Software oder Tabellen (nicht Thema dieser Veranstaltung).
|
|
|
- Nadja Fiedler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 p-wert p-wert Der p-wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße den beobachteten Wert oder einen noch extremeren Wert (,,weiter weg von H 0 ) annimmt unter der Bedingung, dass H 0 wahr ist. Bemerkungen 1 Für die Berechnung der p-werte benötigt man eine Statistik- Software oder Tabellen (nicht Thema dieser Veranstaltung). 2 Viele Statistik-Programme geben als Ergebnis eines statistischen Tests nur den p-wert aus. p-wert und Signifikanzniveau Die Nullhypothese wird genau dann abgelehnt, wenn der p-wert kleiner oder gleich α ist. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 411 / 456
2 p-wert: Interpretation Wahrscheinlichkeit betrifft das Auftreten der Daten und nicht die Wahrscheinlichkeit von H 0 p-wert ist kein Maß für die Stärke des Effekts. Daher sollten Begriffe wie hochsignifikantëher vermieden werden. Angabe des p-wertes immer mit Schätzung des Effekts und Konfidenzintervall Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 412 / 456
3 p-wert: Ein- und zweiseitige Test In vielen Fällen halbiert sich der p-wert bei einseitiger Fragestellung. Beispiel. Binomialtest 10 Experimente T Anzahl Treffer. Ergebnis: T =9 zweiseitiger Test: H 0 : π = 0.5 gegen H 1 : π 0.5. Extrem oder gleich extreme Werte von T :9,10,1,0 p-wert = P H0 (T {9, 10, 0, 1}) = = einseitiger Test: H 0 : π 0.5 gegen H 1 : π > 0.5 Extrem oder gleich extreme Werte von T :9, 10 p-wert = P H0 (T {9, 10}) = 0.11 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 413 / 456
4 Test auf den Erwartungswert Wir interessieren uns für den Erwartungswert µ einer metrischen Zufallsgröße. Beispiele: Alter, Einkommen, Körpergröße, Scorewert... Wir können einseitige oder zweiseitige Hypothesen formulieren. Beispiele Vor 10 Jahren betrug die Durchschnittsgröße von Studienanfängern und -anfängerinnen 167 cm. Heute sind sie im Schnitt größer als 167 cm. Die Differenz zwischen Gewicht vor und nach einer Diät ist 0. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 414 / 456
5 Zweiseitiger Gauss-Test auf den Erwartungswert µ X Zufallsgröße mit Erwartungwert µ. Zweiseitige Hypothese über µ: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Testgröße: Mittelwert in der Stichprobe X 1,..., X n : n X = 1 n i=1 X i Stichprobenumfang n ist genügend groß (Faustregel n > 30) Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 415 / 456
6 Zweiseitiger Gauss-Test auf den Erwartungswert µ Testentscheidung zum Signifikanzniveau α Annahmebereich S 2 mit S 2 = µ 0 ± z 1 α 2 1 n 1 n n ( Xi X ) 2 i=1 H 0 wird abgelehnt, falls X < µ 0 z 1 α 2 S 2 n oder X > µ 0 + z 1 α 2 S 2 z 1 α 2 ist das (1 α/2)-quantil der Standardnormalverteilung. n Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 416 / 456
7 Beispiel: Verändert sich der Blutdruck nach einer Intervention Beispiel zweiseitiger Test Nullhypothese: Die Blutdruckdifferenz ist 0. H 0 : µ = 0 H 1 : µ 0 Testgröße: Durchschnittliche Bluddruck Faustregel n = 62 > 30 ist erfüllt zweiseitiger Gauß-Test Falls wir annehmen, dass die Blutdruckdifferenz normalverteilt ist, können wir auch den zweiseitigen t-test anwenden. (Standardeinstellung in SPSS) Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 417 / 456
8 Dualität Test und Konfidenzintervall Annahmebereich: Wir behalten H 0 bei, falls die Testgröße T in der Nähe von µ 0 liegt: Äquivalente Formulierung über ein Konfidenzintervall: Wir behalten H 0 bei, falls µ 0 in der Nähe der Testgröße liegt Wir behalten H 0 bei, falls µ0 im Konfidenzintervall für die Differenz liegt Dies gilt sehr allgemein für zweiseitige Test und Konfidenzintervalle Dies Prinzip kann zur Konstruktion von Konfidenzintervallen verwendet werden Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 418 / 456
9 Einseitiger Gauss-Test auf den Erwartungswert µ X Zufallsgröße mit Erwartungwert µ. Einseitige Hypothese über µ: H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 Testgröße: Mittelwert in der Stichprobe X 1,..., X n : n X = 1 n i=1 X i Stichprobenumfang n ist genügend groß (Faustregel n > 30) Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 419 / 456
10 Einseitiger Gauss-Test auf den Erwartungswert µ Testentscheidung zum Signifikanzniveau α Annahmebereich H 0 wird abgelehnt, falls X µ 0 + z 1 α S 2 n X > µ 0 + z 1 α S 2 z 1 α ist das (1 α)-quantil der Standardnormalverteilung. n Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 420 / 456
11 Ein- bzw. zweiseitiger t-test auf den Erwartungswert Was tun wir, falls die Faustregel n > 30 nicht erfüllt ist? Zusätzliche Voraussetzung Zufallsgröße X ist normalverteilt. Wir stellen keine Bedinung an die Stichprobengröße n. t-test Der einseitige bzw. der zweiseitige t-test auf den Erwartungswert µ hat die gleiche Form wie der einseitige bzw. zweiseitige Gauss-Test. Der t-test unterscheidet sich vom Gauss-Test dadurch, dass wir das Quantil z der Standardnormalverteilung durch das Quantil t der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden ersetzen. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 421 / 456
