Prof. Dr. Achim Bühl SPSS 16. Einführung in die moderne Datenanalyse. 11., überarbeitete und erweiterte Auflage

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2 Prof. Dr. Achim Bühl SPSS 16 Einführung in die moderne Datenanalyse 11., überarbeitete und erweiterte Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

3 10.3 Statistiken für Kreuztabellen 269 Werte des Korrelationskoeffizienten r Interpretation 0 < r <= 0,2 Sehr geringe Korrelation 0,2 < r <= 0,5 Geringe Korrelation 0,5 < r <= 0,7 Mittlere Korrelation 0,7 < r <= 0,9 Hohe Korrelation 0,9 < r <= 1 Sehr hohe Korrelation Ausgehend von der obigen Tabelle können wir folgende Aussagen treffen: Zwischen den Variablen klasse und überlebt liegt eine geringe Korrelation vor (Aussage über die Stärke der Beziehung), die Variablen sind positiv korreliert (Aussage über die Richtung der Beziehung). Bei der Variablen klasse liegen die Werte»1«für die erste Klasse,»2«für die zweite Klasse und»3«für die dritte Klasse vor, die Variable überlebt verfügt über die Merkmalsausprägung»1«für gerettet sowie»2«für gestorben. Die Gleichläufigkeit der Beziehung kann demzufolge so interpretiert werden, dass niedrige Werte der Variablen klasse mit niedrigen Werten der Variablen überlebt einhergehen sowie hohe Werte der einen Variablen mit hohen Werten der anderen Variablen, dass also Passagiere der ersten Klasse häufiger zu den Überlebenden zählen als Passagiere der dritten Klasse. Prüfen wir nun die Variablen sex und überlebt auf Korrelation. Gehen Sie dabei wie oben beschrieben vor. Sie erhalten folgende Korrelationskoeffizienten: Da es sich bei den Variablen sex und überlebt um zwei nominalskalierte dichotome Variablen handelt, die wir als gleichsam (»quasi«) ordinal behandeln, betrachten wir auch hier den Korrelationskoeffizienten nach Spearman. Er beträgt -0,525. Zwischen den Variablen sex und überlebt liegt somit eine mittlere Korrelation vor. Die Variablen sind negativ korreliert. Niedrige Werte der Variablen sex gehen folglich mit hohen Werten der Variablen überlebt einher, hohe Werte der Variablen sex mit niedrigen Werten der Variablen überlebt. Berücksichtigt man die Codierung der beiden Variablen (»1«= männlich und»2«= weiblich bei der Variablen sex sowie»1«= gerettet und»2«= gestorben bei der Variablen überlebt), so ergibt sich die Tatsache, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit der Frauen an Bord der Titanic höher gewesen ist als die der Männer. Prüfen wir abschließend die Variablen klasse und alter auf Korrelation. Sie erhalten folgende Korrelationskoeffizienten:

4 270 Kapitel 10 Kreuztabellen Da die Variable klasse lediglich ordinalskaliert ist, betrachten wir auch hier wieder den Spearman'schen Korrelationskoeffizienten; er beträgt -0,402. Zwischen den Variablen klasse und alter liegt eine geringe Korrelation vor. Die Variablen korrelieren negativ (gegenläufig), d.h., je größer die Werte der ersten Variablen sind, umso niedriger sind die Werte der zweiten Variablen und umgekehrt. Berücksichtigt man die Codierung der beiden Variablen, so ist davon auszugehen, dass ältere Personen eher in der ersten Klasse zu finden sind sowie jüngere Passagiere häufiger in der dritten Klasse, was eine entsprechende Kreuztabelle zwischen der Klassenzugehörigkeit an Bord der Titanic und dem Alter gruppiert nach Altersklassen verdeutlicht. Während in der zweiten Klasse keine Auffälligkeiten festzustellen sind, liegt der Anteil der Passagiere in der ersten Klasse, die 30 Jahre und jünger sind, deutlich zu niedrig, der Anteil der Passagiere, die 31 Jahre und älter sind, deutlich zu hoch. In der dritten Klasse zeigt sich ein gegenläufiger Trend. Besonders stark in das Chi-Quadrat-Maß geht die Kategorie der über 50-Jährigen ein mit einem standardisierten Residuum von +8,0 bei der ersten Klasse und 5,2 bei der dritten Klasse Assoziationsmaße für nominalskalierte Variablen Der Korrelationskoeffizient als Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen ist nicht anwendbar bei nominalskalierten Variablen mit mehr als zwei Kategorien, da die betreffenden Kodierungen keiner Ordnungsrelation folgen und somit nicht sinnvollerweise in einer Richtung angeordnet werden können. Als bestes Mittel, solche Zusammenhänge zu analysieren, halten wir den in Kap vorgestellten Chi-Quadrat-Test mit gegebenenfalls nachfolgender Analyse der beobachteten und erwarteten Häufigkeiten sowie der standardisierten Residuen.

