Klausur zu Statistik II

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1 Goethe-Universität Frankfurt Prof. Dr. Uwe Hassler FB Wirtschaftswissenschaften Sommersemester 2005 Klausur zu Statistik II Version B Bitte tragen Sie hier und auf den Lösungsblättern (oben links) Ihre Matrikelnummer ein! Matrikelnummer: Wichtig! Durch Ihre Unterschrift in der Teilnehmerliste bestätigen Sie, folgende Prüfungsvorschriften zu beachten: Sie haben den nachfolgenden Text gelesen und stimmen allen Punkten zu. Sie fühlen sich gesund und sind in der Lage, an der Prüfung teilzunehmen. Sie haben sich über die Vorschriften der DPO, die Teilnahme an Klausurprüfungen betreffend, informiert. Sie haben zur Kenntnis genommen, dass Sie für die ordnungsgemäße Abgabe der Klausur vor Verlassen des Prüfungsraumes selbst verantwortlich sind. Dazu gehört, dass Sie auf Ihrem Platz bleiben, bis alle Klausuren eingesammelt sind, und den Prüfungsraum nicht verlassen, bevor die Klausuren gezählt und die Vollständigkeit festgestellt wurden. Es sind nur die vom Themensteller aufgeführten Hilfsmittel erlaubt. Das Mitbringen eines Mobiltelefons in die Klausur ist verboten. Zuwiderhandeln gilt als Täuschungsversuch. Lösungen mit Bleistift oder roter Tinte werden nicht gewertet. Dieses Schema dient nur der Korrektur Σ Rohpunktzahl: Note:

2 Matrikelnr.: 2 Hinweise: a) Die Klausur umfasst 8 Aufgaben. Sie stehen auf den nachfolgenden Seiten. Außerdem gibt es am Ende Blätter, in welche Sie die Lösungen eintragen. Mit den beiden Deckblättern müssen Sie insgesamt 9 Seiten haben. b) Tragen Sie sogleich auf dem Deckblatt und den Lösungsblättern LESERLICH Ihre Matrikelnummer ein. c) Alle Klausurergebnisse sind auf den letzten vier Seiten einzutragen! Multiple-Choice-Aufgaben werden dort durch Ankreuzen beantwortet. Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 7 schreiben Sie in die vorgesehenen Kästchen hinter den Antwortsatz. Nur diese Ergebnisse werden gewertet! d) Insgesamt sind 90 Rohpunkte zu erreichen. Mit 45 Rohpunkte gilt die Klausur als bestanden. 24 Rohpunkte fallen auf Multiple-Choice-Aufgaben. e) Multiple Choice: Für jede der sechs Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! f) Als Hilfsmittel sind nicht programmierbare Taschenrechner und ein geheftetes, BEIDSEITIG bedrucktes Skript von Hassler/Nautz zugelassen. g) Geben Sie am Ende der Klausur nur diese 9 Seiten mit den eingetragenen Lösungen ab. Viel Erfolg!

3 Matrikelnr.: 3 Aufgabe 1 (5 Punkte) Die Zufallsvariablen X 1,..., X 10 seien unabhängig und identisch verteilt mit E(X i ) = 1 und V ar(x i ) = 2, i = 1,..., 10. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des arithmetischen Mittels X = 1 10 Aufgabe 2 (10 Punkte) 10 X i. Bei n = 100 zufällig ausgewählten Bafög-Empfängern ergab sich ein durchschnittlicher Förderbetrag von x = 320 EUR. Der Förderbetrag X eines Studenten wird als normalverteilte Zufallsvariable mit einer Standardabweichung von σ = 35 EUR angesehen. a) Wie lautet das realisierte Konfidenzintervall für den mittleren Förderbetrag bei einer Überdeckungswahrscheinlichlichkeit von 1 α = 0.99? b) Wie groß müsste die Anzahl der Bafög-Empfänger mindestens in einer Stichprobe sein, um zum Konfidenzniveau 1 α = 0.99 eine Länge des Intervalls von weniger als 10 zu erreichen? Aufgabe 3 (8 Punkte) Ein regelmäßiger Besucher eines Spielkasinos hegt den Verdacht, dass die Kugel am Roulette-Tisch nicht mit der behaupteten Wahrscheinlichkeit von 18/37 auf einem roten Feld liegen bleibt. Bei n = 2000 Spielen beobachtete er, dass die Kugel 900mal auf ein rotes Feld fiel. Es bezeichne p die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf einem roten Feld landet. Testen Sie H 0 : p 18/37 gegen H 1 : p < 18/37. a) Wie lautet der Wert der Prüfgröße Z zum Test auf H 0? b) Lehnen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.01 die Nullhypothese ab? Aufgabe 4 (5 Punkte) Bei n = 55 normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz wird für den Erwartungsert µ zweiseitig getestet: H 0 : µ = 0. Für die t-statistik erhält man T = 55 x/s = a) Wie groß ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Verteilung der Teststatistik unter H 0? b) Lehnen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% die Nullhypothese ab?