12 Verbundene und unverbundene Stichprobe Verbundene, abhängige Stichprobe Zwei Stichproben heißen verbunden, falls an einem Merkmalsträger (z.b. einer Person) zwei vergleichbare Merkmale erhoben werden. Man nennt verbundene Stichproben oft auch abhängige Stichproben. Beispiel: Das Ziel einer medizinischen Studie ist es, die Wirkung eines cholesterin-senkenden Medikaments zu überprüfen. Unterteilung der Probanden und Probandinnen in 2 Gruppen: 1 Gruppe erhält das Medikament, 1 Gruppe erhält ein Placebo. unverbundene Stichprobe Alle Probanden und Probandinnen erhalten das Medikament. Von allen Personen wird der Cholesterinspiegel am Anfang und am Ende der Studie erhoben. verbundene Stichprobe Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 422 / 456
13 Approximativer Test auf Erwartungswert-Differenz bei unabhängigen Stichproben Voraussetzungen: X und Y sind zwei Größen mit Erwartungswerten µ X und µ Y X 1,..., X m und Y 1,..., Y n unabhängige Stichproben Testgröße: standadisierte Differenz der Mittelwerte T = X Y = 1 m X i 1 m n i=1 n i=1 Y i Faustregel: Stichprobenumfänge m, n > 30 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 423 / 456
14 Differenz von Erwartungswerten bei unabhängigen Stichproben Annahmebereich Für die beiden einseitigen Tests und den zweiseitigen Test auf die Differenz H 0 : µ X µ Y = d 0 H 0 : µ X µ Y d 0 H 0 : µ X µ Y d 0 H 1 : µ X µ Y d 0 H 1 : µ X µ Y > d 0 H 1 : µ X µ Y < d 0 ist der Annahmebereich mit d 0 ± z 1 α 2 s ], d 0 + z 1 α s] [d 0 z 1 α s, [ s = s 2 X m + s2 Y n Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 424 / 456
15 Beispiel: Radio-Hördauer Ost-West Hören Personen in den alten Bundesländern im Schnitt mehr Radio? X : Hördauer im den alten Bundesländern, Y : Radiodauer in den neuen Bundesländern H 0 : µ X µ Y 0 H 1 : µ X µ Y > 0 Befragung unter 253 Personen aus den alten Bundesländern und 932 Personen aus den neuen Bundesländern unverbundene Stichproben X 1,..., X 253 und Y 1,..., Y 932 Stichprobengrößen m = 253, n = 932 > 30 Durchschnittliche Hördauer: 11, 4 h (Standardabweichung 8, 4 h) in den alten Bundesländern 9, 5 h (Standardabweichung 8, 4 h) in den neuen Bundesländern Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 425 / 456
16 Beispiel: Radio-Hördauer Ost-West Signifikanzniveau: α = 0, 1 Differenz der Radio-Hördauer X Y = 11, 4 9, 5 = 1, 9 Annahmebereich s 2 X Y z 1 α X m + s2 Y n 8, 4 2 8, 42 = z 0, , 28 0, 65 0, 83 H 0 wird abgelehnt, Personen aus den alten Bundesländern hören signifikant länger Radio. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 426 / 456
17 Doppelter t-test auf die Erwartungswertdifferenz bei unabhängigen Stichproben Voraussetzungen: X und Y sind zwei Größen mit Erwartungswerten µ X und µ Y X 1,..., X m und Y 1,..., Y n unabhängige Stichproben Testgröße: Differenz der Mittelwerte T = X Y = 1 m X i 1 m n i=1 n i=1 Y i X und Y sind normalverteilt. Die Varianzen sind gleich σ 2 X = σ2 Y Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 427 / 456
18 Doppelter t-test auf die Erwartungswertdifferenz bei unabhängigen Stichproben Annahmebereich Für die beiden einseitigen t-tests und den zweiseitigen t-test auf die Differenz H 0 : µ X µ Y = d 0 H 0 : µ X µ Y d 0 H 0 : µ X µ Y d 0 H 1 : µ X µ Y d 0 H 1 : µ X µ Y > d 0 H 1 : µ X µ Y < d 0 ist der Annahmebereich d 0 ± t (m+n 2;1 α 2 )s d mit ], d 0 + t (m+n 2;1 α) s d ] [d 0 t (m+n 2;1 α) s d, [ s d = 1 s X,Y m + 1 n sx 2,Y = 1 ( (m 1)S 2 m + n 2 X + (n 1)SY 2 ) t (m+n 2;1 α 2 ) und t (m+n 2;1 α) sind die Quantile der t-verteilung mit m + n 2 Freiheitsgraden. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 428 / 456
19 Tests auf Erwartungswertdifferenz bei abhängigen Stichproben 1 Gegeben ist eine verbundene Stichprobe X 1,..., X n und Y 1,..., Y n 2 Bilde die Differenz W i = X i Y i i = 1,..., n 3 Führe einen Test auf den Erwartungswert von W durch n > 30 Gauß-Test W normalverteilt t-test Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 429 / 456
20 Differenz von Anteilen bei unabhängigen Stichproben Voraussetzungen: X und Y sind zwei Bernoulli-Größen mit p X = P(X = 1) p Y = P(Y = 1) X 1,..., X m und Y 1,..., Y n unabhängige Stichproben Testgröße: Differenz der Anteile T = R X R Y = 1 m X i 1 m n i=1 n i=1 Y i Faustregel: Stichprobenumfänge m, n > 30 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 430 / 456
21 Differenz von Anteilen bei unabhängigen Stichproben Annahmebereich Für die beiden einseitigen Tests und den zweiseitigen Test auf die Differenz H 0 : p X p Y = 0 H 0 : p X p Y 0 H 0 : p X p Y 0 H 1 : p X p Y 0 H 1 : p X p Y > 0 H 1 : p X p Y < 0 ist der Annahmebereich [ z 1 α s 2 r ; z 1 α s 2 r ] ], z 1 α s r ] [ z 1 α s r, [ mit s r = r(1 r) ( 1 m + 1 ) und r = m r X + n r Y n m + n Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 431 / 456
