Übungsaufgaben zu Kapitel 5

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1 Übungsaufgaben zu Kapitel 5 Lösungen zu den Übungsaufgaben ab Seite 9. Aufgabe 9 Bei der Herstellung von Schokoladentafeln interessiert a) das durchschnittliche Abfüllgewicht einer Tafel Schokolade. b) die Varianz des Gewichtes einer Schokoladentafel. c) der Anteil p der Schokoladentafeln unter g. Aus diesem Grund wird aus der laufenden Produktion die folgende Stichprobe für Abfüllgewichte gezogen:, 97,, 96, 98,, 96,,, 98 Berechnen Sie einen Schätzer für die gefragten Größen aus der Stichprobe. Aufgabe 93 Bei der Herstellung von Schokoladentafeln sei das Verpackungsgewicht X normalverteilt mit Standardabweichung σ g. Der Sollwert der Tafeln liegt bei g. Der Hersteller möchte weder haben, dass µ < g (dann müsste er Reklamationen der Verbraucher befürchten), noch dass µ > g (unnötige Verschwendung und damit finanzielle Verluste). Eine Stichprobe vom Umfang n ergibt ein arithmetisches Mittel von x 98,9 g. a) In einem ersten Schritt soll davon ausgegangen werden, dass der unbekannte Erwartungswert gleich dem Sollwert g ist. Welche Hypothesen müssen aufgestellt werden? b) Legen Sie unter der Annahme, dass die Hypothese H zutrifft, einen symmetrischen Zufallsstreubereich um µ g fest, in dem x mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. c) Kann die Hypothese µ g bei der vorgegebenen Stichprobe verworfen werden? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Hypothese µ g zu verwerfen, obwohl sie tatsächlich zutrifft? e) Wie lauten Nullhypothese H, Alternativhypothese H, Zufallsstreubereich und Ablehnungsbereich, wenn der Hersteller überprüfen will, ob der Erwartungswert der Schokoladentafeln größer oder gleich g ist? f) Kann an der Nullhypothese µ g bei der vorliegenden Stichprobe festgehalten werden? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite von 3

2 Aufgabe 94 Bei der Fertigung eines bestimmten Typs von Wellen ist die Länge einer Welle (in mm) normalverteilt mit Varianz σ,. Die Längenmessung bei Wellen ergab folgende Werte: -mal 39,65 -mal 39,85 3-mal 39,9 6-mal 4, 3-mal 4, -mal 4,5 -mal 4, -mal 4,5 -mal 4,3 Lässt sich bei Signifikanzniveau α, 5 eine Abweichung vom Sollwert 4 mm nachweisen? Aufgabe 95 Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz σ,6. Eine Stichprobe von 5 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von x 54,3 mm. Testen Sie mit diesen Daten die Nullhypothese H : µ 55 auf dem Signifikanzniveau α %. Aufgabe 96 In einem chemischen Prozess wird über eine Dosiervorrichtung ein bestimmter Stoff zugeführt. Die Stoffmenge war dabei in der Vergangenheit normalverteilt mit Erwartungswert g und Standardabweichung g. Der Produktionsleiter meint, dass die Maschine neu adjustiert werden muss, da sie in jüngster Zeit im Mittel zu große Mengen zuführt. Er lässt -mal die zugeführten Stoffmengen nachwiegen und erhält die folgenden Werte (in g) gemeldet: 99,7,6 99,3,4,5, 5,5 98,,6,7 a) Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 5 %. (Gehen Sie dabei davon aus, dass sich die Standardabweichung nicht geändert hat.) b) Wie wäre die Testentscheidung ausgefallen, wenn das Signifikanzniveau % betragen hätte? Aufgabe 97 a) Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Die Füllmengen seien normalverteilt die Maschinengenauigkeit betrage σ 5. Eine konkrete Stichprobe ergab folgende 5 Messwerte (in g): Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite von 3

