Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik

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1 Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 07

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3 Gini-Koeffizient Numerisches Maß der : Gini-Koeffizient G Aus den Daten: G = G = Fläche zwischen 45 -Linie und L Fläche unter 45 -Linie n i= Problem: G max = n n i p i (n + ) n wobei p i = = x i n i= x i 3. Deskriptive 5. Induktive Normierter Gini-Koeffizient: G = n n G [0; ] 8

4 Gini-Koeffizient: Beispiel Beispiel: i 3 4 x i 5 0 p i G = ( ) (4 + ) 4 Mit G max = 4 4 = 0,75 folgt G = 4 4 0,55 = 0,7 = 0,55 3. Deskriptive 5. Induktive 83

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6 smaße: Beispiel Armutsbericht der Bundesregierung 008 Verteilung der Bruttoeinkommen in Preisen von 000 aus unselbständiger Arbeit der Arbeitnehmer/-innen insgesamt Anteil am Einkommen,0 0,8 0,6 0,4 0, 3. Deskriptive 0, 0,4 0,6 0,8,0 Anteil der Bevölkerung Arithmetisches Mittel Median Gini-Koeffizient 0,433 0,44 0,448 0, Induktive 84

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8 Lorenzkurve mit R require(ineq) # inequality Paket Lorenz = Lc(na.exclude(MyData$AusgSchuhe)) plot(lorenz, xlab="", ylab="", main="") # Standard plot plot(c(0,), c(0,), type="n", # bisschen netter panel.first=grid(lwd=.5, col=rgb(0,0,0,/)), xlab="", main="", ylab="") polygon(lorenz$p, Lorenz$L, density=-, col=rgb(0,0,,/4), lwd=) Deskriptive 5. Induktive Gini(na.exclude(AusgSchuhe)) # Gini-Koeffizient ## []

9 Weitere smaße skoeffizient: CR g = Anteil, der auf die g größten entfällt = Herfindahl-Index: H = n p i ( [ ; ]) n i= n i=n g+ Es gilt: H = n (V + ) bzw. V = n H Exponentialindex: E = n i= p p i i Im Beispiel mit x = (,,, 5): ( [ n ; ]) wobei 0 0 = CR = 7 = 0,85 0 ( ) H = E = ( ) 5 = 0,59 0 ( ) 0 ( 5 ) 5 0 = 0,44 p i = v n g 3. Deskriptive 5. Induktive 86

10 Auswertungsmethoden für zweidimensionale Daten Zweidimensionale Urliste Urliste vom Umfang n zu zwei Merkmalen X und Y: (x, y ), (x, y ),..., (x n, y n ) Kontingenztabelle: Sinnvoll bei wenigen Ausprägungen bzw. bei klassierten Daten. Ausprägungen von Y Ausprägungen von X b b... b l a h h... h l 3. Deskriptive 5. Induktive a h h... h l.... a k h k h k... h kl 87

11 Kontingenztabelle Unterscheide: Gemeinsame : h ij = h(a i, b j ) Randhäufigkeiten: l h i = h ij und h j = j= Bedingte (relative) : k i= h ij 3. Deskriptive 5. Induktive f (a i b j ) = h ij h i h j und f (b j a i ) = h ij 88

12 Beispiel: 400 unfallbeteiligte Autoinsassen: leicht verletzt schwer verletzt tot (= b ) (= b ) (= b 3 ) angegurtet (= a ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= h ) nicht angegurtet (= a ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= h ) (= h ) (= h ) (= h 3 ) (= n) 3. Deskriptive 5. Induktive f (b 3 a ) = 4 40 = 0, f (a b 3 ) = 4 0 = 0,4 (0 % der nicht angegurteten starben.) (40 % der Todesopfer waren nicht angegurtet.) 89

13 Streuungsdiagramm Beispiel: i x i y i Deskriptive 5. Induktive x = 5 5 = 5 ȳ = 8 5 = 5,6 90

14 Streuungsdiagramm Streuungsdiagramm sinnvoll bei vielen verschiedenen Ausprägungen (z.b. stetige Merkmale) Alle (x i, y i ) sowie ( x, ȳ) in Koordinatensystem eintragen. Beispiel: 9 8 i x i y y i x = 5 5 = 5 ȳ = 8 5 = 5,6 x y x 3. Deskriptive 5. Induktive 90

15 Beispiel Streuungsdiagramm 3. Deskriptive 5. Induktive (Datenquelle: Fahrmeir u. a., (009)) 9

16 Beispiel Streuungsdiagramm if (!require("rcolorbrewer")) { install.packages("rcolorbrewer") library(rcolorbrewer) } mieten <- read.table(' header=true, sep='\t', check.names=true, fill=true, na.strings=c('','')) x <- cbind(nettomieten=mieten$nm, Wohnflaeche=mieten$wfl) library("geneplotter") ## from BioConductor smoothscatter(x, nrpoints=inf, colramp=colorramppalette(brewer.pal(9,"ylorrd")), bandwidth=c(30,3)) Wohnflaeche Deskriptive 5. Induktive