22 Beispiel: Ist Fernsehen informativ? Weiterführung des Beispiels aus dem Thema,,Schätzen Beurteilen Personen aus den alten Bundesländern den Informationsgehalt im Fernsehen anders als Personen aus den neuen Bundesländern? zweiseitiger Test X : Person aus den alten Bundesländern hält Fernsehen für informativ Y : Person aus den neuen Bundesländern hält Fernsehen für informativ Signifikanzniveau: α = 0, 05 Umfrage: 253 Personen aus den alten Bundesländern, 932 Personen aus den neuen Bundesländern:,,Halten Sie Fernsehen für informativ? Ja/Nein unverbundene Stichproben X 1,..., X 253 und Y 1,..., Y 932 Stichprobengrößen m = 253, n = 932 > 30 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 432 / 456
23 Beispiel: Ist Fernsehen informativ? alte Bundesländer: 206 Personen halten Fernsehen für informativ neue Bundesländer: 747 Personen halten Fernsehen für informativ Anteile R X = , 81 und R Y = 747 0, Standardfehler r = m r X + n r Y 253 0, , 8 = m + n , 53 = 0, r(1 r)( 1m + 1n ) = s r = 0, 03 0, 802 (1 0, 802) ( ) 253 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 433 / 456
24 Beispiel: Ist Fernsehen informativ? Annahmebereich ±z 1 α 2 r ±z 0,975 0, 03 ±1, 96 0, 03 ±0.059 Differenz der Anteile in der Stichprobe R X R Y 0, 81 0, 8 = 0, 01 H 0 wird beibehalten, der Unterschied zwischen alten und neuen Bundesländern ist nicht signifikant Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 434 / 456
25 Differenz von Anteilen bei abhängigen Stichproben Voraussetzungen: X und Y sind zwei Bernoulli-Größen mit p X = P(X = 1) p Y = P(Y = 1) (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) abhängige, verbundene Stichproben Absolute Haufigkeiten werden in einer Kontingenztafel festgehalten Verwende Test von McNemar Y=0 Y=1 X=0 n 11 n 12 X=1 n 21 n 22 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 435 / 456
26 Zusammenhang zwischen 2 kategorialen Merkmalen Sind zwei kategoriale Merkmale unabhängig? Beispiele Gibt es einen Zusammenhang zwischen besuchter Schule (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) und Fernsehkonsum (hoch/niedrig)? Gibt es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht (m/w) und der Affinität zu Fußball (Fan/kein Fan)?... empirische Untersuchung mittels Kontingenztafeln und Kennzahlen Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 436 / 456
27 Randverteilungen Die zu den einzelnen Merkmalen gehörigen empirischen Häufigkeitsverteilungen heißen Randverteilungen oder marginale Verteilungen. Randverteilung Geschlecht m w Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Randverteilung Fußballfan ja nein Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 437 / 456
28 Bedingte Verteilung Unter der bedingten Verteilung von X gegeben Y = B j versteht man die Verteilung von X in der Teilgesamtheit der Untersuchungseinheiten, die die Ausprägung B j des Merkmals Y aufweisen. Verteilung Fußballfan bei Männern ja nein Ges % 10% 100% Verteilung Geschlecht bei Fußballfans m w Ges % 21% 100% Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 438 / 456
29 Empirische Unabhängigkeit Falls die beiden Merkmale unabhängig voneinander sind, so sollte Formel:,,relative Häufigkeit Fußballfan,,relative Häufigkeit Fußballfans unter Frauen,,relative Häufigkeit Fußballfans unter Männern bedingte relative Häufigkeit n ij = n i n j n Daraus folgt e ij := n i n j n ist die unter Unabhängigkeit erwartete Anzahl. Falls die Merkmale unabhängig sind, sollte gelten: e ij n ij relative Randhäufigkeit Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 439 / 456
30 χ 2 -Unabhängigkeitstest zwei Zufallsgrößen X und Y mit k bzw. l Ausprägungen p ij = P(X = i, Y = j) p i = P(X = i) p j = P(Y = j) Hypothesen H 0 : X und Y sind stochastisch unabhängig p ij = p i p j für alle i = 1,..., k, j = 1,..., l H 1 : X und Y sind stochastisch abhängig p ij p i p j für mindestens eine ij-kombination Prüfgröße χ 2 = k l (n ij e ij ) 2 e ij i=1 j=1 Faustregel n ij 5 für alle i, j Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 440 / 456
31 χ 2 -Unabhängigkeitstest Annahmebereich Für den χ 2 -Unabhängigkeitstest ist der Annahmebereich χ 2 q 1 α, (k 1)(l 1) Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls χ 2 > q 1 α, (k 1)(l 1) Dabei ist q 1 α, (k 1)(l 1) das (1 α)-quantil der χ 2 -Verteilung mit (k 1) (l 1) Freiheitsgraden. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 441 / 456
32 Erinnerung: Dichte der χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden Dichte der Chi2 Verteilung f(x) n=4 n=10 n= x Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 442 / 456
33 Beispiel e ij = n i n j n Erwartete Besetzungszahlen bei Unabhängigkeit ja (j=1) nein (j=2) m (i=1) w (i=2) χ 2 = k l (n ij e ij ) 2 e ij i=1 j=1 (87 71) , 09 (10 26) (23 39) (31 15)2 15 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 443 / 456
34 Beispiel Signifikanzniveau: α = 0.01 Faustregel gültig? Besetzungszahlen n ij 5 Bestimmung der Freiheitsgrade: k = l = 2 Freiheitsgrade = (k 1) (l 1) = (2 1) (2 1) = 1 q ; (2 1)(2 1) = q 0.09; 1 6, 63 H 0 wird abgelehnt Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 444 / 456