3 Weicht der Erwartungswert µ der Füllmengen der Maschine signifikant von g ab? (Signifikanzniveau α, 5.) b) Bei einer anderen Zuckerabfüllmaschine ergab sich bei einer Stichprobe vom Umfang ein arithmetischer Mittelwert x, [g]. Auch hier seien die Füllmengen normalverteilt mit Varianz σ 5. Auf dem Signifikanzniveau α 5 % ist zu überprüfen, ob die mittlere Füllmenge größer als g ist. Aufgabe 98 Eine Maschine füllt Limonade in,33-liter-dosen. Eine Stichprobe vom Umfang n ergab folgende Füllmengen (in ml): Lässt sich auf Basis dieser Stichprobe zum Signifikanzniveau % ein Unterschreiten der Sollfüllmenge bestätigen? Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Füllmengen unabhängig normalverteilt sind. Aufgabe 99 Die Zugfestigkeit [in N] der Drähte zweier Hersteller soll verglichen werden. Es wurden daher die Zugfestigkeitswerte von je 8 Drahtstücken gemessen. Folgende Werte ergaben sich: Hersteller A: Hersteller B: Sind die Drähte der beiden Hersteller gleich zugfest? Führen Sie einen geeigneten Signifikanztest zum Signifikanzniveau 5% durch unter der Annahme, dass die Zugfestigkeit beider Hersteller normalverteilt ist mit gleicher Standardabweichung σ. Aufgabe Bei der Analyse zweier Produktvarianten ergaben sich über 8 Wochen hinweg die folgenden Verkaufszahlen. Variante A: Variante B: Wenn die Verkaufszahlen als normalverteilt angenommen werden: Bedeutet das, dass die Variante A signifikant höhere wöchentliche Verkaufszahlen aufweist, oder liegen die Unterschiede noch in dem vom Zufall bedingten Rahmen? (Wählen Sie als Signifikanzniveau 5 %.) Aufgabe In einer Gemeinde hatte eine Partei in der Vergangenheit einen Stimmenanteil von 3 %. Bei der letzten Umfrage haben sich allerdings nur 3 von befragten Personen für diese Partei ausgesprochen. Spricht das (bei Signifikanzniveau α, ) für eine Änderung des Stimmenanteils? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 3 von 3

4 Aufgabe Der Benzinverbrauch eines neuen Kraftfahrzeuges soll getestet werden. Für 8 untersuchte Fahrzeuge ergeben sich folgende Messwerte in Liter / km: 3,8 3,4 3,5 4, 3,7 4, 3,5 3,7 a) Untersuchen Sie mit einem geeigneten statistischen Test, ob behauptet werden kann, der Verbrauch liege unter 4, Liter / km. b) Unter welcher zusätzlichen Annahme haben Sie den Test durchgeführt? Aufgabe 3 (Klausuraufgabe Sommersemester 4) An einer Hochschule wurde in zwei Kursen die gleiche Klausur geschrieben. Es ergaben sich folgende Werte: Kurs A: Anzahl der Teilnehmer 39 arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 39,6667 empirische Standardabweichung der Punktzahlen 8,489 Kurs B: Anzahl der Teilnehmer 33 arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 34, empirische Standardabweichung der Punktzahlen,386 a) Kann man mit diesen Daten nachweisen, dass die mittlere Punktzahl in Kurs A größer ist als in Kurs B? Führen Sie zur Beantwortung dieser Frage einen geeigneten Test zum Signifikanzniveau α 5 % durch. b) Welche statistischen Annahmen liegen dem von Ihnen durchgeführten Test zugrunde? Aufgabe 4 Bei der Massenproduktion eines Artikels treten immer wieder unbrauchbare Stücke auf. Der Produzent versichert, dass ihr Anteil p nicht mehr als % beträgt. Eine Stichprobe vom Umfang n 5 ergab unbrauchbare Artikel. Formulieren Sie H und H. Kann man H zum Niveau α,5 ablehnen? Zum Niveau α,? Aufgabe 5 Dem Hersteller eines Waschmittels wird von einer Verbraucherorganisation vorgeworfen 3-kg Packungen in den Handel zu bringen, deren Inhalt wesentlich unter dem Nenngewicht liegt. Der Hersteller bestreitet dies. Zur Überprüfung kauft die Verbraucherorganisation 5 Packungen und stellt jeweils deren Nettogewicht fest. Dabei ergibt sich ein arithmetisches Mittel von x, 96 kg und eine empirische Varianz von s, kg. Welchen Stichprobentest sollte die Verbraucherorganisation bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von % aufstellen? Wie lautet das Testergebnis? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 4 von 3

