Kapitel 3 Schließende Statistik

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1 Beispiel 3.4: (Fortsetzung Bsp. 3.) bekannt: 65 i=1 X i = 6, also ˆp = X = 6 65 = 0, 4 Überprüfen der Voraussetzungen: (1) n = () n ˆp = 6 10 (3) n (1 ˆp) = Dr. Karsten Webel 194

2 Beispiel 3.4: (Fortsetzung) weiter: ˆσ = 0,4(1 0,4) = 0,4 = 0,49 1 α = 0,9 u 1 α = u 0,95 = 1,645 Daraus folgt: KI 0,9 (p) = [ 0,4 1,645 0,49 ;0,4 + 1,645 0,49 ] = [0,4 0,1;0,4 + 0,1] = [0,3;0,5] Dr. Karsten Webel 195

3 Bemerkung 3.5: Die hier betrachteten Konfidenzintervalle für unbekannte Erwartungswerte sind umso schmaler, je größer der Stichprobenumfang n ist, je kleiner die (geschätzte) Standardabweichung σ (bzw. ˆσ) ist, je kleiner das Konfidenzniveau 1 α bzw. je größer die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist. Dr. Karsten Webel 196

4 Beispiel 3.6: (Fortsetzung Bsp & 3.4) a) Wieviele Studierende müssen befragt werden, damit das 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit nicht breiter ist als vier Minuten? b) Wieviele mittelständische Unternehmen müssen befragt werden, damit das 90%-Konfidenzintervall für den Anteil der Betriebe, die bei Lockerung des Kündigungsschutzes zusätzliche Mitarbeiter einstellen wollen, nicht breiter als zehn Prozentpunkte ist? Dr. Karsten Webel 197

5 Beispiel 3.6: (Fortsetzung) zu a) bisher: L = V o V u = 14,7 9,8 = 4,9 = 4 Minuten & 54 Sekunden jetzt: L! 4 Dr. Karsten Webel 198

6 Beispiel 3.6: (Fortsetzung) dazu: L = V o V u = X + u 1 α σ n = u 1 α σ n ( X u 1 α σ n ) also: L! 4 n ( ) u1 α σ = 4 ( ) 1, = 4,01 Es müssen mindestens 5 Studierende befragt werden. Dr. Karsten Webel 199

7 zu b) bisher: L = V o V u = 0,5 0,3 = 0, = 0 Prozentpunkte jetzt: L! 0,1 Dr. Karsten Webel 00

8 dazu: L = V o V u = ˆp + u 1 α ˆσ n (ˆp u 1 α ˆσ n ) = u 1 α ˆσ n Problem: L hängt nun auch über ˆσ von n ab Dr. Karsten Webel 01

9 Lösung: Abschätzung durch ˆσ = ˆp (1 ˆp) 1/ 0.5 σ^ p^ Dr. Karsten Webel 0

10 Damit folgt: L = u 1 α ˆσ n u 1 α 1/ n = u 1 α n. Also: L! 0,1 n ( u1 α 0,1 ) = ( ) 1,645 = 70,605. 0,1 Es müssen mindestens 71 mittelständische Unternehmen befragt werden. Dr. Karsten Webel 03

11 Motivation: bisher: Punkt- und Intervallschätzungen für unbekannte Parameter einer Verteilungsfunktion, dabei keine Verwendung von Vorinformationen jetzt: Vorinformationen, Vermutungen über einzelne Parameter einer Verteilungsfunktion oder über sonstige Eigenschaften einer Zufallsvariablen sind bekannt ( Nullhypothese ) Dr. Karsten Webel 04

12 Beispiel 3.7: (Fortsetzung Bsp. 3.15) Das Zentrum für Studienangelegenheiten an der TU Dortmund behauptet, dass die mittlere Wartezeit von Besuchern nicht mehr als zehn Minuten beträgt. Eine Befragung von 16 zufällig ausgewählten Besuchern ergab folgende Wartezeiten (in Minuten): 1, 0, 5, 15, 8, 1, 30, 5, 10, 4, 17, 11, 0, 10, 6,. Nehmen Sie an, dass diese Wartezeiten Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekannter Standardabweichung σ = 5 sind. Wie ist die Behauptung des Zentrums für Studienangelegenheiten zu bewerten? Dr. Karsten Webel 05

