Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester 2008 Aufgabe 1 I) Einige Mitarbeiter der Universität Bamberg haben zur Fußball-Europameisterschaft 2008 ein Tipp-Spiel organisiert. Nach der Endrunde wurden die 12 Tipp-Spielteilnehmer aufgefordert, aus den im Turnier verbliebenen Mannschaften den zukünftigen Europameister zu tippen. Tipp für den Europameister Anzahl der Tipps Holland 7 Italien 3 Spanien 1 Deutschland 1 a) Beurteilen Sie die Verteilung des Merkmals Tipp für den Europameister mit Hilfe eines geeigneten Lage- und eines geeigneten Streuungsmaßes. b) Wie würde die Verteilung dieses Merkmals bei maximaler Streuung aussehen? Nach dem Spiel zwischen der Türkei und Deutschland wurden 60 Zuschauer nach der Mannschaft, die sie während des Spiels unterstützen, und ihrer Einschätzung des Spielniveaus befragt. Die Umfrageergebnisse sind in folgender Tabelle zusammengefasst: miserabel durchschnittlich sensationell Türkei-Fan Deutschland-Fan c) Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen unterstützte Mannschaft und Einschätzung des Spielniveaus mit einer geeigneten statistischen Maßzahl und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. d) Wieviel Prozent der Deutschland-Fans beurteilten das Spiel als durchschnittlich? II) Nennen Sie die Ihnen bekannten Zusammenhangsmaße für ordinalskalierte Merkmale.

2 Aufgabe 2 Student Brian R. hat in den Semesterferien einen Ferienjob am Check-In-Schalter des nächstgelegenen Flughafens, wo er die aufgegebenen Gepäckstücke auf die Waage stellt und das Gewicht des Reisegepäcks registriert. Bei Überschreitung der Freigepäckgrenze von 25 kg müssen pro Kilogramm Übergepäck Gebühren entrichtet werden. Für die 180 Passagiere, die einen Flug mit dem neuen Airschiff der Critish Airways gebucht haben, stellt Brian seine Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen: Gewicht des Reisegepäcks in kg über 40 Anzahl Passagiere Die Obergrenze für das Gepäckgewicht beträgt 60 kg. Alle Gepäckstücke, die diese Grenze überschreiten, müssen als Fracht aufgegeben werden. a) Berechnen Sie das durchschnittliche Gewicht des Reisegepäcks eines Fluggastes von Critish Airways. b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion für das Gewicht des Reisegepäcks. Welche Annahme müssen Sie treffen? c) Berechnen Sie den Anteil der Passagiere, die Gebühren für ihr Übergepäck zahlen müssen. Die Geschäftsführung von Critish Airways vermutet, dass sich das gesamte Gewicht des transportierten Gepäcks sehr ungleich auf die Passagiere verteilt. Um die Freigrenze und die damit verbundenen Gebühren zu überdenken, beauftragt sie Brian, mit Hilfe seiner im Grundstudium erworbenen Statistik-Kenntnisse dieser Frage auf den Grund zu gehen. d) Berechnen Sie zur Beantwortung dieser Fragestellung das Lorenz-Münzner- Maß (=normiertes Gini-Maß) für die Konzentration des Gewichts des Reisegepäcks und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

