Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik

Transkript

1 Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik Sitzung 4 Bivariate Deskription Heinz Leitgöb in Vertretung von Katrin Auspurg Sommersemester

2 Überblick 1. Kontingenztabellen 2. Assoziationsmaße für nominale und ordinale Variablen 3. Korrelationen

3 Bivariate Datenanalyse Besteht zwischen zwei Variablen ein Zusammenhang? Zusammenhangsanalyse, oder anspruchsvoller: Kausalanalyse: X Y X: unabhängige Variable (UV; Prädiktor); Y: abhängige Variable (AV) Kausalanalyse ist das vorrangige Ziel von Wissenschaft Dazu betrachtet man zweidimensionale (bivariate) Verteilungen und berechnet Kennzahlen.

4 Bivariate Datenanalyse Fragestellungen: Wie groß ist ein Zusammenhang (Beziehung, Kontingenz, Assoziation)? In welche Richtung geht er (mind. ordinalskalierte Merkmale)? Entspricht er den erwarteten (kausalen) Zusammenhängen? Die Auswahl adäquater Zusammenhangsmaße hängt ab von: Skalenniveau (nominalskaliert, ordinalskaliert, metrische Variablen) Für mindestens ordinalskalierte Variablen: der Art des Zusammenhangs (linear oder nicht linear)

5 Kontingenztabellen (Kreuztabellen) Beispiel: Konfession in Abhängigkeit vom Wohnort (ALLBUS 2008) Konfession Alte BDL Neue BDL Total Evangelisch Katholisch Andere christl Religion Nichtchristl. Religion Ohne Bekenntnis Total

6 Kreuztabellen: relative Häufigkeiten Beispiel: Konfession in Abhängigkeit vom Wohnort (ALLBUS 2008) Konfession Alte BDL Neue BDL Total Evangelisch 24,44% 6,26% 30,70% Katholisch 28,33% 1,16% 29,49% Andere christl. Religion 1,74% 0,38% 2,12% Nichtchristl. Religion 3,13% 0,20% 3,33% Ohne Bekenntnis 11,25% 23,11% 34,36% Total 68,89% 31,11% 100,00%

7 Kreuztabelle: bedingte Häufigkeiten (Spaltenprozente) Konfession Alte BDL Neue BDL Total Evangelisch 35,48% 20,13% 30,70% Katholisch 41,12% 3,73% 29,49% Andere christl. Religion 2,53% 1,21% 2,12% Nichtchristl. Religion 4,55% 0,65% 3,33% Ohne Bekenntnis 16,33% 74,28% 34,36% Total 100,00% 100,00% 100,00%

8 Kreuztabelle: absolute Häufigkeiten n Anzahl der Untersuchungseinheiten Y, X zwei Merkmale (Variablen) (y 1, x 1 ), (y 2, x 2 ),, (y n, x n ) die Urliste, d.h. die gemeinsamen Ausprägungen von Y und X für jeden Fall a 1, a 2,..., a k b 1, b 2,..., b m die in der Urliste vorkommenden Ausprägungen a i von Y ( i = 1,, k und k n) die in der Urliste vorkommenden Ausprägungen b j von X (j = 1, m und m n)

9 Kreuztabelle: absolute Häufigkeiten X b 1... b j... b m wobei: h ij = h(a i, b j ) a 1 h h 1j... h 1m h Y a i h i1... h ij... h im h i a k h k1... h kj... h km h k. h h. j... h. m n die absolute Häufigkeit der Kombination (a i, b j ) für alle i = 1,, k und alle j = 1,, m h i.= h i1 + h i2 + + h im die Randhäufigkeit (Zeilensumme) der Ausprägung a i für i = 1,, k h. j = h ij + h 2j + + h kj die Randhäufigkeit (Spaltensumme) der Ausprägung b j für j = 1,, m

10 Etwas anschaulicher: relative Häufigkeiten X b 1... b j... b m wobei: f ij = h ij /n f i. = j f ij = h i./n a 1 f f 1j... f 1m f Y a i f i1... f ij... f im f i a k f k1... f kj... f km f k. f f. j... f. m 1 die relative Häufigkeit der Kombination (a i, b j ) für alle i = 1,, k und alle j = 1,, m die relative Randhäufigkeit der Ausprägung a i für i = 1,, k f. j = i f ij = h. j /n die relative Randhäufigkeit der Ausprägung b j für j =,, m