5 Aufgabe 6 Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit bekannter Varianz σ (also X ~ N ( µ,) ). Es sollen zweiseitige ( nach oben und unten beschränkte) Intervalle berechnet werden. a) Es ist bekannt. In welchem Intervall liegt das arithmetische Mittel x einer Stichprobe vom Umfang mit Wahrscheinlichkeit 95 %? b) µ ist nicht bekannt. Aber angenommen, es wäre (Nullhypothese H ), in welchem Intervall liegen dann die Mittelwerte x aus Stichproben vom Umfang n mit Wahrscheinlichkeit 95 %? c) µ ist nicht bekannt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n ergab sich x 998, 74. In welchem Intervall könnte µ liegen? Aufgabe 7 (Klausuraufgabe Sommersemester 8) Ein Hersteller von Kühlschränken hofft, durch eine technische Verbesserung den Energieverbrauch reduziert zu haben. Bei einer Stichprobe von Geräten der alten Technik wurde folgender Energieverbrauch gemessen (jeweils in kwh/jahr): Bei einer Stichprobe von 8 Geräten mit der verbesserten Technik wurden folgende Werte gemessen: a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau,5, ob die technische Verbesserung tatsächlich den Energieverbrauch verringert hat. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Messwerte Realisierungen unabhängiger Normalverteilungen sind und dass sich die Varianz der Normalverteilung durch die technische Verbesserung nicht geändert hat. b) Kann man auf Basis dieser Daten bei Signifikanzniveau,5 sogar behaupten, der Energieverbrauch habe sich um kwh/jahr verringert? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 8 Die Wirkstoffmenge [in mg] bei einem Medikament sei normalverteilt. Eine Stichprobe vom Umfang n ergab die Werte 5,3 49,9 49, 5, 5,7 5, 5,4 49,5 48, 48,9 a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99 %-Vertrauensbereich für die mittlere Wirkstoffmenge. b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Vertrauensbereiche für die mittlere Wirkstoffmenge. c) Für welche Fragestellungen verwendet man welchen der drei Vertrauensbereiche? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 5 von 3

6 Aufgabe 9 Bei einer Umfrage unter (repräsentativ ausgewählten) Personen gaben 7 an, bei der nächsten Wahl für die Partei X stimmen zu wollen. Wie groß ist der Stimmenanteil p, den die Partei bei der Wahl erzielen wird, bei Vertrauenswahrscheinlichkeit 99 % mindestens? Aufgabe Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz σ,6. Eine Stichprobe von Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von x 54,55 mm. a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99%-Vertrauensbereich für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser. b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99%-Vertrauensbereiche für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser. Aufgabe Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Beim Nachwiegen von Packungen ergaben sich folgende Werte (in g): -mal 996,5 -mal 997 -mal 997,5 -mal 998 -mal 998,5 4-mal 999 -mal 3-mal,5 -mal -mal,5 -mal 3 -mal 4 Die Füllmengen können als normalverteilt angesehen werden. Bestimmen Sie den zweiseitigen Vertrauensbereich für die mittlere Füllmenge der Maschine zum Vertrauensniveau α, 95. Aufgabe Bei einem in der Entwicklung befindlichen neuen Motortyp wurde ein wichtiges Konstruktionsmerkmal geändert. Es liegen die folgenden Messwerte für den Benzinverbrauch (in Liter pro km) vor. Vor der Änderung: Nach der Änderung: 4,9 4,6 4,8 4,8 4,6 4,4 4,9 4,5 4,5 4,7 4, 4, 4,4 4,5 4,5 4,3 4,4 4,4 a) Berechnen Sie ein zweiseitiges 99%-Vertrauensintervall für die Benzinersparnis, die die Konstruktionsänderung bewirkt hat. b) Welche Annahmen liegen Ihrer Rechnung aus a) zugrunde? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 6 von 3