4 Matrikelnr.: 4 Aufgabe 5 (13 Punkte) Für j = 1,..., 17 Wochen wurden die Wachstumsraten (X ij ) von 4 Aktienkursen beobachtet (d.h. i = 1, 2, 3, 4). Es ergaben sich folgende Mittelwerte und Standardabweichungen: i x i s i Wir unterstellen für die Daten Normalverteilung, Unabhängigkeit und identische Varianzen. Führen Sie eine Varianzanalyse durch. a) Berechnen Sie die sum of squares within, SSW = 4 17 j=1 (x ij x i ) 2. b) Unterstellen Sie jetzt für SSW den Wert SSW = und für die sum of squares between den Wert SSB = Testen Sie auf Gleichheit der Erwartungswerte. Welchen Wert hat die F-Statistik? Wie groß ist der kritische Wert, um einen Test zum Niveau α = 0.05 durchzuführen (runden Sie hierzu 64 65)? Lehnen Sie die Nullhypothese zum Niveau α = 0.05 ab? Aufgabe 6 (10 Punkte) Eine zufällige Stichprobe von Unternehmensberatern (einschließlich Unternehmensberaterinnen) umfasst 58 studierte Ökonomen und 42 andere Akademiker. Alle wurden nach ihrem Einkommen befragt. Dann wurde gruppiert, ob eine Person über dem Durchschnittseinkommen liegt oder nicht. Die absoluten Häufigkeiten sind in folgender Tabelle wiedergegeben. Ökonom kein Ökonom unter Durchschnitt über Durchschnitt Testen Sie die Nullhypothese, dass die Zugehörigkeit zu den Besserverdienenden unabhängig davon ist, ob ein Berater Ökonomie studiert hat. a) Bestimmen Sie den Wert der Teststatistik X 2. b) Mit wieviel Freiheitsgraden führen Sie den Chi-Quadrat-Test durch? c) Lehnen Sie die Nullhypothese zu einem Signifikanzniveau von α = 0.1 ab?

5 Matrikelnr.: 5 Aufgabe 7 (15 Punkte) Im Rahmen der monetären Außenwirtschaftstheorie wird oft behauptet, die Entwicklung der US-Zinsen beeinflusse die Entwicklung der europäischen Zinssätze. Diese Behauptung wollen wir mit Hilfe des linearen Modells, Y i = a + b x i + ε i, i = 1,..., 62, überprüfen, wobei die Symbole für folgende Variablen stehen: Y i deutscher Zinssatz im Monat i x i US-Zinssatz im Monat i Folgende Werte liegen vor: d 2 x = 12, d 2 y = 18.6, d xy = 6 und 62 ε 2 i = 8. a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r xy zwischen den Zinssätzen. b) Unterstellen Sie jetzt den Schätzwert r xy = 0.4 und führen Sie einen approximativen Test zum 5%-Niveau auf die Nullhypothese durch, dass die Zinssätze unkorreliert sind. Welchen Wert hat die Prüfgröße Z? Wie lautet der approximative kritische Wert? Lehnen Sie die Nullhypothese zum 5%-Niveau ab? c) Wie lautet der Kleinst-Quadrate-Schätzwert für den Steigungsparameter b? d) Welchen Schätzwert σ 2 erhalten Sie, wenn Sie die Fehlervarianz σ 2 = V ar(ε i ) erwartungstreu schätzen? e) Unterstellen Sie jetzt die Schätzwerte b = 0.5 und σ = 2.61; welchen Wert hat dann die Prüfgröße T b zum Test auf die Nullhypothese H 0 : b = 1?

6 Matrikelnr.: 6 Multiple Choice und Lösungsblätter Aufgabe 8 (24 Punkte) Für jede der folgenden Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! a) X 1,..., X n seien unabhängig verteilte Stichprobenvariablen mit E(X i ) = µ, i = 1,..., n. Es seien g 1 = g 1 (X 1,..., X n ) und g 2 = g 2 (X 1,..., X n ) zwei unverzerrte Schätzfunktionen für µ. Dann gilt: Die Schätzfunktion g 3 mit g 3 = α g 1 + β g 2 für α, β [0, 1] ist ebenfalls unverzerrt. Strebt die Varianz von g1 für n gegen Null, so ist g 1 konsistent. Die Varianz beider Schätzfunktionen strebt asymptotisch gegen Null. E [g2 (X 1,..., X n ) g 1 (X 1,..., X n )] = 0. b) Es seien X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilte Stichprobenvariablen mit E(X i ) = µ und V ar(x i ) = σ 2, i = 1,..., n. Dann sind folgende Größen wegen des zentralen Grenzwertsatzes approximativ standardnormalverteilt, N(0, 1): Z n = ( ( nσ 2) 1 n ) X i µ Z n = ( ( n σ 2) 1 n ) X i n µ ( ( 1 n ) Zn = n σ 2) X i n µ Zn = ( ( n ) n σ) 1 X i n µ c) Die Varianz des arithmetischen Mittels X = 1 n n X i von identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariablen X i sinkt mit steigendem Stichprobenumfang n.... sinkt mit abnehmender Irrtumswahrscheinlichkeit.... kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n(n 1) n ( Xi X ) kann unverzerrt geschätzt werden durch 1 n 1 n ( Xi X ) 2.