13 Beispiel 3.7: (Fortsetzung) Situation: X 1,X,...,X 16 uiv N(µ,5). Testproblem: H 0 : µ 10 gegen H 1 : µ > 10. Dr. Karsten Webel 06

14 Beispiel 3.8: Ein skeptischer Mensagänger möchte an einem bestimmten Tag die Nullhypothese Mindestens die Hälfte aller Suppen ist versalzen. überprüfen. Er will diese Nullhypothese verwerfen, wenn von fünf zufällig ausgewählten Suppen keine einzige versalzen ist. Wie ist diese Testprozedur zu beurteilen? Dr. Karsten Webel 07

15 Beispiel 3.8: (Fortsetzung) Situation: X 1,X,...,X 5 uiv Bin(1,p) mit X i = 1, i-te Suppe ist versalzen 0, sonst. Testproblem: H 0 : p 0,5 gegen H 1 : p < 0,5. Testentscheidung: Lehne H 0 ab, wenn T = 5 X i = 0 i=1 gilt. Dr. Karsten Webel 08

16 mögliche Konsequenzen einer Testentscheidung Testentscheidung Lehne H 0 nicht ab Lehne H 0 ab Realität H 0 wahr Fehler 1. Art H 0 falsch Fehler. Art Dr. Karsten Webel 09

17 Beispiel 3.9: (Fortsetzung Bsp. 3.8) a) zur Erinnerung: P(Fehler 1. Art) = 3,15% b) allerdings: p H 1 0,49 0,45 0,35 0,5, 0,05 P(Fehler. Art) 96,550% 94,967% 88,397% 76,70%,6% Dr. Karsten Webel 10

18 Beispiel 3.9: Gütefunktion (Fortsetzung) 1 P (H 0 ablehnen) H 1 H 0 p Dr. Karsten Webel 11

19 Definition 3.30: Gütefunktion Es sei θ Θ = Θ 0 Θ 1 mit Θ 0 Θ 1 =. Gegeben sei weiter ein beliebiger Test für das Testproblem H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ 1. Dann heißt die Funktion g(θ) = P(H 0 ablehnen θ) Gütefunktion des Tests. Dr. Karsten Webel 1

20 Interpretation Gütefunktion = P(Fehler 1. Art) auf H 0 Gütefunktion = 1 P(Fehler. Art) auf H 1 Quadratur des Kreises Minimiere gleichzeitig beide Fehlerwahrscheinlichkeiten! Praxis Gebe maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art vor ( Signifikanzniveau ) und minimiere die Wahrscheinlichkeit für den Fehler. Art Dr. Karsten Webel 13

21 Bemerkung 3.31: Jeder statistische Signifikanztest kann nach folgendem Standardschema durchgeführt werden: 1. Aufstellen des Testproblems, Festlegung des Signifikanzniveaus α. Bestimmung einer geeigneten Prüfgröße sowie deren Verteilung unter H 0 3. Festlegung des kritischen Bereichs (Verwerfungs- oder Ablehnbereichs) 4. Berechnung der Realisation der Prüfgröße anhand der gezogenen Stichprobe 5. Ablehnen von H 0, wenn sich die Realisation der Prüfgröße im kritischen Bereich befindet Dr. Karsten Webel 14

22 Satz 3.3: Gauß-Test Es seien X 1,X,...,X n uiv N(µ,σ ) mit bekannter Varianz σ > 0. Zu Überprüfen sei eines der folgenden Testprobleme: H 0 gegen H 1 (1) µ µ 0 gegen µ > µ 0 () µ = µ 0 gegen µ µ 0 (3) µ µ 0 gegen µ < µ 0 Dr. Karsten Webel 15

23 Satz 3.3: Gauß-Test (Fortsetzung) Die Nullhypothese wird zum Niveau α abgelehnt, wenn die Prüfgröße T = n X µ 0 σ in folgendem kritischen Bereich liegt: ( ) T H 0 N(0,1) (1) (u 1 α, ) () (, u 1 α ) (u 1 α, ) (3) (, u 1 α ) Dabei ist u γ das γ-quantil der Standardnormalverteilung. Dr. Karsten Webel 16

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