalle gewinnen s. Korollar 4.1 unten. Hierzu zunächst:

7 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 35 Kleines Hilfsresultat: Seien y R r und A eine positiv definite r r Matrix. Dann: w t y y t A 1 y = max w R r \{0} w t A w. Lemma 4.11 Andere Interpretation des Konfidenzellipsoids Sei L ein gegebener linearer Teilraum von R k mit r := diml 1. Dann gilt für jeden Parameterpunkt β, σ und für gegebenes α 0, 1 : P β,σ c t β c t β r f r,n k, 1 α c t B t B 1 c 1/ s c L = 1 α. Korollar 4.1 Simultanes Konfidenzintervall nach Scheffé Sei C = c 1,..., c r eine gegebene k r Matrix mit Spalten cl 0, 1 l r. Bezeichne r 0 := RangC. Ein simultanes 1 α-konfidenzintervall für c t lβ 1 l r ist gegeben durch: Ŝx = r c t l βx ± r 0 f r0,n k, 1 α c t l Bt B 1 1/ c l sx, x R n. 4.4 Modelle mit isotonen Dichtequotienten Sei ein statistisches Modell M, A, P ϑ ϑ Θ mit Θ R gegeben, und P ϑ ϑ Θ isotonen Dichtequotienten in einer Statistik T : M, A R, B 1. sei eine Familie mit Betrachte für jedes ϑ 0 Θ das einseitige Testproblem TP1 H 0 : ϑ ϑ 0 gg. H 1 : ϑ > ϑ 0, und den optimalen α-signifikanztest von Theorem.10 ϕ 1 = ϕ 1,ϑ 0. Wir runden diesen Test zu einem nicht-randomisierten α-signifikanztest ϕ 1,ϑ0 : ϕ 1,ϑ0 x := { 1 0, falls T x > cϑ 0, 1 α, x M, wobei cϑ 0, 1 α das kleinste 1 α-quantil der W-Verteilung Pϑ T 0 bezeichnet: { cϑ 0, 1 α = min c R : P T } ϑ0, c 1 α. Wir erhalten eine Familie ϕ 1,ϑ0 ϑ0 Θ von nicht-randomisierten Tests, die insbesondere die Bedingung von Lemma 4., Teil a, hier mit γϑ = ϑ erfüllt statt ϑ 0 schreiben wir jetzt einfach ϑ : P ϑ ϕ1,ϑ = 1 α ϑ Θ. Anwendung von Lemma 4., Teil a, liefert schließlich:

8 Kapitel 4: Konfidenzbereiche 36 Lemma 4.13 Untere Konfidenzschranke Bezeichne ϑu x := inf { ϑ Θ : T x cϑ, 1 α } R {± }, x M, mit der Konvention: inf :=. Ein 1 α-konfidenzintervall für ϑ ist gegeben durch: ϑu x, Θ, falls in das inf ein min ist Î u x = ϑu x, Θ, anderenfalls, x M. Eine analoge Betrachtung für die optimalen α-signifikanztests von Theorem.10 für Testprobleme TP H 0 : ϑ ϑ 0 gg. H 1 : ϑ < ϑ 0 liefert eine obere 1 α-konfidenzschranke für ϑ. Hier verwenden wir das größte α-quantil der W-Verteilung Pϑ T 0, d.h. { cϑ 0, α := max c R : P T } ϑ0, c α für jedes ϑ 0 Θ. Lemma 4.14 Obere Konfidenzschranke Bezeichne ϑo x := sup { ϑ Θ : T x cϑ, α } R {± }, x M, mit der Konvention: sup :=. Ein 1 α-konfidenzintervall für ϑ ist gegeben durch:, ϑo x Θ, falls in das sup ein max ist Î o x =, ϑo x Θ, anderenfalls, x M. Lemma 4.15 Zweiseitiges Konfidenzintervall nach Bonferroni Seien α 1, α 0, 1 mit α 1 + α =: α 0, 1 gewählt. Betrachte die untere 1 α 1 -Konfidenzschranke von Lemma 4.13 und die obere 1 α - Konfidenzschranke von Lemma 4.14 : ϑu x = inf { ϑ Θ : T x cϑ, 1 α 1 }, x M, ϑo x = sup { ϑ Θ : T x cϑ, α }, x M. Dann ist durch Îx = ϑu x, ϑ o x Θ, x M, ein 1 α-konfidenzintervall für ϑ gegeben. Dabei soll die doppelte Beklammerung des Intervalls ausdrücken, dass jeder der beiden Randpunkte des Intervalls einbezogen oder auch nicht einbezogen sein mag, entsprechend der folgenden Regel: ϑ u x Îx das inf in ist ein min ; ϑ o x Îx das sup in ist ein max.

9 Kapitel 4: Konfidenzbereiche Binomialmodell Binomialmodell: M = {0, 1..., n}, P p = Bin, p, p 0, 1, n N gegeben. Lemmata 4.13, 4.14 und 4.15 liefern hier die folgenden Resultate. Dabei bezeichnet F n,p die Verteilungsfunktion von Bin, p. Untere Konfidenzschranke: Die untere 1 α-konfidenzschranke p u x für p ist die eindeutige Lösung für p 0, 1 der Gleichung F n,p x 1 = 1 α, sofern x 1; im Fall x = 0 ist p u x = 0. Das entsprechende einseitige 1 α-konfidenzintervall lautet: Î u x = p u x, 1, x {0, 1..., n}. Obere Konfidenzschranke: Die obere 1 α-konfidenzschranke p o x für p ist die eindeutige Lösung für p 0, 1 der Gleichung F n,p x = α, sofern x n 1; im Fall x = n ist p o x = 1. Das entsprechende einseitige 1 α-konfidenzintervall lautet: Î o x = 0, p o x, x {0, 1..., n}. Zweiseitiges Konfidenzintervall: Ein 1 α-konfidenzintervall für p ist gegeben durch: Îx = p u x, p o x, x {0, 1,..., n}, wobei: p u x ist die Lösung für p 0, 1 der Gleichung F n,p x 1 = 1 α, sofern x 1; p u0 = 0. p o x ist die Lösung für p 0, 1 der Gleichung F n,p x = α, sofern x n 1; p on = Exponentialverteilungsmodell Betrachte das Modell mit n u.i.v. Exp1/ϑ-verteilten Zufallsvariablen X 1,..., X n, wobei ϑ 0, der Parameter ist und bekanntlich den Erwartungswert der Exponentialverteilung darstellt. Anders gesagt: M = 0, n, A = B0 n, n, P ϑ = n Exp1/ϑ, ϑ 0,. Lemmata 4.13, 4.14 und 4.15 liefern hier die folgenden Resultate. Konfidenzintervalle für den Erwartungswert: Wir haben die folgenden 1 α-konfidenzintervalle für ϑ : n x n x Îx =, Î u x = Î o x = c n,1 α n x c n,1 α 0, n x c n, α c n, α, x 0, n ; x 0, n ; x 0, n. Dabei bezeichnen x = n x i und c n, p das p-quantil der χ n -Verteilung.