7 Matrikelnr.: 7 d) Bei einer Befragung von 200 Personen ergaben sich als Antworten auf die Frage nach dem monatlich zur Verfügung stehenden Betrag: Betrag in Euro > 1200 Anzahl Mit diesen Daten soll ein Anpassungstest zum Niveau α = 0.01 auf die Nullhypothese durchgeführt werden, dass die Anzahl der Personen über die verschiedenen Klassen gleichverteilt ist. Dann gilt: Die Hypothese H 0 lautet, dass eine zufällig ausgewählte Person in jede der Klassen mit identischer Wahrscheinlichkeit p = 1 6 fällt. Die entsprechende Prüfgröße lautet X 2 = (28 )2 + (38 )2 + (50 )2 + (59 )2 + (25 )2 Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße das 99%-Quantil χ 2 (3) 0.99 der χ 2 -Verteilung mit 3 Freiheitsgraden überschreitet. Ein Wert der Prüfgröße von X 2 = führt hier zur Ablehnung der Nullhypothese.. e) Es gilt: Beim Testen von H 0 : θ = θ 0 ist die Gefahr, einen Fehler 2. Art zu begehen, größer als bei einer konsistenten Schätzung. Für eine Stichprobe x1,..., x n gilt immer, dass der Schätzwert der erwartungstreuen Varianzschätzung (s 2 ) größer ist als die mittlere quadratische Abweichung (d 2 ). Ein Konfidenzintervall hat immer eine größere Varianz als eine Punktschätzung. Es seien X1,..., X m binomialverteilte Zufallsvariablen mit X i Bi(10, p). Der Momentenschätzer für p lautet dann p = 1 10 m m X i. f) Es gilt: Beim Chi-Quadrat-Anpassungstest (auf Verteilung) zum Niveau α wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Wert der Prüfgröße größer ist als das (1 α)-quantil der χ 2 -Verteilung mit der entsprechenden Anzahl an Freiheitsgraden. Bei einem Signifikanzniveau von α gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen kleiner oder gleich α ist. Bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 entscheidet man sich bei einem zweiseitigen Test mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese zu verwerfen, wenn diese richtig ist. Das Quantil einer t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden konvergiert gegen den Wert 1.96 für n.

8 Matrikelnr.: 8 Lösungen der Aufgaben 1 bis 7 tragen Sie bitte in die nachfolgenden Kästchen ein. Aufgabe 1 (Lösung) Der Erwartungswert des arithmetischen Mittels lautet 1 Die Varianz des arithmetischen Mittels lautet 0.2 Aufgabe 2 (Lösung) a) Das realisierte Konfidenzintervall lautet [310; 330] b) Die Anzahl der Bafög-Empfänger müsste mindestens betragen 326 Aufgabe 3 (Lösung) a) Der Wert der Prüfgröße lautet b) Bei α = 0.01 lehne ich die Nullhypothese ab (ja/nein): ja Aufgabe 4 (Lösung) a) Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt 54 b) Zum 10%-Niveau lehne ich die Nullhypothese ab (ja/nein): nein Aufgabe 5 (Lösung) a) Die sum of squares within beträgt b) Die F-Statistik hat den Wert Der kritische Wert beträgt 2.74 Zum Niveau α = 0.05 lehne ich die Nullhypothese ab (ja/nein): ja

9 Matrikelnr.: 9 Aufgabe 6 (Lösung) a) Die Teststatistik X 2 nimmt folgenden Wert an: b) Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt 1 c) Zum Niveau α = 0.1 lehne ich die Nullhypothese ab (ja/nein): nein Aufgabe 7 (Lösung) a) Der Korrelationskoeffizient hat den Wert 0.2 b) Der Wert der Prüfgröße beträgt 3.15 Der approximative kritische Wert beträgt 1.96 Zum 5%-Niveau lehne ich die Nullhypothese ab (ja/nein): ja c) Der Schätzwert für den Steigungsparameter lautet 0.5 d) Der Schätzwert für die Fehlervarianz lautet 6.8 e) Der Wert der Prüfgröße beträgt -5.22