35 Unabhängigkeit und Differenz von Anteilen Die beide Fragen: Gibt es Unterschiede in den Anteilen von Y=1 zweier Gruppen? Gibt es einen Zusammenhang zwischen Gruppen Zugehörigkeit und einem binären Binären Merkmal Y? sind äquivalent. Die beiden Testprozeduren Gauss Test für Differenzen von Anteilen und χ 2 -Unabhängigkeitstest führen zum gleichen Ergebnis. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 445 / 456
36 Nichtparametrische Tests Bis auf den χ 2 -Unabhängigkeits-Test bauen alle Tests auf der (zumindestens approximativen Gültigkeit der) Normalverteilungsannahme auf. Problematisch, z.b. bei kleinen Stichprobenumfängen (z.b. in der Vorbereitung von strukturierten Beobachtungen, bei nicht reaktiven Verfahren oder in der Psychologie und Medizin) oder bei ordinalen Daten mit wenigen unterschiedlichen Ausprägungen. Hier kann die unreflektierte Anwendung der Standardtests zu Fehlergebnissen führen. Ein wichtiger Ausweg: nichtparametrische Tests = Verteilungsfreie Verfahren Hier wird die Information in den Beobachtungen auf Ränge, bzw. größer/kleiner Vergleiche reduziert. Bekannteste Beispiele: Wilcoxon-Test, Vorzeichentest. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 446 / 456
37 Der Wilcoxon test für unabhängige Stichproben Voraussetzungen: X und Y sind zwei Größen mit Medianen med X und med Y X 1,..., X m und Y 1,..., Y n unabhängige Stichproben H 0 : med X = med Y vs. H 1 : med X med Y Grundidee: Betrachte die Ränge aus allen Beobachtungen X i undy j und bezeichne diese mit rg(x i ) und rg(y j ), z.b. X 1 = 3, X 2 = 5, Y 1 = 6, Y 2 = 1, Y 3 = 4 rg(x 1 ) = 2, rg(x 2 ) = 4, rg(y 1 ) = 5, rg(y 2 ) = 1, rg(y 3 ) = 3 Testgröße: T = i=1 X i Die exakte Verteilung von T kann berechnet werden. Für hinreichend große n und m kann sie durch eine NV approximiert werden. Ablehnung von H 0 falls große und kleine T. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 447 / 456
38 Multiple Testprobleme: Gegeben sei ein rein zufälliger Datensatz mit 50 Variablen ohne irgendeinen Zusammenhang. Man testet alle Variablenpaare auf einen Zusammenhang 1225 Tests. Bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% gilt für die Anzahl fälschlich verworfener Nullhypothesen X B(1225, 0.05) und somit E(X ) = 61, 25. Im Durchschnitt wird also mehr als 61 mal die Nullhypothese, dass kein Zusammenhang besteht, verworfen. wenige, sinnvolle Hypothesen vorher inhaltlich überlegen. In den Daten entdeckte Zusammenhänge als statistisch signifikant nachzuweisen, ist (fast) zirkulär. Es gibt Ansätze, wie man bei großen Hypothesensystemen diesem Problem entkommt. Theorie des multiplen Testens. Z.B. Adjustierung des Irrtumswahrscheinlichkeit: Statt α betrachte man α/(anzahl der Tests). Diese spezielle Korrektur ist aber meist überkonservativ und kann durch bessere Korrekturen ersetzt werden. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 448 / 456
39 Bestimmung des Stichprobenumfangs Bestimmung mit Obergrenze für Fehler 2. Art (β-fehler) β = P(Nullhypothese wird nicht abgelehnt H 1 wahr) 1-β wird auch als Power bezeichnet üblicher Wert Power= 0.8 bzw β = 0.2 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 449 / 456
40 Fehler 2. Art im Binomialtest Interessante Größen H 0 : π = 0.5 versus H 1 : π > 0.5 β: P(H 0 wird beibehalten H 1 ) π w : wahre Erfolgswahrscheinlichkeit Numerische Werte für n=10 und c=7 π w = 0.6 und β = 0.95 π w = 0.7 und β = 0.85 π w = 0.8 und β = 0.62 Numerische Werte für n=20 und c=13 π w = 0.6 und β = 0.87 π w = 0.7 und β = 0.58 π w = 0.8 und β = 0.02 Numerische Werte für n=100 und c=57 π w = 0.6 und β = 0.37 π w = 0.7 und β = π w = 0.8 und β < Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 450 / 456
41 Fehler 2. Art im Beispiel des Binomialtests Fehler 2. Art sinkt hier mit: Wachsender wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit (π > 0.5) Wachsendem Stichprobenumfang Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 451 / 456
42 Stichprobenumfangsbestimmung Festlegen von: α, β, Effektgröße π w Beispiel: π w = 0.7 n = 20 n = 100 β = 0.58 zu klein β = 0.07 zu groß Wähle kleinstes n mit: β 0.2 Hier: n = 37, β = 0.19 n = 36, β = 0.26 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 452 / 456
43 Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-test Vergleich zweier Gruppen Zielgröße: Y Relevanter Unterschied: d Annahme zur Streuung σ Signifikanzniveau: α = 0.05 Fehler 2.Art: β = 0.2 Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 453 / 456
44 Stichprobenumfang beim t- Test Einige Werte für Stichprobenumfang unter α = 0.05, β = 0.2 (zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-test) Beachte: Es kommt nur auf das Verhältnis d/σ (Effektstärke) an. d/σ n 1 = n Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 454 / 456
45 Zusammenfassung Tests Statistischer Test Ein statistischer Test ist eine Untersuchung, ob man eine Hypothese über die Grundgesamtheit mit Hilfe einer Stichprobe widerlegen kann Wichtige Tests einseitige Tests zweiseitiger Test Tests auf Anteile, Erwartungswerte und deren Differenzen eine Stichprobe zwei Stichproben verbunden oder unverbunden Test auf Unabhängigkeit: χ 2 -Unabhängigkeitstest Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 455 / 456
