7 Vergleich mehrerer verbundener Stichproben 7.1 Friedman Rang-Varianzanalyse

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1 7 Verleich mehrerer verbundener Stichproben 7.1 Friedman Ran-Varianzanalyse Der Test von Friedman ist ein Analoon zur Varianzanalyse, nur dass dieser Test nichtparametrisch ist und deshalb im Geensatz zur Varianzanalyse keine Normalverteilun voraussetzt. Außerdem eht man hier von Teilstichproben leichen Umfans n aus, die verbunden sein können. Dabei könnte es sich beispielsweise um eine Studie zur Untersuchun der Gewichtsveränderun von n Personen handeln, von denen die Körperewichte zu Zeitpunkten vorlieen. Wir ehen allemein vom Modell der doppelten Varianzanalyse aus: X ij = + i + j + E ij, mit i = 1,,..., n und j = 1,,...,. X ij ist die i-te Beobachtun der j-ten Teilstichprobe. E ij sind die Fehlervariablen, die nicht, wie bei der Varianzanalyse, normalverteilt sein müssen. Die Zufallsvariablen E 1j, E j,..., E nj werden als unabhäni und identisch steti verteilt vorausesetzt, d.h. die Zufallsvariablen E ij sind innerhalb der j-ten Teilstichprobe unabhäni und identisch steti verteilt. i ist der Effekt der i-ten Beobachtun und j der Effekt der j-ten Gruppe. Wir wollen nun auf einen Unterschied zwischen den Gruppen testen und formulieren die Hypothesen: H 0 : 1 = =... = een H 1 : mindestens ein j ist verschieden von k Seite 17

2 Im Beispiel verwenden wir die folenden Daten: v1 v v3 v Die Ranzahlen werden für jede Datenzeile x i1, x i,, x i separat bestimmt (siehe Output). Im Folenden sind r i1, r i,, r i die Ranzahlen der i-ten Zeile. D.h. im Beispiel ist r 11 =, r 1 = 4, r 13 = 3 und r 14 = 1. Wenn Bindunen auftreten, was in unserem Beispiel nicht der Fall ist (kein Wert kommt innerhalb einer Zeile doppelt vor), so müssen diese bei der Berechnun der Prüfröße wieder berücksichtit werden. Dazu benötien wir diesmal pro Zeile eine Liste der Häufikeiten des Auftretens der Beobachtunen. Es seien t i1, t i,, Häufikeiten in der i-te Zeile. t die Im Beispiel sind alle t ij = 1 und k i = 4 für j = 1,,, k i und i = 1,,, n. Würde man die erste Zeile modifizieren, z.b. x 11 =, x 1 = 7, x 13 = 1 und x 14 = 1, dann würden sich die Ranzahlen r 11 = 3, r 1 = 4, r 13 = 1,5 und r 14 = 1,5 für die erste Zeile ereben. In diesem Fall wäre t 11 =, t 1 = 1, t 13 = 1 und somit k 1 = 3 (siehe Kapitel 1.5). iki Zur Durchführun des Tests müssen nach der Dateneinabe die Variablen v1, v, v3 und v4 anz rechts im Menü unter Welche Spalten sollen verleichen werden: ausewählt werden. Danach kann Verleich mehrerer verbundener Teilstichproben Friedman Ranvarianzanalyse ewählt werden. Seite 173

3 Somit eribt sich der Output: Friedman H0: Es ibt keinen Unterschied zwischen den Effekten der Gruppen een H1: Mindestens zwei Gruppen Unterscheiden sich hinsichtlich der Effekte Die Daten: Beobachtun 1 Beobachtun Beobachtun 3 Beobachtun 4 Teilstichprobe 1 (Ranzahl in Klammern) Teilstichprobe (Ranzahl in Klammern) Teilstichprobe 3 (Ranzahl in Klammern) () 7 (4) 4 (3) 1 (1) 8 () 4 (4) 11 (3) 4 (1) 6 () 16 (4) 9 (3) 1 (1) 5 (4) 15 (3) 5 () 1 (1) Ransummen Teilstichprobe 4 (Ranzahl in Klammern) Prüfröße v 9.3 Prüfröße v bei Bindunen 9.3 approximativer p-wert (Freiheitsrade Chi-Quadrat-Verteilun: 3) Es sei r j die Ransumme der j-ten Spalte, also: j r ij i1 Im Beispiel ist r 1 = 10, r = 15, r 3 = 11 und r 4 = 4. Seite 174 r n