7 Aufgabe 3 Aus einem laufenden Produktionsprozess wird eine Stichprobe von 8 Einheiten gezogen, um zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95 % einen Vertrauensbereich für die Ausschussquote p zu ermitteln. a) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p. b) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach oben begrenzten Vertrauensbereich für p. c) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach unten begrenzten Vertrauensbereich für p. d) Die Stichprobe enthält 3 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p. Aufgabe 4 Vier Maschinen füllen Zucker in -g-packungen. Die Füllmengen [in g] von i Maschine i seien N ( µ, σ ) -verteilt, dabei sei: i i µ mittlere Abfüllmenge der Maschine i σ i Abfüllgenauigkeit der Maschine i. Maschine : Gegeben: µ 4, 9 g, σ 4 [g²] Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als g enthält? Maschine : Gegeben: µ 3, 7 g, σ 4 [g²] Welche Füllmenge erreichen 99 % der Packungen mindestens? Maschine 3: µ 3 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n lieferte x,3 g. Kann man damit nachweisen, dass µ 3 > g gilt? Maschine 4: µ 4 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n lieferte x,5 g. Gesucht ist ein nach unten begrenztes Intervall, das das unbekannte µ 4 enthält. a) Was ist bei Maschine,, 3, 4 jeweils gesucht? b) Bei manchen der Maschinen kann man das, was gesucht ist, noch nicht ausrechnen es fehlen noch Angaben. b) Bei welchen der vier Fragen fehlen noch Angaben? b) Welche Angaben fehlen? c) Führen Sie die Rechnungen durch. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 7 von 3

8 Aufgabe 5 Eine Gruppe G von n Versuchspersonen wird mit einem neuen Medikament behandelt, welches den Blutdruck senken soll. Eine Vergleichsgruppe G mit ebenfalls n Personen wird nicht behandelt und dient nur zur Kontrolle. Es wurde bei allen Personen der Blutdruck in mmhg gemessen. Folgende Werte wurden daraus errechnet (in mmhg): x 4,84 x, 3 s, 5 s, 9. Kann man aus diesem Versuch schließen, dass das Medikament tatsächlich die beabsichtigte Wirkung hat, oder beruht der kleinere Durchschnitt in G auf Zufall, weil eben zufällig viele Personen mit ohnehin niedrigem Blutdruck in G gelangt sind? Man wähle -α,99 Aufgabe 6 Bei einer Umfrage unter 5 Wahlberechtigten wird gefragt: Welche Partei würden Sie wählen, wenn am Sonntag Wahl wäre?. Von den 5 ausgewählten Personen geben 6 an, dass sie die Partei XY wählen. Zwischen welchen Prozentzahlen bewegt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% der tatsächliche Stimmenanteil der Partei XY? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 8 von 3

9 Aufgabenlösungen Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe 9 a) ˆ µ 98, 9 b) ˆ σ 4,76 c) p ˆ Lösung zu Aufgabe 93 a) Nullhypothese H : µ g Alternativhypothese H : µ g. b) X arithmetisches Mittel der Stichprobe vom Umfang n 4 X ~ N N unter der Voraussetzung, dass H zutrifft. ( ) ( ) 5 σ σ Symmetrischer Zufallsstreubereich: [ - z α + z α ] - n n [98,76,4]. c) Weil x 98,9 g in [98,76,4] enthalten ist, kann H nicht verworfen werden. d) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler. Art ist gleich dem Signifikanzniveau α 5 % -95 %. e) Nullhypothese H : µ g Alternativhypothese H : µ < g Zufallstreubereich [98,96 ) Ablehnungsbereich (- 98,96). f) H : µ g muss bei der vorliegenden Stichprobe mit x 98,9 g verworfen werden. Lösung zu Aufgabe 94 H : µ 4 H : µ 4. x 4,4 [39,94 4,6] H wird nicht verworfen. Eine Abweichung vom Sollwert lässt sich bei Signifikanzniveau α, 5 nicht nachweisen. Lösung zu Aufgabe 95 H : µ 55 H : µ 55. x 54,3 [54,94 55,6] H wird verworfen. Die Daten bestätigen auf dem Signifikanzniveau α %, dass µ von 55 [mm] abweicht. Lösung zu Aufgabe 96 a) H : µ H : µ >. x,37 (,4] H wird verworfen. Die Behauptung des Produktionsleiters lässt sich bei Signifikanzniveau 5 % bestätigen. b) H : µ H : µ >. x,37 (,47] H wird nicht verworfen. Die Behauptung des Produktionsleiters lässt sich bei Signifikanzniveau % nicht bestätigen. Lösung zu Aufgabe 97 a) H : µ g H : µ g α 5% α 97,5 % z, 96 x 998,.,975 ZSB falls H zutrifft: [,4,96 ] 998 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 9 von 3