5 10.3 Statistiken für Kreuztabellen 271 Dennoch versuchte man auch hier, Maßzahlen für den Grad der»assoziation«der beiden in Beziehung gesetzten Variablen zu entwickeln. Diese geben dann den Grad der Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit zwischen den beiden nominalskalierten Variablen an, wobei ein Wert um 0 völlige Unabhängigkeit der Variablen bedeutet und ein Wert um 1 größte Abhängigkeit. Negative Werte treten bei den Assoziationsmaßen nicht auf, da die Frage nach einer Richtung der Assoziation wegen des Fehlens einer Ordnungsrelation sinnlos ist. In einer Mitgliederbefragung des Stadtverbands einer politischen Partei wurde u. a. nach dem Beruf gefragt und danach, ob die Befragten eine Parteifunktion ausüben oder nicht. Die Antworten der männlichen Befragten sind auszugsweise in der Datei partei.sav enthalten. Laden Sie die Datei partei.sav und erstellen Sie eine Kreuztabelle mit der Variablen funk als Zeilen- und der Variablen beruf als Spaltenvariable. Aktivieren Sie die Ausgabe der erwarteten Häufigkeiten, der standardisierten Residuen, der Spaltenprozente und des Chi-Quadrat-Tests. Sie erhalten die folgende Ausgabe: Es liegt ein höchst signifikantes Ergebnis vor, und zwar sind die Parteifunktionen bei den Beamten über- und bei den Selbstständigen unterrepräsentiert, während die Angestellten im Schnitt liegen. Fordern Sie nun zusätzlich über den Schalter Statistik... die Ausgabe sämtlicher Assoziationsmaße für nominalskalierte Variablen an.

6 272 Kapitel 10 Kreuztabellen Die in den beiden obigen Tabellen wiedergegebenen Assoziationsmaße sollen im Folgenden erläutert werden. Kontingenzkoeffizient Sein Wert liegt stets zwischen 0 und 1 und berechnet sich ebenso wie bei Phi und Cramers V aus dem Chi-Quadrat-Wert: c = χ 2 χ 2 + N N ist dabei die Gesamthäufigkeit der Kreuztabelle. Da N immer größer als Null ist, wird der Wert 1 nie erreicht. Der maximale Wert ist von der Zeilen- und Spaltenzahl der Kreuztabelle abhängig und beträgt z. B. bei einer 3 * 2 -Tabelle (wie im gegebenen Beispiel) 0,762. Aus diesem Grund ist der Kontingenzkoeffizient zwischen Kreuztabellen mit verschiedenen Felderzahlen nicht vergleichbar. Phi Dieser Koeffizient ist nur für 2*2-Tabellen verwendbar, da er sonst den Wert 1 übersteigen kann: ϕ = 2 χ N

