Musterlösung zur Aufgabensammlung Statistik I Teil 3

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1 Musterlösung zur Aufgabensammlung Statistik I Teil , Malte Wissmann 1

2 Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen Nominale, Ordinale Merkmale und Mischungen Aufgabe 12 a) x\ y 1.Klasse 2.Klasse 3.Klasse Besatzung Gerettet Vermisst Die Tabelle der relativen Häufigkeiten erhält man, wenn man die Werte der gemeinsamen Verteilung (innerhalb der Tabelle) durch die Spaltensumme (die Randverteilung ) dividiert. x\ y 1.Klasse 2.Klasse 3.Klasse Besatzung Gerettet Vermisst % der Passagiere der ersten Klasse wurden gerettet. Nur 25% der 3. Klasse wurden gerettet, etc. Insgesamt wurden nur 32% gerettet. Ob man in der 3. Klasse oder ob man Besatzungsmitglied was spielte für die Überlebenswahrscheinlichkeit keine Rolle, von daher bilden 3. Klasse und Besatzung eine Gruppe. 1. Klasse und 2. Klasse unterscheiden sich davon deutlich. b) Die Tabelle unter Unabhängigkeit. x\ y 1.Klasse 2.Klasse 3.Klasse Besatzung Gerettet Vermisst , Malte Wissmann 2

3 c) χ 2 Statistik und Cramer s V. χ 2 = k l j=1 (n ij n i+n +j n ) 2 n i+ n +j n = ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 = ( )2 ( )2 ( )2 ( ) = = Maximalwert: 2228(2 1) = 2228, näher an der Null als an 2228, damit ist der Zusammenhang eher schwach. Cramer s V: V = = χ 2 n(min(k, l) 1) = Cramer s V ist nahe 0 schwacher Zusammenhang. Anmerkung: Anstatt Cramer s V hätte man auch den korregierten Kontingenzkoeffizienten bestimmen können. wichtig ist, dass ein dimensionsloses Mass bestimmt wird. Dieser ist d) Zusammenfassung: min(k, l) χ C kor = 2 min(k, l) 1 χ 2 + n = = 0.39 x\ y 1. und 2.Klasse 3.Klasse und Besatzung Gerettet Vermisst , Malte Wissmann 3

4 Einfache Formel für (2 2) Tabellen! χ 2 n(ad bc) 2 = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) 2228( ) = = Da min(k, l) 1 = 1 ist, ist der φ Koeffizient gleich Cramer s V V = 2228 = C kor = = 0.37 Die normierten Masszahlen ändern sich nur unwesentlich. Die Vorgeschlagene Gruppenbildung verändert den Zusammenhang nur unwesentlich. Bezüglich des durch χ 2 beschriebenen Zusammenhangs sind beide Tabellen nahezu gleich bzw. weil V und C korr etwas kleiner sind bildet die gewählte Klassierung die Daten nicht besser ab als die Ausgangssituation. e) Jedoch kann man bei dieser Gruppierung eine weitere Masszahl bestimmen. Der Odds Ratio OR = a d b c = = ist größer als 1. Ein positiver Zusammenhang liegt vor. Das heisst, dass wenn ein Mitreisender der Titanic in der ersten oder zweiten Klasse wohnte, dann hat er eine höhere Rettungswahrscheinlichkeit als ein Mitreisender in der dritten Klasse oder ein Besatzungsmitglied. 2008, Malte Wissmann 4

5 Ordinale Merkmale Aufgabe 13 a) Aus den geordneten Datensätzen bekommt man die Quartile. Rang Mathe I Quartile x 0.25 x 0.5 x 0.75 Statistik I Die Boxplots sind beide recht symmetrisch (Die Noten in Mathe I sind etwas schiefer als in Statistik I), Mathe I weist einen Ausreisser nach unten auf. Beide Fächer weisen ungefähr die selbe Lage und Struktur in Bezug auf die Noten auf. Mathe I Statistik I Noten b) Nun wollen wir das Korrelationmass bestimmen. Da wir ordinale Daten vorliegen haben ist der Korrelationskoeffizient von Spearman zu bestimmen. Als Rang nehmen wir die Position im geordneten Datensatz, es 2008, Malte Wissmann 5