4 Für den Mittelwert dieser Ransummen ilt (dahinter sehen Sie den Wert im Beispiel): r 1 r j j1 n( 1) = 10 Treten keine Bindunen auf, so ist v die Prüfröße: v 1 n( 1) j1 (r 1 j r) rj 3n( 1) n( 1) j1 Im Beispiel ist v = 9,3. Bei Bindunen wird die Prüfröße wie folt berechnet: v * 1 j1 1 n( 1) 1 (r r) j n i i1 k j1 t 3 ij Wenn - wie im Beispiel - keine Bindunen auftreten, haben beide Prüfrößen denselben Wert (d.h. hier ilt dann v * = v). Die Prüfröße ist (unter H 0 ) eine Realisierun einer asymptotisch Chi- Quadrat-verteilten Zufallsvariablen mit - 1 Freiheitsraden. Die Nullhypothese kann dann auf einem Sinifikanzniveau von beim asymptotischen Test verworfen werden, wenn: p-wert = 1 F Im Beispiel ilt: p-wert 0,056 * (v ) 1 Seite 175

5 Wir könnten hier die Nullhypothese auf einem Sinifikanzniveau von 5% verwerfen (p-wert 0,05) und somit einen sinifikanter Unterschied zwischen den Teilstichproben nachweisen. In Büchern wie z.b. in [3], [8] und [9] findet man Tabellen der exakten Verteilun für den Fall, dass keine Bindunen vorlieen. Wir wollen noch mal zum Schluss die exakte Verteilun (siehe erste Spalte) in unserem Beispiel in einer Tabelle auseben: v P(V v) P(V = v) P(V v) = 1 - P(V < v) 0 0, , ,3 0, , , ,6 0, , , ,9 0, , , , 0, , , ,5 0, , , ,8 0, , ,676649,1 0, ,15 0,64887,4 0, , ,5387,7 0, , , ,0 0, ,0484 0, ,3 0, ,0347 0, ,6 0, , , ,9 0, , , ,5 0, , , ,8 0, ,0107 0, ,1 0, ,0315 0, ,4 0, , , ,7 0, , , ,0 0, , ,1055 6,3 0,996 0, , ,6 0,9319 0, , Seite 176

6 v P(V v) P(V = v) P(V v) = 1 - P(V < v) 6,9 0, , , , 0, , , ,5 0, , ,0517 7,8 0, , , ,1 0, , , ,4 0, , , ,7 0, , , ,3 0, , , ,6 0, , , ,9 0, , , , 0, , , ,8 0, , , ,1 0, , , ,0 1 0, ,00007 Der exakte p-wert beträt: P(V 9,3) = 0,0115 Mit diesem p-wert könnten wir auch hier die Nullhypothese auf einem Sinifikanzniveau von 5% verwerfen. Umsetzun mit SAS: data dat1; input b x y; datalines; Seite 177

7 proc sort data =dat1; by x; proc rank data = dat1 out=dat; by x; var z; ranks rz; proc sort data = dat; by y; proc univariate data = dat noprint; var rz; by y; output out = temp sum = s; data temp; set temp; sq = s**; proc univariate data = temp; var sq; output out = temp1 sum = ssq; data output; set temp1; n=4;=4; /* n: Anzahl der Beobachtunen und : Anzahl der Gruppen*/ v=1/(n**(+1))*ssq-3*n*(+1); prob_v = 1-probchi(v,-1); proc print data = output; Seite 178

8 SAS-Output der Prozedur Print (Datei output): Beob. ssq n v prob_v Oder in einer kurzen Variante mit der Prozedur Freq: data dat1xy; input b x y; cards; proc freq data=dat1xy; tables b*x*y / cmh scores=rank noprint; Seite 179

9 SAS-Output der Prozedur Freq: Das SAS System Die Prozedur FREQ Beschreibende Statistiken für x nach y Kontrolliert für b Cochran-Mantel-Haenszel-Statistiken (RANK-Werte) Statistik Alternative Hypothesis DF Wert Prob 1 Korrelation unleich Zeilenmittel unleich Gesamtstichprobenröße = 16 Seite 180