7 10.3 Statistiken für Kreuztabellen 273 Cramers V Diese Größe ist eine Variante von Phi, die für beliebige Kreuztabellen einen Wert zwischen 0 und 1 ergibt, wobei der Wert 1 auch erreicht werden kann: V= χ 2 N ( k 1) Dabei ist k die kleinere der beiden Anzahlen der Zeilen und Spalten. Die drei genannten Maße basieren auf der Teststatistik Chi-Quadrat, wobei auf unterschiedliche Weise versucht wird, den Wert auf die Stichprobengröße zu normieren. Da im gegebenen Beispiel in der Formel für Cramers V k = 2 ist, stimmen die Werte für Phi und Cramers V miteinander überein. Die Berechnung der Signifikanz basiert auf dem Chi- Quadrat-Wert. Bei der Beurteilung der erhaltenen Maßzahlen (zwischen 0,4 und 0,5) ist zu bedenken, dass der Wert 1 nicht oder nur sehr schwer zu erreichen ist. Die anderen Assoziationsmaße (Lambda, Goodman-und-Kruskal-Tau und Unsicherheitskoeffizient) werden nach dem Konzept der so genannten proportionalen Fehlerreduktion berechnet. Bei diesen Maßen wird jeweils eine Variable als abhängige Variable betrachtet; aus diesem Grunde werden diese Maße auch»richtungsmaße«genannt. Lambda Im gegebenen Beispiel wird man die Frage nach der Parteifunktion als abhängige Variable betrachten können, und zwar abhängig vom ausgeübten Beruf. Soll für eine beliebige Person eine Vorhersage darüber getroffen werden, ob sie ein Parteiamt ausübt oder nicht, so wird man natürlich die bestmögliche Vorhersage treffen, wenn man die am häufigsten gegebene Antwort heranzieht, hier also die Ausübung eines Parteiamtes vorhersagen. Es haben nämlich 56,3% der Personen diese Antwort gegeben; in 43,7% der Fälle wird man jedoch eine falsche Vorhersage treffen. Die Vorhersage kann man verbessern, wenn man die andere Variable, also den Beruf, mit einbezieht. Bei den Angestellten würde man ebenso ein Parteiamt prognostizieren wie bei den Beamten, wobei bei neun Angestellten und bei zwei Beamten eine falsche Vorhersage getroffen würde. Bei den Selbstständigen würde man vorhersagen, dass diese Personen keine Parteifunktion ausüben und dabei in sieben Fällen irren. Bei den insgesamt 64 Personen würde also in = 18 Fällen, das sind 28,1%, eine falsche Prognose gestellt. Die ursprüngliche Fehlerwahrscheinlichkeit von 43,7 % ist also deutlich reduziert worden. Aus den beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten wird die relative Fehlerreduktion berechnet und Lambda genannt: Fehler bei erster Prognose Fehler bei zweiter Prognose Lambda = Fehler bei erster Prognose

8 274 Kapitel 10 Kreuztabellen In unserem Beispiel ergibt sich: 43,7 % - 28,1 % Lambda = =0, ,7 % Erreicht der Fehler bei der zweiten Diagnose den Wert 0, wird Lambda = 1. Ist der Fehler bei der zweiten Prognose gleich dem der ersten Prognose, wird Lambda = 0. Hier liefert die zweite Variable keinerlei Unterstützung bei der Vorhersage der ersten (abhängigen) Variablen; beide Variablen sind völlig unabhängig voneinander. Da der Computer nicht wissen kann, welche Variable als abhängig zu betrachten ist, gibt SPSS automatisch in diesem Zusammenhang zwei Werte an, wobei jede der beiden Variablen jeweils einmal als abhängig betrachtet wird. Für den Fall, dass Sie keine der beiden Variablen als abhängig deklarieren können, wird unter der Bezeichnung»symmetrisch«das gewichtete Mittel dieser beiden Werte angegeben. Goodman und Kruskals Tau Dies ist eine Variante des Lambda-Koeffizienten, die von SPSS stets zusammen mit diesem ausgegeben wird, wobei die Anzahl der richtig vorhergesagten Personen anders berechnet wird, und zwar werden die beobachteten Häufigkeiten mit ihren Prozenten gewichtet und aufaddiert. Dies ergibt zunächst für die alleinige Betrachtung der abhängigen Variablen (erste Prognose): 36 * 56,3 % + 28 * 43,8 % = 32,53 Folgt man diesem Ansatz, werden von den insgesamt 64 Personen 31,47 falsch vorhergesagt, das sind 49,17%. Unter Berücksichtigung der zweiten Variablen erhält man nach dem entsprechenden Ansatz für die richtig vorhergesagten Personen (zweite Prognose): 13 * 59,1 % + 16 * 88,9 % + 7 * 29,2 % +9 * 40,9 % + 2 * 11,1 % +17 * 70,8 % = 39,89 Bei der zweiten Prognose wurden also von den insgesamt 64 Personen 24,11, das sind 37,67%, falsch vorhergesagt. Dies ergibt in diesem Fall eine Fehlerreduktion von 49,17 % - 37,67 % 49,17 % = 0, 235 Dieser Wert wird unter der Bezeichnung»Goodman-und-Kruskal-Tau«ausgegeben. Auch hier gibt SPSS einen zweiten Wert an; dieser ergibt sich, wenn man die andere Variable als abhängig betrachtet. Unsicherheitskoeffizient Dies ist eine weitere Variante von Lambda, wobei anstelle von fehlerhaften Prognosen von»unsicherheit«gesprochen wird und diese Unsicherheit nach recht komplizierten Formeln bestimmt wird, so dass auf eine nähere Erläuterung des Rechengangs verzichtet wird.