3 Aufgabe 3 Marc-Kevin Brause, Student der Betriebswirtschaftslehre im vierten Fachsemester, muss sich bei der Vorbereitung auf die Diplomvorprüfung mit der Makroökonomik auseinander setzen. Sein spezielles Interesse gilt der gesamtwirtschaftlichen Konsumfunktion. Diese wird in vielen makroökonomischen Modellen als lineare Funktion des verfügbaren Einkommens angenommen. Brause möchte nun untersuchen, ob der unterstellte Modellzusammenhang auch zur Beschreibung seiner eigenen Konsumausgaben verwendet werden kann. Dazu notiert er für fünf Monate die Höhe seines verfügbaren Einkommens und seine Konsumausgaben pro Monat. Monat verfügbares Einkommen in Euro Konsumausgaben in Euro März April Mai Juni Juli a) Zeichnen Sie die Werte des verfügbaren Einkommens und der Konsumausgaben in ein Streudiagramm. b) Berechnen und interpretieren Sie die Parameter der ausgleichenden Regressionsgeraden, die Brause als seine individuelle Konsumfunktion aufstellt. c) Zeichnen Sie Ihre Regressionsgerade in das Streudiagramm aus Teilaufgabe a). d) Beurteilen Sie die Güte der Regressionsgerade anhand einer geeigneten Maßzahl. e) Wie hoch sind die durchschnittlichen Konsumausgaben bei Gültigkeit der Regressionsgeraden bei einem monatlich verfügbaren Einkommen von 1000 Euro? f) Berechnen Sie das verfügbare Einkommen, bei dem gemäß der Regressionsgerade die durchschnittlichen Konsumausgaben einen Wert von 700 Euro annehmen würden.

4 Aufgabe 4 I) Der Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie betrachtet die Entwicklung seiner Aufwendungen für den Druck der Klausuren in den vergangenen fünf Jahren. Folgende Tabelle zeigt die entsprechenden Messziffern M t 1,t, das Bezugsjahr ist das jeweilige Vorjahr: Jahr t M t 1,t 0,98 1,01 0,95 0,98 0,92 Wie haben sich die Aufwendungen für den Druck der Klausuren von 2003 bis 2007 durchschnittlich pro Jahr entwickelt? II) Der Inhaber einer Autowerkstatt betrachtet die Entwicklung der Preise und Mengen von vier verschiedenen Artikeln aus seinem Sortiment an Zubehör. Die erzielten Preise und verkauften Stückzahlen sind für die Jahre 2006 und 2007 in folgender Tabelle gegeben: Artikel Preis in Euro Menge Preis in Euro Menge Abschleppseil Fußmatten Radkreuz ? Motoröl (5l) a) Welchen Wert nimmt der Preisindex von Laspeyres für die Entwicklung der Mengen der vier Güter vom Jahr 2006 zum Jahr 2007 an? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. b) Bestimmen Sie die abgesetzte Menge an Radkreuzen im Jahr 2007, wenn Ihnen bekannt ist, dass der Preisindex von Paasche den Wert 0,99809 annimmt. c) Wie hoch war der Ausgabenanteil im Jahr 2007, der auf die Radkreuze entfiel? (Hinweis: Falls Sie den vorhergehenden Aufgabenteil b) nicht lösen konnten, gehen Sie vereinfachend von einer Menge von 200 Radkreuzen im Jahr 2007 aus!) III) Die folgende Kontingenztabelle zeigt die absoluten Häufigkeiten der beiden ordinalen Merkmale U und V. V U ν1 ν 2 ν 3 u u u Bestimmen Sie das Maß von Goodman und Kruskal. Was misst dieses Maß?