11 Besteht ein Zusammenhang? Bedingte Häufigkeiten oder Spaltenprozente X b 1... b j... b m a 1 f Y (a 1 b 1 )... f Y (a 1 b j )... f Y (a 1 b m ) f Y a i f Y (a i b 1 )... f Y (a i b j )... f Y (a i b m ) f i a k f Y (a k b 1 )... f Y (a k b j )... f Y (a k b m ) f k wobei: f Y (a i b j ) =f i j = h ij /h. j f i.= f i1 + f i2 + + f im die bedingte Häufigkeit von a i unter der Bedingung X = b j für alle i = 1,, k und alle j = 1,, m die relative Randhäufigkeit der Ausprägung a i für i = 1,, k

12 Konventionen für die Konstruktion einer Kreuztabelle Die Variable, von der man annimmt, dass sie die andere verursacht, ist die unabhängige Variable (UV, X). Die andere Variable ist die abhängige Variable (AV, Y). Die Klassifikation als UV oder AV sollte aus logischen Überlegungen (etwa zeitliche Reihenfolge) oder Theorien abgeleitet werden. Konventionen und Vorgehen: 1. Platziere die UV (X) in den Spalten und die AV (Y) in den Zeilen. 2. Berichte die absoluten und die bedingten Häufigkeiten in Richtung der Spalten. 3. Vergleiche zur Interpretation die Prozentsätze in jeder Zeile ( Beispiel: Während in den alten BDL 35,5% evangelisch sind, sind es in den neuen BDL 21,1 %. ). Wenn sich die Prozentsätze unterscheiden (wie im Beispiel), besteht ein Zusammenhang zwischen X und Y. 4. Berichte ggf. noch ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs.

13 Graphische Darstellung: Gruppiertes Balkendiagramm Abiturnoten von Bachelorabsolventen (Uni Konstanz, 2010) Prozent Politik Soziologie Chemie/ Bio Sprachwiss. sehr gut gut befriedigend Fallzahlen: n = Absolventen pro Fach

14 Graphische Darstellung: Gestapeltes Säulendiagramm Abschlussnoten von Bachelorabsolventen (Uni Konstanz, ) Prozent befriedigend/ ausreichend gut sehr gut 0 Politik Soziologie Chemie/ Bio Sprachwiss. Fallzahlen: n = Absolventen pro Fach

15 Graphische Darstellung: Chart Junk gut sehr gut befriedigend/ sehr gut gut befriedigend/ ausreichend Don t do it!

16 Das Konzept der statistischen Abhängigkeit Ein statistischer Zusammenhang bzw. eine statistische Abhängigkeit zwischen zwei Variablen X und Y besteht, wenn die bedingten Verteilungen f y der einen Variable (Y) für verschiedene Werte der anderen Variable (X) unterschiedlich sind. Sind die bedingten Verteilungen gleich, so liegt kein Zusammenhang bzw. statistische Unabhängigkeit vor (die Verteilung Y X = b j entspricht der Randverteilung von Y). Unabhängigkeit Starker Zusammenhang Perfekter Zusammenhang X X X Y Y Y

17 Zusammenhangsmaße für (2x2)-Tabellen (nominale oder ordinale Variablen) Y X h 11 h 12 h 1. 2 h 21 h 22 h 2. h. 1 h. 2 n (2x2)-Tabelle (Vierfeldertafel) Die Prozentsatzdifferenz: h11 h12 % D = ( ) 100 h 1 h 2 Odds: Verhältnis der bedingten Häufigkeiten: O(a 1,a 2 X = b = h h Der Odds-Ratio (Kreuzproduktverhältnis): h11 / h21 h11 h22 OR = = h / h h h i ) 12 1i 2i,i = 1, 2

