Institut für Soziologie Werner Fröhlich. Methoden 2. Kontingenztabellen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

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1 Institut für Soziologie Methoden 2 Kontingenztabellen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

2 Aufbau der Sitzung Was sind Kontingenztabellen? Wofür werden Kontingenztabellen verwendet? Aufbau und Interpretation der Tabelle Chi-Quadrat-( ²)-Unabhängigkeitstest Exkurs zur Inferenzstatistik Beispiel mit SPSS: Recodieren, Kategorisieren von Variablen Erstellen von Kontingenztabellen Durchführen von Chi-Quadrat-Tests # 2

3 Kontingenztabellen Was sind Kontingenztabellen? Gemeinsame Häufigkeitsverteilung zweier kategorialer Variablen zwei gekreuzte Häufigkeitstabellen (= Kreuztabelle) Untersuchung des gemeinsamen Auftretens zweier Merkmale (mit relativ wenigen Ausprägungen) Skalenniveau: Nominalskala oder Ordinalskala Bei höherem Skalenniveau (metrisch) kann prinzipiell kategorisiert werden. Dies ist jedoch nur in Ausnahmefällen anzuraten, da durch das Kategorisieren viel Informationsgehalt verloren geht! Nutzen Sie stattdessen das metrische Skalenniveau aus und verwenden ein aussagekräftigeres Verfahren (z.b. Mittelwertvergleich, Regressionsanalyse)! # 3

4 Kontingenztabellen Wozu verwende ich Kontingenztabellen? Testen von Zusammenhangshypothesen Besteht ein Zusammenhang zwischen X (UV) und Y (AV)? Sind X und Y voneinander abhängig? Signifikanztest: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Kann von einem Zusammenhang zwischen X und Y auch in der Grundgesamtheit ausgegangen werden? Zusammenhangsmaße in der nächsten Sitzung Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? # 4

5 Kontingenztabellen Aufbau der Tabelle (1) Konvention: UV (X) in den Tabellenspalten AV (Y) in den Tabellenzeilen Zellen können enthalten: absolute Häufigkeiten (Anzahl) relative Häufigkeiten (%) erwartete Häufigkeiten (theoretische Häufigkeiten unter Gelten der Nullhypothese, wenn also kein Zusammenhang besteht) # 5

6 Kontingenztabellen Aufbau der Tabelle (2) Unabhängige Variable (UV, X) Absolute Häufigkeiten x 1 x 2 Abhängige Variable (AV, Y) y 1 y 2 a c b d a+b c+d Zeilensummen a+c b+d N=a+b+c+d Randhäufigkeiten Fallzahl Spaltensummen # 6

7 Kontingenztabellen Interpretation der Prozentangaben Fragestellung: Hängen der berufliche Ausbildungsabschluss und Geschlecht zusammen? Abhängige Variable Unabhängige Variable Prozentbildung in den Spalten # 7

8 2 Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 1) Berechnung erwarteter Häufigkeiten (Indifferenztabelle) für jede Zelle dazugehörige Randhäufigkeiten miteinander multiplizieren und durch Fallzahl teilen! = theoretische Häufigkeiten, die sich ergäben, wenn kein Zusammenhang zwischen X und Y bestünde X 1 m 1 h 1 h 1 N h 1 h m N h 1 Y h 2 h 1 N h 2 h m N h 2 k h k h 1 N h k h m N h k h 1 h m N # 8

9 Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 1) Erwartete Häufigkeiten (Indifferenztabelle) empirische Anzahl erwartete Anzahl # 9

10 Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 2) Ziel: Prüfung, ob in der Stichprobe festgestellter Zusammenhang zwischen UV und AV auch für die Grundgesamtheit gilt Signifikanztest Getestet wird dabei die Nullhypothese (H 0 ): Es besteht kein Zusammenhang zwischen UV und AV gegen die Forschungshypothese (H 1 ): Es besteht ein Zusammenhang zwischen UV und AV Allgemeine Logik von Signifikanztests: Bestimmung von statistischen Prüfgrößen (die einer bestimmten Verteilung folgen hier ² -Verteilung), welche die Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit erlauben Prüfgröße für Kontingenztabellen: ²-Koeffizient Idee: Vergleich der tatsächlich beobachteten gemeinsamen Häufigkeitsverteilung mit der Indifferenztabelle (erwartete gemeinsame Häufigkeitsverteilung) # 10

11 Berechnung des ²-Koeffizienten: Summe aller quadrierten Abweichungen der beobachteten Werte von den erwarteten Werten ² Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 2) (O km E km)² E k m km O km : beobachtete Häufigkeiten E km : erwartete Häufigkeiten Intuitive Testlogik aus der Berechnungsformel: Je größer der Wert der Testgröße, desto eher kann die Nullhypothese verworfen werden. Berechnung der ²-Testgröße mit SPSS: crosstabs AV by UV /stats chisq. # 11