46 Interpretation eines Tests Statistische Signifikanz bedeutet: Das Ergebnis ist nicht durch Zufall erklärbar. Statistische Signifikanz bedeutet nicht unbedingt, dass der Unterschied relevant ist. Daher immer die Größe des Effekts (Schätzung) angeben! Ein statistischer Test liefert aber allein noch keinen kausalen Zusammenhang. Bei nicht signifikantem Ergebnis immer Konfidenzintervalle der entsprechenden Parameter angeben. Sie geben eine Idee, wie groß der nicht nachgewiesene Effekt sein könnte. Statistik II SoSe 2012 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 456 / 456
Test auf den Erwartungswert
Test auf den Erwartungswert Wir interessieren uns für den Erwartungswert µ einer metrischen Zufallsgröße. Beispiele: Alter, Einkommen, Körpergröße, Scorewert... Wir können einseitige oder zweiseitige Hypothesen
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung.
0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung 5 Hypothesentests Grundprinzipien statistischer Hypothesentests Aufbau eines
Klassifikation von Signifikanztests
Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
2.4.3 Typische Tests I: Tests auf Lageparameter Hier werden exemplarisch nur wenige, ausgewählte Test, die typisch sind, besprochen. Das Grundprinzip ist bei anderen Tests analog. Aufgabe: Konstruiere
Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen
Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte
Statistische Tests für unbekannte Parameter
Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung
Statistische Tests für unbekannte Parameter
Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung
Statistisches Testen
Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall
5. Seminar Statistik
Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2
3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)
3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung
Statistische Tests (Signifikanztests)
Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung
0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung Motivation und Hinführung Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 009 war genau
Klassifikation von Signifikanztests
Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen
2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht
43 Signifikanztests Beispiel zum Gauß-Test Bei einer Serienfertigung eines bestimmten Typs von Messgeräten werden vor der Auslieferung eines jeden Gerätes 10 Kontrollmessungen durchgeführt um festzustellen,
Klassifikation von Signifikanztests
Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen
Wahrscheinlichkeit 1-α: richtige Entscheidung - wahrer Sachverhalt stimmt mit Testergebnis überein. Wahrscheinlichkeit α: falsche Entscheidung -
wahrer Sachverhalt: Palette ist gut Palette ist schlecht Entscheidung des Tests: T K; Annehmen von H0 ("gute Palette") positive T > K; Ablehnen von H0 ("schlechte Palette") negative Wahrscheinlichkeit
2.4 Hypothesentests Grundprinzipien statistischer Hypothesentests; Motivationsbeispiel
2.4.1 Grundprinzipien statistischer Hypothesentests; Motivationsbeispiel Hypothese: Behauptung einer Tatsache, deren Überprüfung noch aussteht (Leutner in: Endruweit, Trommsdorff: Wörterbuch der Soziologie,
T-Test für den Zweistichprobenfall
T-Test für den Zweistichprobenfall t-test (unbekannte, gleiche Varianzen) Test auf Lageunterschied zweier normalverteilter Grundgesamtheiten mit unbekannten, aber gleichen Varianzen durch Vergleich der
Ermitteln Sie auf 2 Dezimalstellen genau die folgenden Kenngrößen der bivariaten Verteilung der Merkmale Weite und Zeit:
1. Welche der folgenden Kenngrößen, Statistiken bzw. Grafiken sind zur Beschreibung der Werteverteilung des Merkmals Konfessionszugehörigkeit sinnvoll einsetzbar? A. Der Modalwert. B. Der Median. C. Das
Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 26. Oktober 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. 11. Vorlesung /2019
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 11. Vorlesung - 2018/2019 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 2 heißt Median. P(X < z
Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert
Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir
Klausur zur Vorlesung
Institut für Mathematische Stochastik WS 2006/2007 Universität Karlsruhe 12. Februar 2007 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Aufgabe 1 (15 Punkte) Klausur zur Vorlesung Statistik für Biologen
Fit for Abi & Study Stochastik
Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen
Einführung in Quantitative Methoden
Einführung in Quantitative Methoden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr 4. Juni 2014 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 1/35 Ein- und Zweiseitige Hypothesen H 0 : p =
Hypothesentests. Hypothese Behauptung eines Sachverhalts, dessen Überprüfung noch aussteht.