10 x ZSB Der Erwartungswert weicht nicht signifikant von µ g zum Signifikanzniveau 5 % ab. b) H : µ g H : µ g > α 5% α 95%, 645 z. ZSB falls H zutrifft: (,635],95 x ZSB Die Nullhypothese muss verworfen werden zugunsten der Alternativhypothese. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % gilt also µ > g. Lösung zu Aufgabe 98 X i Füllmenge von,33-liter Dosen X i ~ N( µ, σ ) σ X Durchschnittliche Füllmenge bei Dosen, X ~ N ( µ, ) x 37,3 s 3,56 s 3,683 H : µ 33 H : µ 33 Zufallsstreubereich falls H zutrifft: s 3,683 [ 33 t ) [ 33,8 ) [ 36,7 ) 9,99 n < H kann nicht verworfen werden. Ein Unterschreiten der Sollfüllmenge kann nicht bestätigt werden. Lösung zu Aufgabe 99 X Zugfestigkeit der Drähte von Hersteller A Y Zugfestigkeit der Drähte von Hersteller B X ~ N( µ X, σ ) α 5% 97,5 Y ~ N( ) α % t µ Y, σ α, 45 H µ µ s : X Y H : µ X µ Y d 7 s X + 7 sy 56 m+ n x 46,65 y 4, 5 s 8, 554 s 7, 68 s, 7966 ZSB: [ 3,854 3,854] X Y x y 5, 5 ZSB. Damit muss die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese verworfen werden. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wurde gezeigt, dass die Zugfestigkeit der beiden Hersteller unterschiedlich ist. Lösung zu Aufgabe H : µ µ H : µ > µ. Variante A wäre signifikant besser als B, wenn die Nullhypothese verworfen würde. x y 7,375 ( 4,6] H wird nicht verworfen. Es ist nicht nachzuweisen, dass sich Variante A bei Signifikanzniveau 5 % signifikant besser verkauft als B. Die Unterschiede können zufallsbedingt sein. Lösung zu Aufgabe H : p 3%,3 H : p 3%, 3 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite von 3 d n

11 α % α 99,5 % z, 576,995 ZSB falls H zutrifft: [,8%4,9% ] k 3 8 weil 6,6% ZSB, folgt daraus dass H nicht verworfen werden kann. Die Stichprobe spricht also beim Signifikanzniveau % nicht für eine Änderung des Stimmenanteils. Lösung zu Aufgabe a) H µ 4, H : µ 4,. : < Als Zufallsstreubereich für x (unter der Annahme, dass H zutrifft) ergibt sich z. B. für α, 5: [ 4,3 ), für α, : [ 3,94 ), für α, : [ 3,78 ). Wenn Sie eines dieser Signifikanzniveaus α gewählt haben, stellen Sie fest, dass x 3,7 nicht im Zufallsstreubereich liegt also wird H verworfen. Die Daten bestätigen somit (bei einem der oben genannten Werte α ) die Behauptung eines Verbrauchs unter 4, Liter pro km. b) Normalverteilung Unabhängigkeit. Lösung zu Aufgabe 3 a).) H : µ µ, H : µ > µ.) α, 5 t, 667 m+ n α t7,95 3.) ZSB für x y, falls H zutrifft: (, 3,657] (s d,939) 4.) Da x y 5, 4445 nicht im ZSB aus 3.) liegt, wird H verworfen. 5.) Die Daten bestätigen (bei Signifikanzniveau 5 %), dass in Kurs A die mittlere Punktzahl höher ist. b) Die Punktzahlen sind unabhängig normalverteilt mit unbekannten Erwartungswerten und gleicher unbekannter Varianz: N ( µ, σ ) bei Kurs A, N ( µ, σ ) bei Kurs B. Lösung zu Aufgabe 4 H : p % H : p % > α 5% α 95% z, 645,95 % 98%,5 k ZSB: % +,645 + [,34% ] 5 5 weil n 5,4% ZSB, muss H zugunsten von H verworfen werden. Die Aussage des Produzenten ist deshalb mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% widerlegt. Jetzt: α % α 99% z, 36,99 % 98% ZSB: [ %,36 ] [,46% ] 5 verworfen werden. n k + weil,4% ZSB, kann H nicht n 5 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite von 3

