Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen

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1 A1 Anhang: Statistische Tafeln und Funktionen Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung Die Tabelle gibt die Werte Φ(z) der Verteilungsfunktion zu vorgegebenem Wert z 0 an; ferner gilt Φ( z) = 1 Φ(z). Beispiel: Für z = 0.55 ist Φ(z) =

2 A t-verteilung Die Tabelle gibt die Werte x zu vorgegebenem Wert der Verteilungsfunktion F(x) und Anzahl von Freiheitsgraden FG an. Beispiel: Für FG = 5 Freiheitsgrade und F(x) = 0.95 folgt x =.015.

3 A3 Chi-Quadrat-Verteilung Die Tabelle gibt die Werte x zu vorgegebenem Wert der Verteilungsfunktion F(x) und Anzahl von Freiheitsgraden FG an. Beispiel: Für FG = 5 Freiheitsgrade und F(x) = 0.95 folgt x =

4 A4 Vorzeichentest Die Tabellen enthalten zu vorgegebenen Werten von n und α die kritischen Werte c 1 c für den zweiseitigen bzw. einseitigen Vorzeichentest. Beispiel: Für n = 10 und α = 0,1 verläuft der Annahmebereich beim zweiseitigen Test von bis einschließlich 8, beim einseitigen Test auf Unterschreitung wird ab 3 bzw. bei Test auf Überschreitung bis 7 angenommen.

5 A5 Wilcoxon-Test Die Tabelle enthält zu vorgegebenen Werten von n und α den kritischen Wert c für den (A) zweiseitigen bzw. (B) einseitigen Wilcoxon-Test. Beispiel: Für n = 10 und α = 0,1 verläuft der Annahmebereich beim zweiseitigen Test von 16,5 bis einschließlich 16,5.

6 A6 U-Test von Mann und Whitney Zweiseitiger Test Die Tabellen enthalten zu vorgegebenen Werten von α, n 1 und n den kritischen Wert c für den zweiseitigen U-Test. Beispiel: Für α = 0,1 sowie n 1 = 4 und n = 10 verläuft der Annahmebereich beim zweiseitigen Test von 1,0 bis einschließlich 1,0.

7 A7 U-Test von Mann und Whitney Einseitiger Test Die Tabellen enthalten zu vorgegebenen Werten von α, n 1 und n den kritischen Wert c für den einseitigen U-Test. Beispiel: Für α = 0,1 sowie n 1 = 4 und n = 10 wird beim einseitigen Test auf Unterschreitung wird ab 9,0 bzw. bei Test auf Überschreitung bis 9,0 angenommen.

8 A8 Übersicht Testverfahren Test für Stichproben parametrisch nicht-parametrisch Mittelwert µ Median µɶ Wahrscheinlichkeit p Vergleich von Häufigkeiten Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen 1 Normalverteilungstest X µ 0 n σ Einstichproben-t-Test X µ 0 n S (abhängig) Differenzen-t-Test X n S (unabhängig) Zweistichproben-t-Test i X X (n 1)S (n 1)S n1n (n1 + n ) n + n 1 1 Binomialtest H p0 p (1 p 0 0) n Vorzeichentest D + D + n n Wilcoxon-Test R + n(n+1)/4 R + n(n + 1) / 4 n(n + 1)(n + 1) / 4 Vorzeichentest Wilcoxon-Test s.o. U-Test n 1(n1 + n + 1) R1 R1 n 1(n1 + n + 1) / n n (n + n + 1) / χ -Anpassungstest k (ni n i*) i= 1 n i * (abhängig) t-test χ -Unabhängigkeitstest n (nij n ij*) R 1 R TG = n * i, j ij

9 A9 Einige Statistik-Funktionen in Excel Deskriptive Statistik: ANZAHL(Datenbereich) Umfang einer Stichprobe MITTELWERT(Bereich) Mittelwert VARIANZ(Bereich) (Stichproben)Varianz STABW(Bereich) Standardabweichung MIN(Bereich) Minimum MAX(Bereich) Maximum MEDIAN(Bereich) Median QUANTIL(Bereich; p) p-quantil (0 < p < 1) Verteilungsfunktionen: Binomialverteilung BINOMVERT(k; n; p; 0) Wahrscheinlichkeitsfunktion f(k) = P(X = k) BINOMVERT(k; n; p; 1) Verteilungsfunktion F(x) = P(X k) Normalverteilung NORMVERT(x; µ; σ; 0 bzw. 1) NORMINV(p; µ; σ) STANDNORMVERT(z) STANDNORMINV(p) Dichtefunktion f(x) bzw. Verteilungsfunktion F(x) der Normalverteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ Inverse Verteilungsfunktion (Quantil) F 1 (p) der Normalverteilung mit µ und σ Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung Inverse Verteilungsfunktion (Quantil) Φ 1 (p) der Standardnormalverteilung t-verteilung TVERT(x; FG; 1 bzw. ) Überschreitungswahrscheinlichkeit für die t-verteilung mit FG Freiheitsgraden gemäß P(X > x) (1 einseitig) bzw. P( X > x) ( zweiseitig), für x 0 TINV(p; FG) Kritischer Wert c gemäß F(c) = 1 p/ TTEST(Bereich1; Bereich; 1 bzw. ; 1, oder 3) Erreichtes Signifikanzniveau beim t-test bei 1 einseitiger bzw. zweiseitiger Fragestellung, für 1 verbundene Stichproben, unabhängige Stichproben u. homogene Varianzen oder 3 unabh. Stichproben u. inhomogene Varianzen χ -Verteilung CHIVERT(x; FG) Überschreitungswahrscheinlichkeit P(X > x) für die χ -Verteilung mit FG Freiheitsgraden CHIINV(p; FG) CHITEST(Bereich1; Bereich) Kritischer Wert c gemäß F(c) = 1 p Signifikanzniveau beim χ -Test (Bereich1 beobachtet, Bereich erwartet)