6 treten keine Bindungen auf. Folgende Arbeitstabelle hilft bei der Berechnung. Student Mathe I x Statistik I y R(x) R(y) d i d 2 i (c) 4.7) 4.6 (c) 4.5) (c) 5.0) Damit erhalten wir R = = 0.85, also einen starken positiven Zusammenhang in den Noten. Wer in Mathe I gut war, ist auch in Statistik I gut. c) Mit den korrigierten Daten wird die Korrelation erneut bestimmt. Diesmal kommt es zu Bindungen, so dass mittlere Ränge vergeben werden. Bei Mathe I gab es eine Bindung (zweimal 4.7) und somit J = 8 Gruppen mit verschiedenen Merkmalsausprägungen. Bei Statistik I gab es hingegen 2 Bindungen (zweimal 4.5 und zweimal 5.0), so dass es K = 7 Gruppen mit verschiedenen Merkmalsausprägungen gab. Dies ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Student R(x) R(y) d i d 2 i b j (b 2 j 1) c k (c 2 k 1) (2 2 1) = , Malte Wissmann 6

7 Es ergibt sich n(n 2 1) = 720, R korr = 8 b j (b 2 j 1) = 6, j= = 7 c k (c 2 k 1) = 12 k= = Erwartungsgemäss bleibt der starke positive Zusammenhang erhalten. Metrische Merkmale Aufgabe 14 a) Das Streudiagramm für den Zusammenhang von Geschwindigkeitsbegrenzungen und Verkehrstoten: Man erkennt eine steigende Struktur. Je höher das Tempolimit desto mehr Verkehrstote hat das Land. 2008, Malte Wissmann 7

8 b) Mit x = 61, ȳ = 4.86 erhalten wir S xx = 270 und S yy = und S xy = 23.2 als Quadratsummen. Damit kann r x,y folgendermaßen berechnet werden r x,y = = Das Korrelationsmass ist nahe 1, somit deutet es auf einen positiven Zusammenhang hin. c) Der Korrelationskoeffizient ist ein dimensionsloses Mass. Demnach ändert eine veränderte Dimension das Ergebnis nicht. d) Wenn wir die Daten für England hinzunehmen erhalten wir folgenden Zusammenhang. Man sieht, dass die Briten trotz hohem Tempolimited wenig Verkehrstote zu beklagen haben im Jahr Die Hinzunahme von den englischen Daten schwächt den Zusammenhang also deutlich ab. 2008, Malte Wissmann 8

9 e) Der Korrelationskoeffizient wird deutlich abnehmen, da England ein für die gängige Struktur untypisches Punktepaar ist. Die Hilfsgrössen für den Korrelationskoeffizienten sind: x = 62.5, ȳ = , S xx = 337.5, S yy = , S xy = 13. Das ergibt r x,y = , was auf einen sehr schwachen bis kaum vorhandenen positiven Zusammenhang hindeutet. (Prüfen Sie die Werte nach!) Aufgabe 15 Fall b > 0: Für y i den Ausdruck a + bx i einsetzen und für ȳ ist a + b x, also r x,y = np (x i x)(a+bx i (a+b x)) s np. (x i x) 2 P n (a+bx i (a+b x)) 2 Klammern auflösen und umstellen r x,y = np (x i x)(b(x i x)) s np. (x i x) 2 P n (b(x i x)) 2 Da b nicht von i abhängt darf es vor die Summen gezogen werden, so erhalten wir den Term r x,y = Wenden wir nun die Beziehung P b n (x i x) 2 s. b 2 P n (x i x) 2 P n (x i x) 2 n (x i x) 2 = n x 2 i n x 2 darauf an, dann ergibt sich r x,y = P b n x 2 i n x2 s. b 2 P ( n x 2 i n x2 ) 2 Weil ( n x 2 i n x 2 )( n x 2 i n x 2 ) = ( n x 2 i n x 2 ) , Malte Wissmann 9

10 ist, einfach ausmultiplizieren und zusammenfassen. Durch Wurzelziehen und Kürzen erhalten wir nun r x,y = 1. Für b < 0 müssen wir analog vorgehen. Im letzten Schritt hat man im Nenner b 2 stehen, was natürlich positiv ist. Zieht man die Wurzel aus b 2 so ist die Lösung der Betrag b. Oben war das kein Problem, da b positiv war. Hier ist b aber negativ, so dass b = b ist. Der Betrag ist bekanntlich der positiver Wert einer Zahl b, dass heisst wenn b negativ ist, dann ist b dieser positive Wert. Also wird b durch b dividiert und wir erhalten r x,y = , Malte Wissmann 10