12 Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 3) SPSS berechnet nicht nur die Prüfgröße, sondern führt auch den Signifikanztest durch und gibt direkt die Irrtumswahrscheinlichkeit (p-wert) an Sozialwissenschaftliche Konvention: Wenn p 0,05, dann wird H 0 abgelehnt. Irrtumswahrscheinlichkeit Bedeutung (Symbol) p > 0,05 nicht signifikant (ns) p 0,05 signifikant (*) p 0,01 hoch signifikant (**) p 0,001 höchst signifikant (***) Sprachgebrauch: Effekte, Zusammenhänge, Assoziationen etc. sind signifikant bzw. statistisch überzufällig. Bitte nicht davon sprechen, dass ein Koeffizient, eine Variable oder eine Hypothese signifikant ist! # 12

13 Kontingenztabellen ²-Unabhängigkeitstest (Schritt 3) ²-Wert = 37,264 bei sieben Freiheitsgraden p-wert: 0,000 Interpretation: ²-Wert überschreitet mit 37,264 deutlich den kritischen ²-Wert von 14,067 für das 5%-Niveau (kann man Übersichtstabellen entnehmen; z.b. Jann 2005, S. 195). Der Zusammenhang ist höchst signifikant (p = 0,000) Nullhypothese muss verworfen werden. Die Forschungshypothese wird (vorläufig) angenommen! Es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen dem Ausbildungsabschluss und dem Geschlecht! # 13

14 Einschub: Inferenzstatistik In der Inferenzstatistik wird versucht, anhand der empirischen Daten aus der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen Ablauf eines Signifikanztests: 1. Festlegung von H 0 und H 1 2. Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit ( ) für H 0 3. Festlegung einer Prüfgröße bzw. Teststatistik unter Berücksichtigung der Modellvoraussetzungen 4. Berechnung der Prüfgröße und Entscheidung über die Verwerfung von H 0 # 14

15 Einschub: Inferenzstatistik 1. H 0 vs. H 1 Hypothesentest erfolgt immer für H 0 H 0 : z. B. Mittelwerte in der GG sind gleich H 1 : z. B. Mittelwerte in der GG sind nicht gleich 2. Die Wahl von Entspricht der maximal zugelassenen Wahrscheinlichkeit, dass H 0 abgelehnt wird, obwohl H 0 wahr ist Fehler 1. Art: H 0 wird verworfen, obwohl H 0 wahr ist (false rejection, -Fehler) Fehler 2. Art: H 0 wird beibehalten, obwohl H 1 wahr ist (false acceptance, -Fehler) # 15

16 Einschub: Inferenzstatistik 3. Festlegung einer Prüfgröße (z.b. t-test) und damit gleichzeitig deren Verteilung (z.b. Normalverteilung, t-verteilung, etc.) Entscheidung für eine bestimmte Prüfgröße, je nach: Skalenniveau der abhängigen Variablen Art der Stichprobe (abhängig/unabhängig) Anzahl der Ausprägungen der unabhängigen Variable 4. Berechnung der Prüfgröße Dann: Vergleich mit dem kritischen Wert des Tests (d.h. liegt die berechnete Prüfgröße im Ablehnungsbereich?) Anschließend: Entscheidung über die Verwerfung der H 0. # 16

17 Einschub: Inferenzstatistik Erklärung anhand des Binomialtests Weicht die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses von einem Testwert (gegebene Wahrscheinlichkeit) ab? H 0 : keine Abweichung H 1 : Abweichung Beispiel: Münzwurf Ist die Münze fair, d.h. beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 0,5? # 17

18 Einschub: Inferenzstatistik 1 K KKKKK 2 Z K KKKK 3 K Z K K K K 4 K K Z K K K 5 K K K Z K K 6 K K K K Z K 7 K KKKKZ 8 Z Z K K K K 9 Z K Z K K K 10 Z K K Z K K 11 Z K K K Z K /64 15/64 20/64 15/64 6/64 12 ZK KKKZ 13 K Z Z K K K 14 K Z K Z K K 63 K Z ZZZZ 64 Z ZZZZZ /64 0 mal Zahl 1 mal Zahl 2 mal Zahl 3 mal Zahl 4 mal Zahl 5 mal Zahl 1/64 6 mal Zahl # 18