5 Aufgabe 5 R-Aufgabe) Hinweis: In R kann zur Zuweisung = und <- gleichermaßen verwendet werden. I) Sie wollen einen Eindruck darüber gewinnen, ob ein Zusammenhang zwischen der Körpergröße einer Mutter und ihrer ausgewachsenen Tochter besteht. Ihnen liegen folgende Daten vor: mutter = c(163.8, 172.1, 172.5, 166.4, 176.5, 167.4, 148.9, 170.7, 156.6, 161.2) tochter = c(166.2, 174.5, 173.7, 176.3, 180.8, 163.4, 162.7, 162.9, 158.2, 175.2) a) Wie sind die erhobenen Merkmale skaliert (mit Begründung)? Wie kann in R die Korrelation dieser Merkmale berechnet werden? b) Das Ergebnis der Berechnung der Korrelation ist Interpretieren Sie das Ergebnis. c) Für welches andere Skalenniveau als das der obigen Merkmale kann man auch einen Korrelationskoeffizienten berechnen? Wie heißt dieser Korrelationskoeffizient und wie wird er in R berechnet? d) Betrachten Sie nun die Daten der Töchter. Wie können Sie mit R den Median und den Quartilsabstand dieser Daten bestimmen? II) Mütter und Töchter wurden außerdem befragt, wie sie ihre wechselseitige Beziehung auf einer Skala von null bis sechs beurteilen, wobei null sehr schlecht und sechs sehr gut bedeutet. Die Ergebnisse der Befragung sind: mutterb = c(5, 2, 3, 4, 6, 2, 2, 4, 4, 5) tochterb = c(4, 3, 4, 3, 5, 1, 5, 5, 3, 6) a) Wie ist das erhobene Merkmal skaliert? b) Was bewirkt der folgende R-Code? smutterb = sort(mutterb) cumsummutterb = cumsum(smutterb) barplot(cumsummutterb) Wie müsste der Befehl für den barplot lauten, wenn Sie eine geeignete Überschrift formulieren wollen? c) Was bewirkt der folgende R Code? tochtertab = table(tochterb) tochtertab/length(tochterb)

6 Lösung zu Aufgabe 1 I) a) x mod = Holland H A = 1, 5509 HA = 0, 7755 b) Tabelle Tipp für den Europameister Anzahl der Tipps Holland 3 Italien 3 Spanien 3 Deutschland 3 c) φ 2 AB = 0, 0487 V AB = 0, 2207 der Zusammenhang zwischen A und B ist nur schwach ausgeprägt. d) 20% II) Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman, Maß von Goodman & Kruskal, Kendalls τ

7 Lösung zu Aufgabe 2 a) x = 19, 7628 b) Approximierende Verteilungsfunktion Annahme: Gleichverteilung innerhalb der Klassen c) 23,61% d) M G = 0, 2517 Die Konzentration des Gewichts ist nicht sehr hoch.

8 Lösung zu Aufgabe 3 a) b) â 0 : Achsenabschnitt; bei 0 e Einkommen beträgt der Konsum ca. 128, 38 e â 1 : Regressionskoeffizient; bei 1 e mehr Einkommen steigt der Konsum durchschnittlich um 0, 7554 e c) siehe Teilaufgabe a). d) R 2 = 0, 98 sehr gute Anpassung e) ŷ(1000) = 883, , 78 f) x = 756, , 71

9 Lösung zu Aufgabe 4 I) w 03,07 = 0, 0356 II a) I L p (0, t) = 1, Wären im Jahr 2007 dieselben Mengen der 4 Güter konsumiert worden wie im Jahr 2006, so hätten sich die Güter von 2006 zu 2007 um ca. 1,2% verteuert. II b) q 2,2 = 189, II c) Der Ausgabenanteil im Jahr 2007 lag bei ca. 38% (bzw. 39% mit 200 Radkreuzen). III) N c = 21; N d = 29 γ UV = 0, 16

10 Lösung zu Aufgabe 5 Teilaufgabe I a) metrisch (Quotientenbildung möglich) cor(mutter,tochter) b) positive mittelstarke Korrelation, d.h. größere Mutter größere Tochter c) Ordinalskala Rangkorrelationskoeffizient von Spearman cor(mutter,tochter,method= spearman ) d) median(tochter) quantile(tochter) Teilaufgabe II a) ordinal b) sort(mutterb) sortiert in R den Vektor mutterb. cumsum(smutterb) berechnet in R die kumulierte Summenfunktion des sortierten Vektors smutterb. barplot(cumsummutterb) stellt die kumulierte Summenfunktion grafisch in einem Balkendiagramm dar. barplot(cumsummutterb,main= kumulierte Summenhäufigkeit der Mütterbewertung ) c) Berechnung der relativen Häufigkeiten der Bewertungen der Töchter