2. Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 2016/2017

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1 . Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 016/ Aufgabe: Bei der Produktion eines Werkstückes wurde die Bearbeitungszeit untersucht. Für die als normalverteilt angesehene zufällige Bearbeitungszeit wurden 7 Werte (in min) erfasst. Aus diesen Werten erhält man x = 5, 7 min und s = 0, 418 min. Testen Sie zum Niveau α = 0,05, ob sich die Varianz der Bearbeitungszeit signifikant von 0,5 min unterscheidet. X - zufällige Bearbeitungszeit X i N (µ, σ ), i = 1,.., 7, x = 5,7 min und s = 0,418 min. Test für die Varianz σ (der Erwartungswert µ ist unbekannt): 1. H 0 : σ = 0,5(= σ 0) gegen H A : σ 0,5 3. T = (n 1) S { } 4. K = t t χ n 1; oder t χ α n 1;1 α α = 0,05 = α = 0,05 = 1 α = 0,975. χ n 1; α = χ 6; 0,05 = 13,84 und χ n 1;1 α = χ 6; 0,975 = 41,9 5. t = 6 (0,418) 0,5 = 9,1 6. t = 9,1 < 13,84 = t K = H 0 wird abgelehnt. Die Varianz der Bearbeitungszeit ist signifikant von 0,5 min verschieden 1

2 . Aufgabe: Eine sächsische Molkerei füllt Milch in Tetrapacks ab. Die Füllmenge ist normalverteilt mit Standardabweichung σ = 1 ml. In einer Stichprobe von 1 Tetrapacks wurden folgende Füllmengen gemessen: 499,7 501,3 499,1 500,6 500, 499,5 500,0 499,1 500,5 499,6 498,7 501,7 Testen Sie zum Niveau α = 0,05, ob die erwartete Füllmenge signifikant größer als 499 ml ist. X - zufällige Füllmenge X i N (µ, σ ), i = 1,.., 1, σ = 1 ml, n = 1 und x = 500 ml. Test für den Erwartungswert µ (die Varianz σ = (1 ml) ist bekannt): 1. H 0 : µ = 499(= µ 0 ) gegen H A : µ > T = X µ 0 σ n 4. K = {t t z 1 α } z 0,95 = 1, t = = 3,46 6. t = 3,46 > 1,6449 = t K = H 0 wird abgelehnt. Die erwartete Füllmenge ist signifikant größer als 499 ml

3 3. Aufgabe: Ein Manager einer großen Einzelhandelskette soll der Firmenleitung von der Erfahrung mit dem Just-In-Time -Projekt berichten. Die Filialen seines Gebiets wurden im letzten Monat 1000mal angesteuert. Dabei gab es in 7 Fällen Verspätungen. Test Sie zum Signifikanzniveau α = 0,1, ob die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einer Lieferung zu einer Verspätung kommt, signifikant kleiner als 9% ist. p = P (X i = 1) - (unbekannte) Wahrscheinlichkeit für Verspätung. X i B(p), i = 1,.., 1000, X = n X i i=1 Lieferungen. - zufällige Anzahl der Verspätungen bei n = 1000 unabhängigen Test für die Wahrscheinlichkeit (bzw. den Anteil) p: 1. H 0 : p 0,09(= p 0 ) gegen H A : p < 0,09. α = 0,1 3. n p 0 (1 p 0 ) = , 09 0, 91 = 81, 9 > 9 = Faustregel ist erfüllt, damit ist der (approximative) Test anwendbar. T = X n p 0 n p0 (1 p 0 ) 4. K = {t t z 1 α } z 0,9 = 1,816 K = {t t 1,816} 5. t = ,09 0,91 = 1,99 6. t = 1,99 < 1,816 = t K = H 0 wird abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einer Lieferung zu einer Verspätung kommt, ist signifikant kleiner als 9% (beim Signifikanzniveau von 0,1). { 1 : falls Verspätung bei der i-ten Lieferung, X i = 0 : falls keine Verspätung bei der i-ten Lieferung. 3

4 4. Aufgabe: Reagenzgläser sollen bezüglich ihrer Schmelztemperatur untersucht werden. Aus der Tagesproduktion wurden zufällig und unabhängig voneinander 10 Reagenzgläser entnommen. Von diesen 10 Gläsern wurden die Schmelztemperaturen (in C) bestimmt. Der Mittelwert dieser 10 Werte ist x = 748, und die empirische Varianz s = 15,6. Die zufällige Schmelztemperatur ist normalverteilt. a) Testen Sie, ob die erwartete Schmelztemperatur signifikant von 750 verschieden ist. Verwenden Sie als Signifikanzniveau 1%. b) Testen Sie, zum Signifikanzniveau 5%, ob die Varianz der Schmelztemperatur signifikant größer als 1 ist. X - zufällige Schmelztemperatur X i N (µ, σ ), i = 1,.., 10, x = 748, und s = 15,6. a) Test für den Erwartungswert µ (die Varianz ist unbekannt): 1. H 0 : µ = 750(= µ 0 ) gegen H A : µ 750. α = 0,01 3. T = X µ 0 S n t t t n 1;1 α t 9; 0,995 = 3,5 5. t = 748, ,6 10 = 1,44 6. t = 1,44 3,5 = t K = H 0 wird angenommen. Die erwartete Schmelztemperatur ist nicht signifikant von 750 C verschieden (beim Signifikanzniveau von 1%). b) Test für die Varianz σ (der Erwartungswert µ ist unbekannt): 1. H 0 : σ 1(= ) gegen H A : σ > 1 3. T = (n 1) S t t χ n 1;1 α χ 9; 0,95 = 16,9 5. t = 9 15,6 = 11, t = 11,7 16,9 = t K = H 0 wird angenommen. Die Varianz der Schmelztemperatur ist nicht signifikant größer als 1 4

5 5. Aufgabe: Ein Messgerät wird im Laufe der Zeit infolge von Abnutzungserscheinungen unbrauchbar. Als Kriterium für seine Brauchbarkeit dient die Forderung, dass die Varianz der als normalverteilt angesehenen Messfehler < 10 4 ist. Dürfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 auf die Brauchbarkeit des Messgeräts schließen, wenn sich aus 5 Fehlerwerten ein Schätzwert für die Varianz von 0, ergeben hat? X - zufällige Messfehler X i N (µ, σ ), i = 1,.., 5, s = 0, Test für die Varianz σ (der Erwartungswert µ ist unbekannt): 1. H 0 : σ 10 4 (= σ 0) gegen H A : σ < T = (n 1) S t t χ n 1;α χ 4; 0,05 = 13,85 5. t = 4 0, = 15,36 6. t = 15,36 13,85 = t K = H 0 wird angenommen. Die Varianz des Messfehler ist nicht signifikant kleiner als 10 4 Bemerkungen: i. Die Brauchbarkeit des Messgeräts konnte nicht statistisch gesichert (signifikant) gezeigt werden. Die geschätzte (empirische) Varianz s ist mit 0, deutlich kleiner als 10 4 ist. Mit einer größeren Stichprobe kann man möglicherweise die Brauchbarkeit statistisch gesichert zeigen. ii. Geht man davon aus, dass das Messgerät keinen systematischen Fehler hat, d.h. das µ = 0 ist, dann wäre damit der Erwartungswert µ bekannt. 5