Bivariater Zusammenhang in der Vierfeldertafel PEΣO

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1 Bivariater Zusammenhang in der Vierfeldertafel PEΣO 12. Oktober 2001

2 Zusammenhang zweier Variablen und bivariate Häufigkeitsverteilung Die Bivariate Häufigkeitsverteilung gibt Auskunft darüber, wie zwei verschiedene Merkmale verteilt sind, wenn man sie gemeinsam, d.h. in Relation zueinander betrachtet. Falls ein Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen besteht, muß er sich in der bivariaten Häufigkeitsverteilung niederschlagen. Aus diesem Grund untersucht man die Häufigkeit der jeweiligen Ausprägungskombinationen. 1

3 Kreuztabelle Die Kreuztabelle eignet sich zur Darstellung der bivariaten Verteilung zweier kategorialer Variablen. Die Ausprägungen der einen Variablen werden dabei in den Zeilen, die der anderen Variablen in den Spalten angegeben. Man spricht daher von Zeilen- und Spaltenvariablen. Die univariaten Verteilungen beider Variablen werden hierbei hierbei am Rand der Tabelle angegeben. Man spricht daher auch von der Randverteilung. 2

4 Häufigkeiten und Anteile in der Kreuztabelle absolute Häufigkeiten relative Häufigkeiten bezogen auf die Gesamtfallzahl 3

5 Beispiel absolute Häufigkeiten Stichprobe erwachsener österreichischer Staatsbürger Datensatz ISSP95 Zusammenhang zwischen Geschlecht und Einstellung bezüglich Einwandererdelinquenz 4

6 Anteile bezogen auf die Gesamtfallzahl Formel Zellenanteile Beispiel p ij = n ij n 5

7 Bedingte und Unbedingte Häufigkeitsverteilungen Bis jetzt wurden nur unbedingte Häufigkeitsverteilungen betrachtet. Bedingte Häufigkeitsverteilungen dienen zur Untersuchung des Einflusses der bedingenden Variable auf die Verteilung der jeweils Anderen. Beispiel: Auf diese Art kann man den Anteil der Personen, welche einen Kriminalitätsanstieg durch Einwanderer erwarten über die Geschlechter (bedingende Variable) vergleichen. Man erhält bedingte Kreuztabellen, indem man nicht über die Gesamtfallzahl, sondern über die Kategoriensummen der Kategorien der bedingenden Variablen prozentuiert. 6

8 Bedingte Häufigkeitsverteilungen Bedingte Anteile bezogen auf die Spaltensummen Bedingte Anteile bezogen auf die Zeilensummen 7

9 Bedingte Anteile Formel bedingte Zellenanteile(Spaltenvariable bedingend) p i(j) = n ij n j = n ij/n n j /n = p ij p j Beispiel 8

10 Zusammenhangsmaße in der Vierfeldertabelle Asymmetrische Zusammenhangsmaße unterscheiden zwischen unabhängiger (bedingender) und abhängiger (bedingter) Variable. Dies wirkt sich bei Vertauschung dieser Variablen in veränderten Ausprägungen der Maße aus. Symmetrische Zusammenhangsmaße treffen die obengenannte Unterscheidung nicht. 9

11 Asymmetrischer Zusammenhang: die Prozentsatzdifferenz Die Prozentsatzdifferenz d yx ist ein Maß, welches bei bedingten Kreuztabellen angewendet wird. Hierbei wird die Prozentsatzdifferenz (zwischen den Kategorien der abhängigen Variable) über die Kategorien der unabhängigen Variable verglichen. Formel Prozentsatzdifferenz mit X als bedingender Spaltenvariable d yx = 100 ( n 11 n 1 n 12 n 2 ) = 100 (p 1(1) p 1(2) ) 10

12 Beispiel Prozentsatzdifferenz Berechnung d yx d yx = 100 (p 1(1) p 1(2) ) = 100 ( ) =

13 Hypothesenprüfung der Prozentsatzdifferenz Als Testverteilung der Prozentsatzdifferenz wird bei ausreichendem Stichprobenumfang (wie bei Anteilen generell) die Normalverteilung und damit die Z-Statistik herangezogen. Es lassen sich prinzipiell folgende Hypothesenpaare formulieren: H 0 : δ yx = δ hypo H 1 : δ yx = δ hypo (1) H 0 : δ yx δ hypo H 1 : δ yx > δ hypo (2) H 0 : δ yx δ hypo H 1 : δ yx < δ hypo (3) 12