18 Der Odds-Ratio Relative Chance (Verhältnis der Odds) OR = 1: Chancen in beiden Gruppen gleich OR > 1: Chance in Gruppe X=1 höher OR < 1: Chance in Gruppe X=2 höher Kommt aus dem Glücksspiel (Verhältnis der Gewinnchancen) Auch in den Medien häufig berichtet Beispiel PISA 2003 (fiktive Daten, OR real) Spiel 1 Spiel 2 Akademikerkinder Arbeiterkinder Gewinn Abitur Verlust Kein Abitur Odds 20/100 = 0,2 10/100 = 0,1 Odds 60/40 = 1,5 33/67 = 0,5 Odds-ratio 0,2/0,1 = 2 Odds-ratio 1,5/0,5 = 3 Odds sind keine Wahrscheinlichkeiten! Insofern sind OR keine Wahrscheinlichkeitsverhältnisse. Interpretation: Die Odds sind 3 mal so hoch (aber nicht die Chancen).

19 Warum die Interpretation als Chancen falsch ist Beispiel Würfelspiele(vgl. Bortz 2008): Spiel A: Nur die 6 gewinnt Gewinnchance = 1/6. Spiel B: Die 5 und 6 gewinnen Gewinnchance von 2/6. Die Gewinnchance ist hier also doppelt so hoch. Odds-Ratio = Odds für B dividiert durch Odds von A: Odds für Spiel B = 2/6 : 4/6 = 0,5 Odds für Spiel A = 1/6 : 5/6 = 0,2 Odds-Ratio = 0,5 / 0,2 = 2,5. Somit haben sich die Odds um den Faktor 2,5 erhöht. Also: Odds-Ratios sind nicht mit Wahrscheinlichkeiten oder Chancen zu verwechseln!

20 Beispiele Unabhängigkeit schwacher Zusammenhang X X 1 2 %D = %D = 0,2 Y OR = OR = 2,67 Y sehr starker Zusammenhang perfekter Zusammenhang X X 1 2 %D = 0,6 1 2 %D = 1 Y OR = (OR = ) Y

21 Datenbeispiel Befragung Konstanzer Bachelorabsolventen 2007 Ehrenamtliches Engagement neben Studium? nein 41 59,4% ja 28 49,6% Total ,0% weiblich männlich Total 37 67,3% 18 32,7% ,0% 78 62,9% 46 37,1% ,0% %D = 28/69 18/55 = 49,6% 32,7% = 16,9 Prozentpunkte OR = (28/41)/(18/37) = 1,4

22 χ²-basierte Maße Allgemeine Idee hinter dem Wert χ 2 ( Chi-Quadrat ) Wenn man die Randhäufigkeiten beider Variablen kennt: Wie müssten die absoluten Häufigkeiten der Kombinationen verteilt sein, damit kein Zusammenhang vorliegt? Die Abweichungen von diesen erwarteten Häufigkeiten wird als Maßzahl für den Zusammenhang genommen. Erwartete Häufigkeiten: h ~ Welche Zellbesetzungen sind bei Unabhängigkeit zu erwarten? Unabhängigkeit = Bedingte Häufigkeiten unterscheiden sich nicht X X X ?? ,8 0,8 0,8 Y Y Y 2?? ,2 0,2 0,2 ij

23 Definition von χ² X b 1... b j... b m a 1?...?...? h ~ Y a i?... h ij...? h i a k?...?...? h k. h h. j... h. m n Das Maß χ 2 misst nun die Abweichung der tatsächlich beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten. Dabei werden Abweichungen pro Zelle quadriert, normiert und über alle Zellen der Matrix aufsummiert. Bedingte Häufigkeit = Bedingte Randhäufigkeit ~ h h hi n ~ h h h ij i. j = ij = j n ~ k m 2 ( hij hij ) χ = ~ i= 1 j= 1 hij 2

24 Beispiel: Ehrenamtliche Tätigkeit Ehrenamtliches Engagement? Beobachtete Häufigkeiten Ehrenamtliches Engagement? Erwartete Häufigkeiten weibl. männl. weibl. männl. nein ja nein ja (78 69)/124 = 43,4 (46 69)/124 =25,6 (78 55)/124 = 34,6 (46 55)/124 =20, Beobachtete Kreuztabelle Indifferenztabelle χ 2 = (18-20,4) + 20,4 (41-43,4) 43,4 2 (37-34,6) + 34,6 = 0, , (28-25,6) + 25, , , = 0,807 2