Hypothese Behauptung eines Sachverhalts, dessen Überprüfung noch aussteht. Wissenschaftliche Vorgehensweise beim Hypothesentest Forscher formuliert eine Alternativhypothese H 1 (die neue Erkenntnis, die
Bereiche der Statistik
Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden
Grundlagen der schließenden Statistik
Grundlagen der schließenden Statistik Schätzer, Konfidenzintervalle und Tests 1 46 Motivation Daten erhoben (Umfrage, Messwerte) Problem: Bei Wiederholung des Experiments wird man andere Beobachtungen
Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1
Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. Oktober 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version:
4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung
rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals
Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen
A1 Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung Die Tabelle gibt die Werte Φ(z) der Verteilungsfunktion zu vorgegebenem Wert z 0 an; ferner gilt Φ( z)
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung. 5 Hypothesentests.
0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung 5 Hypothesentests 6 Regression Lineare Regressionsmodelle Deskriptive Statistik:
Statistische Überlegungen: Eine kleine Einführung in das 1 x 1
Statistische Überlegungen: Eine kleine Einführung in das 1 x 1 PD Dr. Thomas Friedl Klinik für Frauenheilkunde und Geburtshilfe, Universitätsklinikum Ulm München, 23.11.2012 Inhaltsübersicht Allgemeine
Klassifikation von Signifikanztests
Klassifikation von Signifikanztests Nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängig: parametrischer [parametric] Test verteilungsunabhängig: nichtparametrischer [non-parametric] Test Bei parametrischen Tests
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
10. Vorlesung - 017 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 heißt Median. P(X < z α ) α P(X z α ). Falls X stetige zufällige Variable
Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen
Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +
Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen
Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +
1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsräume. Ein erster mathematischer Blick auf Zufallsexperimente...
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume Ein erster mathematischer Blick auf Zufallsexperimente.......... 1 1.1.1 Wahrscheinlichkeit, Ergebnisraum,
Methode des statistischen Testens
1 Methode des statistischen Testens Fragestellung Zielgröße (Impfbeispiel: Impferfolg ja / nein) Alternativhypothese Negation Nullhypothese H 0 Wähle Teststatistik = Zusammenfassung der Studienergebnisse
Lösungen zu den Übungsaufgaben in Kapitel 10
Lösungen zu den Übungsaufgaben in Kapitel 10 (1) In einer Stichprobe mit n = 10 Personen werden für X folgende Werte beobachtet: {9; 96; 96; 106; 11; 114; 114; 118; 13; 14}. Sie gehen davon aus, dass Mittelwert
Mathematische und statistische Methoden II
Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-06) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike
Schließende Statistik
Schließende Statistik Die schließende Statistik befasst sich mit dem Rückschluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population). Die Stichprobe muss repräsentativ für die Grundgesamtheit sein.
Wichtige Definitionen und Aussagen
Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge
Statistik II: Signifikanztests /1
Medien Institut : Signifikanztests /1 Dr. Andreas Vlašić Medien Institut (0621) 52 67 44 vlasic@medien-institut.de Gliederung 1. Noch einmal: Grundlagen des Signifikanztests 2. Der chi 2 -Test 3. Der t-test
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 017 4 Spezielle Zufallsgrößen Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition
Macht des statistischen Tests (power)
Macht des statistischen Tests (power) Realer Treatment ja Ergebnis der Studie H 0 verworfen statistisch signifikant O.K. Macht H 0 beibehalten statistisch nicht signifikant -Fehler Effekt nein -Fehler
STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Kapitel 15 Statistische Testverfahren 15.1. Arten statistischer Test Klassifikation von Stichproben-Tests Einstichproben-Test Zweistichproben-Test - nach der Anzahl der Stichproben - in Abhängigkeit von
Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe
Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung
11 Statistisches Testen
11 Statistisches Testen 693 11 Statistisches Testen 11.1 Was versteht man unter einem Test? 696 11.1.1 Einführende Beispiele 696 11.1.2 Grundstruktur und Durchführung 712 11.2 Wichtige Aspekte beim Testen
Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien
Deskription, Statistische Testverfahren und Regression Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: beschreibende Statistik, empirische
GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens
Fragestellungen beim Testen GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens. Vergleiche Unterscheidet sich die Stichprobenbeobachtung von einer vorher spezifizierten Erwartung ( Hypothese ) mit ausreichender Sicherheit?