14 Berechnung der Z-Statistik für δ xy bei unabhängigen Stichproben Formel Z-Statistik für δ xy aus Anteilen Z = (p 1 p 2 ) π p 1 (1 p 1 ) n + p 2 (1 p 2 ) 1 n 2 Formel Z-Statistik für δ xy aus absoluten Häufigkeiten (vermeidet Rundungsfehler) Z = ( n 11 n 11 +n n n 12 +n ) δ hypo n11 n 21 (n 11 +n 21 ) 3+ n 12 n 22 (n 12 +n 22 ) 3 13

15 Berechnung der Z-Statistik für δ xy bei abhängigen Stichproben Diese Formel berechnet die Z-Statistik für den Test einer Populations- Prozentsatzdifferenz von (minimal oder maximal) null. Formel Z-Statistik für δ hypo = 0 bei abhängigen Stichproben aus Anteilen Z = mit p 1 p2 ˆπ pooled (1 ˆπ pooled ) ( n n ) 2 ˆπ pooled = p 1 n 1 n 1 +n 2 + p 2 n 2 n 1 +n 2 14

16 Beispiel Hypothesentest der Prozentsatzdifferenz Als Beispiel verwenden wir die Prozentsatzdifferenz von -8,6 zwischen Zustimmung (43.6 ; n = 597) und Ablehnung(52.2 ; n = 180) der Aussage Einwanderer erhöhen die Kriminalität bei Männern und Frauen in der österreichischen ISSP Teilstichprobe. Mögliche Hypothese: H 0 : δ yx = 0 H 1 : δ yx = 0 Z-Statistik für unabhängige Stichproben Z = =

17 Dieser Z-Wert entspricht einem empirischen Signifikanzniveau von Daher muß die Nullhypothese verworfen werden. Man kann davon ausgehen, daß eine Prozentsatzdifferenz in der Population vorliegt.

18 Konfidenzintervall für Prozentsatzdifferenzen Formel Konfidenzintervall c.i.(δ yx ) = d yx ±z 1 α/2 100 n11 n 21 (n 11 n 21 ) 3 + n 12 n 22 (n 12 n 22 ) 3 Das 95 Konfidenzintervall für die Biespieldifferenz von 8.6 beträgt somit: c.i.(δ yx ) = 8.6 ± c.i.(δ yx ) = 8.6 ±

19 Statistische Unabhängigkeit Symmetrische Zusammenhangsmaße basieren auf der Überprüfung der Statistischen Unabhängigkeit der Tabelle. Diese liegt dann vor, wenn die Anteile der bedingten Verteilung gleich den Anteilen der Randverteilungen sind. Es ist möglich, bei gegebenen Randverteilungen die relativen Zellenhäufigkeiten pe ij anzugeben, die bei statistischer Unabhängigkeit zu erwarten wären. Dies geschieht über Multiplikation der Randanteile der jeweiligen Zelle: pe 11 = π 1 π 1 pe 12 = π 1 π 2 pe 21 = π 2 π 1 pe 22 = π 2 π 2 Die bei Unabhängigkeit erwarteten absoluten Häufigkeiten e ij errechnen sich durch die Multiplikation von pe ij mit der Gesamtfallzahl n. 17

20 Die Chiquadrat χ 2 Teststatistik Die χ 2 -Statistik kann zur Überprüfung der Statistischen Unabhängigkeit einer Tabelle verwendet werden. Der Hypothesentest, der mit Hilfe der χ 2 -Statistik durchgeführt wird, heißt Chiquadrattest. Je größer dei Abweichung zwischen beobachteten und bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten, desto größer χ 2. Formel: χ 2 = 2 i=1 2i=j (n ij e ij ) 2 e ij bzw. in der Vierfeldertabelle: χ 2 = n (n 11 n 22 n 12 n 21 ) 2 n 1 n 2 n 1 n 2 18

21 Symmetrische Zusammenhangsmaße in der Vierfeldertabelle Symmetrisches Zusammenhangsmaß Phi Φ Da der Wert von χ 2 mit der Fallzahl n variiert, ist es als Maß für die Stärke eines statistischen Zusammenhangs ungeeignet. Dies korrigiert der Phi-Koeffizient, der nur zwischen -1 und 1 variieren kann. Ein Φ von null bedeutet hier keinen Zusammenhang, ein negatives einen umgekehrt proportionalen und ein positives einen proportionalen Zusammenhang. bei 1 und -1 sind die Zusammenhänge jeweils perfekt. Formel: φ 2 = χ2 Φ = n χ 2 n 19

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