9 10.3 Statistiken für Kreuztabellen 275 Der Unsicherheitskoeffizient kann ebenfalls Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Der Wert 1 bedeutet, dass die eine Variable exakt aus der anderen vorhergesagt werden kann Assoziationsmaße für ordinalskalierte Variablen Alle diese Maße basieren auf der Anzahl der Fehlordnungen (Inversionen: I), die sich ergeben, wenn man die Werte einer der beiden Variablen in aufsteigender Reihenfolge niederschreibt und die Werte der anderen Variablen entsprechend zuordnet. Zusammen mit der Anzahl der richtigen Ordnungen (Proversionen: P) gehen sie auf verschiedene Weise in die entsprechenden Formeln für die Assoziationsmaße ein, die Werte zwischen minus 1 und plus 1 annehmen können. Gamma Gamma berechnet sich aus der einfachen Formel: G = P I P+ I Treten keine Inversionen auf (I = 0), wird G = 1 (totaler Zusammenhang). Treten keine Proversionen, also ausschließlich Inversionen auf (P = 0), handelt es sich um einen maximal gegenläufigen Zusammenhang (G = -1). Ist P = I, ist keinerlei Zusammenhang gegeben (G = 0). Somers d Berechnet werden asymmetrisches und symmetrisches Somers d. Die Formel für Gamma wird durch einen Korrekturterm erweitert, der im Falle von Bindungen (Auftreten gleicher Messwerte) bei der abhängigen Variablen relevant wird: P I d = P+ I+ T y Ein entsprechendes asymmetrisches Somers d gibt es mit dem Korrekturterm T x. Das symmetrische Somers d verwendet im Nenner den Mittelwert der beiden asymmetrischen Koeffizienten. Kendalls Tau-b Bei dieser Maßzahl werden die Bindungen sowohl der abhängigen als auch der unabhängigen Variablen berücksichtigt: = P I ( ) ( ) τ b P+ I+ Tx P+ I+ Ty Die Werte -1 und +1 können nur bei einer quadratischen Kreuztabelle angenommen werden.

10 276 Kapitel 10 Kreuztabellen Kendalls Tau-c Hier können die Werte -1 und +1 bei jeder Tabelle erreicht werden: Dabei ist N die Gesamtsumme der Häufigkeiten; m ist die kleinere der Anzahlen der Zeilen und Spalten Weitere Assoziationsmaße SPSS bietet weitere spezielle Assoziationsmaße an, die im Folgenden vorgestellt werden sollen. Eta Dieser Koeffizient ist geeignet, wenn die abhängige Variable Intervall- und die unabhängige Variable Ordinal- oder Nominalskalenniveau hat. Das Quadrat von Eta ist der Anteil der Gesamtvarianz, der durch die unabhängige Variable erklärt wird. Kappa-Koeffizient Cohens Kappa-Koeffizient kann nur für quadratische Kreuztabellen berechnet werden, in denen dieselben numerischen Kodierungen für die Zeilen- und die Spaltenvariable verwendet wurden. Der typische Anwendungsfall ist der, dass Personen oder Objekte durch zwei Gutachter beurteilt werden. Kappa gibt dann den Grad der Übereinstimmung zwischen den beiden Beurteilern an. Risiko 2 m P I τ c = ( ) 2 N ( m 1) Unter dieser Option verbergen sich bei SPSS drei verschiedene Koeffizienten, die für Vierfeldertafeln bestimmt werden können, wobei eine bestimmte Testsituation gegeben sein muss: Eine so genannte Risikovariable, die angibt, ob ein bestimmtes Ereignis eintrifft oder nicht, wird in Abhängigkeit von einer unabhängigen (ursächlichen) und ebenfalls dichotomen Variablen untersucht. Dies soll an einem typischen Beispiel erläutert werden. Bei insgesamt 294 Probanden aus einer Studie über Depressionen ergab sich die folgende Häufigkeitsverteilung: Depression Ja Nein Weiblich a = 40 b = 143 Männlich c = 10 d = 101 Die Depression mit den beiden Kategorien ja nein ist die Risikovariable, das Geschlecht mit den beiden Kategorien weiblich männlich die unabhängige (ursächliche) Variable.