19 Einschub: Inferenzstatistik Teststatistik: Diese ergibt sich aus der Häufigkeit mit der Zahl bei allen n Münzwürfen beobachtet wurde. für Ablehnbereich: Bei einem zweiseitigen Test besteht der Ablehnbereich aus den Ereignissen, bei welchen Zahl zu selten oder zu häufig auftritt, um die H 0 beizubehalten. Der untere kritische Wert ist dasjenige Ereignis, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl seltener oder genauso oft beobachtet wird, kleiner als das Signifikanzniveau ist. Der obere kritische Wert ist dasjenige Ereignis, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl häufiger oder genauso oft beobachtet wird, kleiner als das Signifikanzniveau ist. Wird also ein Ereignis beobachtet das kleiner als der untere kritische Wert (hier 0 mal Zahl) oder größer als der obere kritische Wert (hier 6 mal Zahl) ist, so wird die Nullhypothese abgelehnt. # 19

20 Einschub: Inferenzstatistik Was Signifikanztests NICHT leisten können: Aussagen über die Stärke des Zusammenhangs Aussagen über die theoretische Wichtigkeit eines Effekts Beweise über die tatsächliche Existenz eines Effekts (man kann lediglich mit einer bestimmten Irrtumswahrscheinlichkeit auf die Grundgesamtheit schließen). # 20

21 Kontingenztabellen mit SPSS 1. Vorbereiten der Variablen Hypothese: Männer trinken häufiger Bier als Frauen. Was ist die unabhängige und abhängige Variable? UV: Geschlecht; AV: Häufigkeit des Biertrinkens. Wie sieht die Verteilung der abhängigen Variable aus? fre v23_1. # 21

22 Kontingenztabellen mit SPSS 1. Vorbereiten der Variablen Wie ist die Variable Geschlecht verteilt? fre v55. Die 86 Fälle mit Keine Angabe (Ausprägung -77 in Variablev55) sollen unberücksichtigt bleiben. # 22

23 Zwei Möglichkeiten: temp. select if v55 NE -77. fre v55. Kontingenztabellen mit SPSS 1. Vorbereiten der Variablen not equal: ungleich Sehr umständlich, den temp-select-befehl vor jeden Befehl zu setzen missing values v55 (9). fre v55. Elegantere Variante: Der Befehl muss nur einmal ausgeführt werden. Die Werte sind dauerhaft als Fehlend klassifiziert. # 23

24 Kontingenztabellen mit SPSS 2. Berechnung der Kreuztabelle Syntax für Kreuztabelle (absolute, bedingte und erwartete Häufigkeiten) crosstabs /tables = AV by UV /cells count column expected. Befehl: Kürzer: crosstabs /tables = v23_1 by v55/cells=count column expected. crosstabs v23_1 by v55/cells count col exp. # 24

25 Kontingenztabellen mit SPSS 3. Chi²-Unabhängigkeitstest 3. Durchführung eines ²-Tests crosstabs /tables= AV by UV /stats chisq. Befehl:crosstabs /tables = v23_1 by v55/cells count exp /stats chisq. # 25

26 Kontingenztabellen mit SPSS 3. Chi²-Unabhängigkeitstest Eigenschaften der ²-Teststatistik: ²-Wert ist immer positiv, daher ist mit ²-Wert allein keine Interpretation über die Richtung des Zusammenhangs möglich Konkreter ²-Wert hängt auch von Tabellen- und Stichprobengröße ab. Also: primäre Orientierung am p-wert! Von SPSS zusätzlich ausgegebene Chi-Quadrat-Statistiken interessieren uns (jetzt noch) nicht. # 26

27 Befehlsübersicht zur heutigen Sitzung 1. temporary sel if 2. crosstabs /tables = /cells 3. crosstabs /tables = /stats chisq. 4. missing values... (). # 27

28 Literatur Wittenberg/Cramer (2003): Datenanalyse mit SPSS für Windows. Stuttgart: UTB. Kap und Jann (2005): Einführung in die Statistik. München: Oldenbourg. S , 121f. Pigeot/Tutz/Fahrmeier (2007): Statistik. Berlin: Springer. Kap Tobias Wolbring # 28

29 Übungsaufgabe Prüfen Sie folgende Hypothesen im Hinblick auf den Konsum von Obst (v21_1): H1: Wenn jemand raucht (v24), dann isst er weniger Obst als jemand, der nicht raucht. Reduzieren Sie hierfür zunächst die Variable Obstessen (v21_1) auf drei geeignete Kategorien und die Variable zum Rauchen (v24) auf zwei geeignete Kategorien. Schließen Sie zudem bei der Variable obst unplausible Werte aus. H2: Je häufiger jemand Sport treibt (v18), desto häufiger isst er Obst. Reduzieren Sie hierfür zunächst die Variable Sporttreiben (v18) auf drei geeignete Kategorien und verwenden die vorher generierte Variable obst. Erstellen Sie für jede Hypothese eine Kreuztabelle mit absoluten, relativen und erwarteten Häufigkeiten. Führen Sie jeweils einen ²-Test durch und interpretieren Sie Ihre Befunde. # 29

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