1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung

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1 1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist einer der klassischen Tests zum Überprüfen von Verteilungsvoraussetzungen. Der Test vergleicht die Abweichungen der empirischen Verteilungsfunktion mit der theoretischen Verteilungsfunktion, d.h. in unserem Fall der Normalverteilungsfunktion. Wir gehen wieder davon aus, dass die Werte der Stichprobe x 1, x 2,, x n Realisierungen von unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen X 1, X 2,, X n sind. Getestet wird: H : Die Daten stammen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit gegen H 1 : Die Daten stammen aus keiner normalverteilten Grundgesamtheit bzw. H : Die Zufallsvariablen X i haben die Verteilungsfunktion F gegen H 1 : Die Zufallsvariablen X i haben nicht die Verteilungsfunktion F F ist in unserem Fall die Verteilungsfunktion der N(x,s 2 ) -Verteilung. Es folgt ein Beispiel: v Seite 69

2 Über Univariate Statistik und Kolmogorov-Smirnov-Test erhalten Sie den folgenden Output: Kolmogorov-Smirnov-Test (auf Normalverteilung) Beobachtung Funktionswert empirische Verteilungsfunktion Funktionswert Verteilungsfunktion Normalverteilung (1) Betrag Differenz 1 Betrag Differenz (1) N(.75, )-Verteilung Maximale Abweichung: Prüfgröße zum K-S-Test: asymptotischer p-wert (zweiseitig): Die empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe x 1, x 2,, x n ist definiert über die kumulierten relativen Häufigkeiten: F emp (x) = {x i x i x} /n Da die empirische Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion ist (siehe Grafik am Ende des Kapitels), gibt es an jeder Stelle x = x i zwei mögliche Differenzen, die zu berücksichtigen sind, wenn wie im Folgenden das Supremum von F emp (x) - F (x) gesucht wird. Seite 7

3 Es gilt k sup F max emp {F (x) F (x) emp mit F = F 2. N(x,s ) (x ) F (x ) i i {F i emp 1, 2,...,n} (x Die Prüfgröße ist definiert durch i1 ) F (x w n k. i ) i 2,3,...,n} {F (x Die oben berechnete Prüfgröße w ist Realisierung einer Zufallsvariablen W, die (wie immer unter H ) eine spezielle Verteilung besitzt. Diese Verteilung kann durch folgende Funktion approximiert werden: )} F(x) j ( 1) j e j x für x sonst F ist die asymptotische Verteilung von W, unter der Voraussetzung, dass die beim Test verwendete Verteilungsfunktion F keine unbekannten Parameter enthält die durch geschätzte Parameter ersetzt wurden. Im Beispiel ist d.1614, w Für n 4 können auch kritische Werte für k als Prüfgröße z.b. im Buch [3] gefunden werden, falls F mit allen Parametern bekannt ist. Werden diese kritischen Werte bei einer Verteilung F mit geschätzten Parametern verwendet (wie in unserem Fall), dann ist der Test Seite 71

4 konservativ, d.h. dass damit H seltener abgelehnt wird als man eigentlich mit exaktem p-wert ablehnen würde. Der approximative p-wert = 1 F(w),98525 >,25, womit die Nullhypothese nicht verworfen werden kann. Hier sollte man ein großen Signifikanzniveau verwenden, z.b. = 25%, falls man auf der Basis der Normalverteilung weitere Tests durchführen möchte. Denn es handelt sich hierbei um einen Anpassungstest, man würde gerne H zeigen. Da man aber den Fehler 2. Art nicht kennt (d.h. den Fehler, dass man H nicht verwirft, obwohl H falsch ist), ist hier ein großes Signifikanzniveau angebracht. Denn wenn man trotzt eines großen Fehlers, den man in Kauf nehmen würde, die Nullhypothese nicht verwerfen kann, dann spricht dies nicht gegen diese. Es folgt noch eine Grafik, die F emp und F in unserem Beispiel zeigt. F emp ist die Treppenfunktion, wobei die senkrecht eingezeichneten Linien nicht mit zur Funktion gehören Seite 72

5 Umsetzung mit SAS: data dat1; input x; cards; run; proc univariate data = dat1 normal; var x; run; SAS-Output zur Prozedur: Die Prozedur UNIVARIATE Variable: x Momente N 8 Summe Gewichte 8 Mittelwert.75 Summe Beobacht Std.abweichung Varianz Schiefe Kurtosis Unkorr. Qu.summe Korr. Quad.summe Variationskoeff Stdfeh. Mittelw Seite 73

6 Grundlegende Statistikmaße Lage Streuung Mittelwert.75 Std.abweichung Median. Varianz Modalwert. Spannweite 24. Interquartilsabstand 13. Tests auf Lageparameter: Mu= Test Statistik p-wert Studentsches t t Pr > t <.1 Vorzeichen M 4 Pr >= M.78 Vorzeichen-Rang S 18 Pr >= S.78 Tests auf Normalverteilung Test Statistik p-wert Shapiro-Wilk W Pr < W.8583 Kolmogorov-Smirnov D Pr > D >.15 Cramer-von Mises W-Sq Pr > W-Sq >.25 Anderson-Darling A-Sq Pr > A-Sq >.25 Seite 74