11 10.3 Statistiken für Kreuztabellen 277 In Zusammenhang mit solchen Studien spricht man von Kohorten- bzw. Fall-Kontrollstudien. Dabei untersuchen Kohortenstudien eine festgelegte Fallgruppe, bei denen das untersuchte Ereignis noch nicht eingetreten ist, über einen gewissen Zeitraum hinweg und stellen fest, bei welchen Fällen dieses Ereignis eintritt und bei welchen nicht und ob sich das Risiko des Eintretens zwischen den Kategorien einer unabhängigen Variablen unterscheidet. Bei Fall-Kontrollstudien hingegen wird eine Fallgruppe, bei der das Ereignis bereits eingetreten ist, mit einer Kontrollgruppe verglichen. Zwei der von SPSS berechneten Koeffizienten werden üblicherweise bei Kohortenstudien, der dritte Koeffizient bei Fall-Kontrollstudien verwendet. In Kohortenstudien wird für die beiden Kategorien der unabhängigen Variablen (hier: das Geschlecht) die Inzidenzrate bestimmt. Bei den weiblichen Probanden ist die Inzidenzrate für das Auftreten einer Depression 40 = 0, Bei den männlichen Probanden ist die Inzidenzrate 10 = 009, Der Quotient aus den beiden Inzidenzraten 0, 219 0, 090 = 2, 426 wird als relatives Risiko bezeichnet. Das Risiko, depressiv zu werden, liegt bei den Frauen um das 2,426-Fache über dem bei den Männern. Da der Rechner nicht wissen kann, welche der beiden Kodierungen der Risikovariablen für das Vorhandensein der Depression steht, wird dieses relative Risiko für beide Ausprägungen der Risikovariablen berechnet. Bei Fall-Kontrollstudien wird eine etwas andere Variante der Koeffizientenberechnung, die auch Odds Ratio genannt wird, verwendet. So sind die»chancen«(odds) bei den Frauen, depressiv zu werden, 40/143, bei den Männern 10/101. Das Chancenverhältnis (Odds Ratio) ist demnach 40 * 101 = 2, * 10 Bezeichnen wir die vier Häufigkeiten der Vierfeldertafel mit a, b, c und d (siehe oben), so werden demnach von SPSS die drei folgenden Koeffizienten berechnet: a d R0 = * b * c

12 278 Kapitel 10 Kreuztabellen R1 = a * ( c + d) c * ( a + b) b * ( c + d) R2 = d * ( a + b) Wir wollen das gegebene Beispiel in SPSS durchrechnen. Laden Sie die Datei depr.sav. Die Datei enthält als Risikovariable die Variable depr mit den beiden Kodierungen 1 = ja und 2 = nein sowie die unabhängige (ursächliche) Variable sex mit den beiden Kodierungen 1 = weiblich und 2 = männlich. Ferner ist als weitere Variable die Häufigkeitsvariable n enthalten. Treffen Sie die Menüwahl Daten Fälle gewichten... und geben Sie n als Häufigkeitsvariable an. Definieren Sie anschließend in der Dialogbox Kreuztabellen die Variable sex als Zeilen- und die Variable depr als Spaltenvariable und aktivieren Sie über den Schalter Statistiken... die Option Risiko. Es werden die folgenden Ergebnisse angezeigt. Es werden nacheinander Odds Ratio (R0) und die beiden relativen Risiken (R1 und R2) ausgegeben, wobei auch ein 95%-Konfidenzintervall berechnet wird. Möchten Sie Odds Ratio und das relative Risiko korrekt berechnen, müssen Sie Folgendes beachten: Definieren Sie die ursächliche (unabhängige) Variable als Zeilenvariable und die Risikovariable als Spaltenvariable. In der ersten der beiden Zeilen der Vierfeldertafel muss die Gruppe mit dem größeren Risiko eingetragen sein. In der ersten der beiden Spalten der Vierfeldertafel muss die Kodierung für das Eintreffen des Ereignisses enthalten sein.

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