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,
Aufgabenblock 4. Da Körpergröße normalverteilt ist, erhalten wir aus der Tabelle der t-verteilung bei df = 19 und α = 0.05 den Wert t 19,97.
Aufgabenblock 4 Aufgabe ) Da s = 8. cm nur eine Schätzung für die Streuung der Population ist, müssen wir den geschätzten Standardfehler verwenden. Dieser berechnet sich als n s s 8. ˆ = = =.88. ( n )
Beispiel für Gütefunktionen Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = 0.10
6 Hypothesentests Gauß-Test für den Mittelwert bei bekannter Varianz 6.3 Beispiel für Gütefunktionen Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = 0.10 G(µ) 0 α 0. 0.4 0.6 0.8 1 n = 10 n =
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung
Lösungen zum Aufgabenblatt 14
Lösungen zum Aufgabenblatt 14 61. Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) sei zufallsabhängig und werde durch eine normalverteilte Zufallsgröße X N(µ, 2 ) beschrieben, deren Varianz 2 = 49 g 2 bekannt
Kapitel 3 Schließende Statistik
Beispiel 3.4: (Fortsetzung Bsp. 3.) bekannt: 65 i=1 X i = 6, also ˆp = X = 6 65 = 0, 4 Überprüfen der Voraussetzungen: (1) n = 65 30 () n ˆp = 6 10 (3) n (1 ˆp) = 39 10 Dr. Karsten Webel 194 Beispiel 3.4:
Parameterfreie Tests. ²- Unabhängigkeitstest Test auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen
Parameterfreie Tests ²- Unabhängigkeitstest Test auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen ²- Anpassungstest Test auf Vorliegen einer bestimmten Verteilung Binomialtest Vergleich von unbekannten Anteilen
Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1
Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1 Aufgabe 1: Wieviele der folgenden Variablen sind quantitativ stetig? Schulnoten, Familienstand, Religion, Steuerklasse, Alter, Reaktionszeit, Fahrzeit,
So berechnen Sie einen Schätzer für einen Punkt
htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: SCHÄTZEN UND TESTEN htw saar 2 Schätzen: Einführung Ziel der Statistik ist es, aus den Beobachtungen eines Merkmales in einer Stichprobe Rückschlüsse über die Verteilung
Modul 141 Statistik. 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests
Modul 141 Statistik 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests Inhalt der 11. Sitzung 1. Parametrische Signifikanztests 2. Formulierung der Hypothesen 3. Einseitige oder zweiseitige Fragestellung 4. Signifikanzniveau
Statistik Zusätzliche Beispiele SS 2018 Blatt 3: Schließende Statistik
Statistik Zusätzliche Beispiele SS 2018 Blatt 3: Schließende Statistik 1. I Ein Personalchef führt so lange Vorstellungsgespräche durch bis der erste geeignete Bewerber darunter ist und stellt diesen an.
2.4 Hypothesentests Grundprinzipien statistischer Hypothesentests. Hypothese:
2.4.1 Grundprinzipien statistischer Hypothesentests Hypothese: Behauptung einer Tatsache, deren Überprüfung noch aussteht (Leutner in: Endruweit, Trommsdorff: Wörterbuch der Soziologie, 1989). Statistischer
Statistik II. Statistische Tests. Statistik II
Statistik II Statistische Tests Statistik II - 5.5.2006 1 Ausgangslage Wir können Schätzen (z.b. den Erwartungswert) Wir können abschätzen, wie zuverlässig unsere Schätzungen sind: In welchem Intervall
Einführung in Quantitative Methoden
Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Juni 2014 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden 1/46 Anpassungstests allgemein Gegeben: Häufigkeitsverteilung
Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007
Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik Stochastik Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 007 Prof. Dr. F. Liese Dipl.-Math. M. Helwich Serie Termin: 9. Juni 007 Aufgabe 3 Punkte
Bereiche der Statistik
Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden
Grundlagen der Statistik
Grundlagen der Statistik Übung 15 009 FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe
Biomathematik für Mediziner
Institut für Medizinische Biometrie, Informatik und Epidemiologie der Universität Bonn (Direktor: Prof. Dr. Max P. Baur) Biomathematik für Mediziner Klausur SS 2002 Aufgabe 1: Franz Beckenbauer will, dass
k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr
![k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr](/thumbs/52/28946049.jpg "k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr")
Die so genannte Gütefunktion g gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Test die Nullhypothese verwirft. Für unser hier entworfenes Testverfahren gilt ( ) k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p
Empirische Wirtschaftsforschung
Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Universität Leipzig Institut für Empirische Wirtschaftsforschung Volkswirtschaftslehre, insbesondere Ökonometrie 1 4. Basiskonzepte der induktiven
Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz
- 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,
Mathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen
1. Nennen Sie den für das Merkmal X geeigneten Skalentyp und begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 1 150 Personen gaben bei einer Befragung an, wie viel Geld sie in diesem Jahr für Weihnachtsgeschenke ausgegeben haben. Die Ergebnisse der Befragung sind in nachfolgender Tabelle zusammengefasst,
Forschungsstatistik I
Psychologie Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, TB II R. 06-206 (Persike) R. 06-321 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/
Testen von Hypothesen:
Testen von Hypothesen: Ein Beispiel: Eine Firma produziert Reifen. In der Entwicklungsabteilung wurde ein neues Modell entwickelt, das wesentlich ruhiger läuft. Vor der Markteinführung muss aber auch noch
Biostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 : Binomial, Gauß Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 10. Vorlesung: 20.01.2012 1/31 Inhalt 1 Einführung Binomialtest 2/31 Beispiel Einführung Bohnenlieferant liefert
11. Parametrische Tests 11.1 Konzeption von statistischen Tests
11. Parametrische Tests 11.1 Konzeption von statistischen Tests Statistische Tests dienen zur Überprüfung von Hypothesen über die Grundgesamtheit auf der Basis der vorliegenden Beobachtungen einer Stichprobe.
Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften
Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Post Hoc Tests A priori Tests (Kontraste) Nicht-parametrischer Vergleich von Mittelwerten 50 Ergebnis der ANOVA Sprossdichte der Seegräser 40 30 20 10
7. Übung: Aufgabe 1. b), c), e) Aufgabe 2. a), c), e) Aufgabe 3. c), e) Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9.
7. Übung: Aufgabe 1 b), c), e) Aufgabe a), c), e) Aufgabe 3 c), e) Aufgabe 4 b) Aufgabe 5 a) Aufgabe 6 b) Aufgabe 7 e) Aufgabe 8 c) Aufgabe 9 a), c), e) Aufgabe 10 b), d) Aufgabe 11 a) Aufgabe 1 b) Aufgabe
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 6 Genzwertsätze Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation
Prüfung aus Statistik 2 für SoziologInnen
Prüfung aus Statistik 2 für SoziologInnen 11. Oktober 2013 Gesamtpunktezahl =80 Name in Blockbuchstaben: Matrikelnummer: Wissenstest (maximal 16 Punkte) Kreuzen ( ) Sie die jeweils richtige Antwort an.
Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests
ue biostatistik: hypothesen, fehler 1. und. art, power 1/8 h. lettner / physik Hypothesen: Fehler 1. und. Art, Power eines statistischen Tests Die äußerst wichtige Tabelle über die Zusammenhänge zwischen
0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1
Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x
Macht des statistischen Tests (power)
Macht des statistischen Tests (power) Realer Treatment ja Ergebnis der Studie H 0 verworfen statistisch signifikant O.K. Macht H 0 beibehalten statistisch nicht signifikant -Fehler Effekt nein -Fehler
Kapitel 10 Mittelwert-Tests Einstichproben-Mittelwert-Tests 10.2 Zweistichproben Mittelwert-Tests
Kapitel 10 Mittelwert-Tests 10.1 Einstichproben-Mittelwert-Tests 10.2 Zweistichproben Mittelwert-Tests 10.1 Einstichproben- Mittelwert-Tests 10.1.1 Einstichproben- Gauß-Test Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung
Biostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 / Übungsaufgaben Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 13. Vorlesung: 10.02.2012 1/51 Aufgabe 1 Aufgabenstellung Übungsaufgaben Ein Pharmakonzern möchte ein neues Schlankheitsmedikament
Analyse von Kontingenztafeln
Analyse von Kontingenztafeln Mit Hilfe von Kontingenztafeln (Kreuztabellen) kann die Abhängigkeit bzw. die Inhomogenität der Verteilungen kategorialer Merkmale beschrieben, analysiert und getestet werden.
Softwaretechnik. Prof. Dr. Rainer Koschke. Fachbereich Mathematik und Informatik Arbeitsgruppe Softwaretechnik Universität Bremen
Softwaretechnik Prof. Dr. Rainer Koschke Fachbereich Mathematik und Informatik Arbeitsgruppe Softwaretechnik Universität Bremen Wintersemester 2010/11 Überblick I Statistik bei kontrollierten Experimenten
Vorlesung 12a. Kann das Zufall sein? Beispiele von statistischen Tests
Vorlesung 12a Kann das Zufall sein? Beispiele von statistischen Tests 1 Beispiel 1: Passen die Verhältnisse in den Rahmen? Fishers exakter Test (vgl. Buch S. 130/131 2 Sir Ronald Fisher 1890-1962 3 Aus
Mathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Tabellen (leicht gekürzte Version) Hans Walser: Tabellen ii Inhalt Binomische Verteilung.... Binomische Verteilung (ohne
k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/476 c Ernst W. Mayr
![k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/476 c Ernst W. Mayr](/thumbs/93/113855093.jpg "k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/476 c Ernst W. Mayr")
Die so genannte Gütefunktion g gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Test die Nullhypothese verwirft. Für unser hier entworfenes Testverfahren gilt ( ) k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p
KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert
KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert 0. Das eigentliche Forschungsziel ist: Beweis der eigenen Hypothese H 1 Dafür muss Nullhypothese H 0 falsifiziert werden können Achtung!