25 Eigenschaften von χ² Für (2x2)-Kreuztabellen gilt: 2 χ = n(h11h 22 h h 1 h 21h h h ) 2 Im Beispiel: 2 χ 124( ) = = 0,809 χ 2 ist symmetrisch (d.h. man kann X und Y vertauschen) χ 2 ist invariant gegenüber Vertauschungen von Zeilen oder Spalten (Anordnung ist bei Nominalskala willkürlich) Bei Unabhängigkeit gilt χ 2 = 0 χ 2 wächst mit n, deshalb gibt es keine generelle (!) Obergrenze: n' = 10 n χ' 2 = 10 χ 2 Bei (2x2)-Tabellen: χ 2 = n bei perfektem Zusammenhang

26 Aus χ² abgeleitete Zusammenhangsmaße Man normiert χ 2 auf sein Maximum, damit man Zusammenhangsmaße mit dem Wertbereich [0 ; 1] erhält. Phi (nur bei (2x2)-Tabellen): φ = 2 χ n (h = 11 h h 22 1 h h 2 h 21 1 h h 2 12 ) Cramers V (bei (k x m)-tabellen): V = 2 χ n min(k 1, m 1) Phi ist offensichtlich ein Spezialfall von Cramers V für k = m = 2 Beispiel Ehrenamtliches Engagement : φ = 0, = 0,081

27 Interpretation χ²-basierter Koeffizienten Es gibt verschiedene Konventionen für die Interpretation der Stärke des Zusammenhangs, wie etwa die folgende von Kühnel/Krebs 2012 (S.322): Koeffizient = 0 kein Zusammenhang 0,00 Koeffizient < 0,05 praktisch kein Zusammenhang 0,05 Koeffizient < 0,25 geringer Zusammenhang 0,25 Koeffizient < 0,50 mittlerer Zusammenhang 0,50 Koeffizient < 1,00 starker Zusammenhang Koeffizient = 1,00 perfekter Zusammenhang

28 Beispiele Unabhängigkeit geringer Zusammenhang X X 1 2 φ = φ = 0,22 Y Y sehr starker Zusammenhang perfekter Zusammenhang X X 1 2 φ = 0, φ = 1 Y Y

29 Eigenschaften der χ²-basierten Maße Cramer s V und Phi messen die Stärke des Zusammenhangs. Es werden lediglich Informationen auf Nominalskalenniveau berücksichtigt, daher: Es sind keine Aussagen über die Richtung des Zusammenhangs möglich Es können einzelne Ausprägungen in der Reihenfolge vertauscht werden, ohne dass dies einen Einfluss hätte. Ebenso können X und Y vertauscht werden ( symmetrische Maße ). Vergleiche unterschiedlicher Zusammenhänge sind möglich: χ²: bei gleich großen Tabellen und ähnlicher Fallzahl n. Cramers V: bei unterschiedlich großen Tabellen unabhängig von n. Phi: Bei (2x2)-Tabellen unabhängig von n. (Zudem gibt es weitere Maße, wie den (korrigierten) Kontingenzkoeffizienten K, die hier nicht behandelt werden).

30 Kreuztabellen: Abschließende Anmerkungen Für sinnvolle Interpretationen und Berechnungen von Zusammenhangsmaßen ist auf eine gute Besetzung aller Zellen zu achten (Daumenregel: die erwartete Häufigkeit sollte 5 sein). Zudem sollte die Anzahl an Kategorien übersichtlich sein (Daumenregel: maximal 5 Zeilen oder Spalten; allerdings sind auch 5x5 = 25 Felder sehr unübersichtlich). Ggf. sind also Kategorien zusammenzufassen. Dies geht allerding mit einem Informationsverlust einher. Der errechnete χ²-wert lässt sich im Hinblick auf die statistische Signifikanz des Zusammenhangs einordnen. Dazu folgen in späteren Sitzungen Details!

31 Literatur Primärliteratur: Jann, Ben (2005): Einführung in die Statistik. München: Oldenbourg. Ferner beruhen einige Folien auf: Brüderl, Josef (2008): Statistik-Script. Universität Mannheim. Kühnel, Steffen M. und Dagmar Krebs (2012): Statistik für Sozialwissenschaften. Grundlagen, Methoden, Anwendungen. 6. Auflage. Reinbek: Rowohlt.