17 Beispiel Streuungsdiagramm x = cbind("alter des Vaters"=AlterV, "Alter der Mutter"=AlterM) require("geneplotter") ## from BioConductor smoothscatter(x, colramp=colorramppalette(brewer.pal(9,"ylorrd")) ) Alter der Mutter Deskriptive 5. Induktive Alter des Vaters 93

18 require(ggally) ggpairs(mydata[, c("alter", "AlterV", "AlterM", "Geschlecht")], upper = list(continuous = "density", combo = "box"), color='geschlecht', alpha=0.5) 0.5 Alter AlterV AlterM Geschlecht Frau Mann Alter AlterV AlterM Geschlecht 3. Deskriptive 5. Induktive Frau Mann 94

19 Bagplot: Boxplot in Dimensionen require(aplpack) bagplot(jitter(alterv), jitter(alterm), xlab="alter des Vaters", ylab="alter der Mutter") ## [] "Warning: NA elements have been exchanged by median values!!" Alter der Mutter Deskriptive 5. Induktive Alter des Vaters 95

20 Bubbleplot: 3 metrische Variablen require(desctools) My.ohne.NA = na.exclude(mydata[,c("alterm", "AlterV", "Alter")]) with(my.ohne.na, { Alter.skaliert = (Alter-min(Alter))/(max(Alter)-min(Alter)) PlotBubble(jitter(AlterM), jitter(alterv), Alter.skaliert, col=setalpha("deeppink4",0.3), border=setalpha("darkblue",0.3), xlab="alter der Mutter", ylab="alter des Vaters", panel.first=grid(), main="") }) Alter des Vaters Deskriptive 5. Induktive Alter der Mutter Größe der Blasen: Alter zwischen 0 (Jüngster) und (Ältester) 96

21 Circular Plots: Assoziationen require(desctools) with(mydata, { PlotCirc(table(Studiengang, Geschlecht), acol=c("dodgerblue","seagreen","limegreen","olivedrab","goldenrod","tomato"), rcol=setalpha(c("red","orange","olivedrab"), 0.5) )}) Mann BW ET 3. Deskriptive 5. Induktive IM Frau Inf 97

22 srechnung Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? Dazu: skoeffizienten Verschiedene Varianten: Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y: Skalierung von Y Skalierung von X kardinal ordinal nominal kardinal ordinal Bravais-Pearson- skoeffizient Rangkorrelationskoeffizient von Spearman 3. Deskriptive 5. Induktive nominal Kontingenzkoeffizient 98

23 srechnung Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? Dazu: skoeffizienten Verschiedene Varianten: Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y: Skalierung von Y Skalierung von X kardinal ordinal nominal kardinal ordinal Bravais-Pearson- skoeffizient Rangkorrelationskoeffizient von Spearman 3. Deskriptive 5. Induktive nominal Kontingenzkoeffizient 98

24 srechnung Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? Dazu: skoeffizienten Verschiedene Varianten: Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y: Skalierung von Y Skalierung von X kardinal ordinal nominal kardinal ordinal Bravais-Pearson- skoeffizient Rangkorrelationskoeffizient von Spearman 3. Deskriptive 5. Induktive nominal Kontingenzkoeffizient 98

25 y skoeffizient von Bravais und Pearson Bravais-Pearson-skoeffizient Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert n P n P (xi x)(y i y) x y x xi yi nx y i= s r = s i= [ ; +] = s n n n n P P P P (xi x) x i nx yi ny (yi y) i= i= i= i= 3. Deskriptive Induktive

26 skoeffizient von Bravais und Pearson Bravais-Pearson-skoeffizient Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert n n (x i x)(y i ȳ) x i y i n xȳ i= i= r = = [ ; +] n (x i x) n n n (y i ȳ) x i n x y i nȳ i= i= i= i= r = r = 0,999 r = 0, Deskriptive 5. Induktive r = 0,9 r = 0,487 r = 0,03 99

27 Bravais-Pearson-skoeffizient Im Beispiel: i x i y i x i y i x i y i x = 5/5 = 5 ȳ = 8/5 = 5,6 3. Deskriptive 5. Induktive r = , ,6 = 0,703 (deutliche positive ) 00

28 Guess The Correlation guessthecorrelation.com 3. Deskriptive 5. Induktive Go for the Highscore! 0

29 Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Voraussetzungen: X, Y (mindestens) ordinalskaliert, Ränge eindeutig (keine Doppelbelegung von Rängen) Vorgehensweise: ➀ Rangnummern R i (X) bzw. R i (Y) mit R ( ) i Wert usw. ➁ Berechne Hinweise: r SP = 6 n (R i R i ) i= (n ) n (n + ) r SP = + wird erreicht bei R i = R i r SP = wird erreicht bei R i = n + R i = bei größtem [ ; +] i =,..., n i =,..., n Falls Ränge nicht eindeutig: Bindungen, dann Berechnung von r SP über Ränge und Formel des Korr.-Koeff. von Bravais-Pearson 3. Deskriptive 5. Induktive 0

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31 Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Im Beispiel: x i R i y i R i Deskriptive r SP = 6 [(5 4) + (3 5) + (4 3) + ( ) + ( ) ] (5 ) 5 (5 + ) = 0,6 5. Induktive 03