12 Die Aussage des Produzenten lässt sich deshalb bei einem Signifikanzniveau von % nicht widerlegen. Lösung zu Aufgabe 5 H : µ 3 kg H : µ 3 kg t 4,99,49 < Der zugehörige ZSB lautet: [,956 ). Weil x ZSB kann H nicht verworfen werden. Damit kann der Verdacht der Verbraucherorganisation bei einem Signifikanzniveau von % nicht bestätigt werden. Lösung zu Aufgabe 6 a),96 +,96 [ 997,3,77 ] b),96 +,96 [ 997,3,77 ] c) [ 998,74,96 998,74 +,96 ] [ 995,968,5 ] Lösung zu Aufgabe 7 Es handelt sich um einen Zweistichproben t-test. a) Entspricht µ dem mittleren Energiewert vor der technischen Änderung und µ dem mittleren Energiewert nach der technischen Änderung, dann lauten die Hypothesen: H : µ µ H : µ > µ x 74 y 63, 5 s x 8 s 34 : y ZSB falls H zutrifft: ( s ] ( 3,6455] 6, 95 d t s, 879 t, 746: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite von 3 d 6,95 Damit ist x y, 5 ZSB. H muss also verworfen werden. D.h. der Energieverbrauch hat sich statistisch signifikant auf einem Signifikanzniveau von 5 % verringert. b) x y, 5 ZSB. Aus diesem Grund kann die Nullhypothese H µ µ nicht verworfen werden.. : Lösung zu Aufgabe 8 a) [ 48,85,98] b) ( 5,83] c) [ 48,94 ) Lösung zu Aufgabe 9 5,6%

13 Lösung zu Aufgabe a) [ 54,4 54,68] b) [ 54,43 ) bzw. ( 54,67] Lösung zu Aufgabe [ 998,4,39] Lösung zu Aufgabe a) [,95,545]. b) Normalverteilung Unabhängigkeit gleiche Varianz vor und nach der Konstruktionsänderung. Lösung zu Aufgabe 3 a) [,9 %,4 %] b) [ %,3%] c) [,9 % %] d) [ %,86 %] Lösung zu Aufgabe 4 a) Maschine : Wert der Verteilungsfunktion von X Maschine : %-Quantil. Maschine 3: Ergebnis eines einseitigen Hypothesentests mit H : µ 3 g, H : µ 3 > g. Maschine 4: nach unten beschränktes Vertrauensintervall. b) b) bei Maschine 3 fehlt: Angabe des Signifikanzniveaus (z.b. α%) Angabe der Varianz (z.b. σ 3 4g ). bei Maschine 4 fehlt: Angabe des Konfidenzniveaus (z.b. -α99%) Angabe der Varianz (z.b. σ 4 4g ). b) Maschine : P(X g),7 Maschine : 999,48 Maschine 3: Man kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von % nachweisen, dass µ > 3 g.,348 Maschine 4: [ ) Lösung zu Aufgabe 5 Zweiseitiger Vertrauensbereich zum Konfidenzniveau 99%,793 3,37. Weil [,793 3,37] ist die Wirkung mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % echt. Lösung zu Aufgabe 6 [ 9,5%4,95% ] α : [ ] Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 5 Seite 3 von 3