Kapitel 3: Lagemaße. Ziel. Komprimierung der Daten zu einer Kenngröße, welche die Lage, das Zentrum der Daten beschreibt

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1 Kapitel 3: Lagemaße Ziel Komprimierung der Daten zu einer Kenngröße, welche die Lage, das Zentrum der Daten beschreibt Dr. Matthias Arnold 52

2 Definition 3.1 Seien x 1,...,x n Ausprägungen eines kardinal skalierten Merkmals X, dann heißt n arithmetisches Mittel von X. x = 1 n i=1 x i Beispiel 3.1 (Ventillebensdauern, vgl. Kapitel 2) x = 1 n n x i = 1 ( ) = 313,17 30 i=1 Dr. Matthias Arnold 53

3 Beispiel 3.1 (Fortsetzung) Vorgehen, wenn Daten lediglich in klassierter Form vorliegen? Betrachte etwa Klassierung wie in Beispiel 2.5 Klasse (von... bis unter... Stunden) h(a j ) Klassenmittel Klassenmitte / / /30 253, / /30 449, /30 546, Dr. Matthias Arnold 54

4 Definition 3.2 Gegeben sei ein kardinal skaliertes Merkmal X mit Ausprägungen x 1,...,x n und zugehörigen Gewichten g 1,...,g n, für die g i 0 für alle i = 1,...,n und n g i = 1 i=1 gelte. Dann heißt x g = n g i x i = g 1 x g n x n i=1 gewichtetes arithmetisches Mittel von X. Dr. Matthias Arnold 55

5 Beispiel 3.2 (Ventillebensdauern, Klassierung wie in Beispiel 3.1) Verwende relative Häufigkeiten h(a i ) als Gewichte g i a) Annahme: Klassenmittel bekannt x g = ,67 = 313,17 = x 30 klar, da x g = 2 30 [1 2 (30+70)] [1 5 ( )] [1 3 ( )] = 1 30 ( ) = x Dr. Matthias Arnold 56

6 Beispiel 3.2 (Fortsetzung) b) Annahme: Klassenmittel unbekannt x g = = 316,67 30 bei unbekanntem Klassenmittel stimmen x und x g in der Regel nicht überein Dr. Matthias Arnold 57

7 Beispiel 3.3 a) Betrachte für die letzten 15 Jahre die Platzierungen des BVB in der Bundesliga-Abschlusstabelle: 5, 6, 13, 9, 7, 7, 6, 3, 1, 3, 11, 4, 10, 3, 1 Durchschnittlicher Tabellenplatz (gemäß des arithmetischen Mittels): x = 5,9 3??? Derartige Angabe nicht sinnvoll interpretierbar, da Tabellenplätze normalerweise ganzzahlig Tabellenplätze außerdem ordinal skaliert die möglichen Platzierungen (1-18) sind nicht naturgegeben, könnten daher (unter Beibehaltung der Reihenfolge) auch willkürlich in andere Zahlen transformiert werden (z.b. 1; 2,5; 3; 5; 7,7;... ; 99); x und x g gegenüber derlei Umskalierungen nicht robust Dr. Matthias Arnold 58

8 Beispiel 3.3 (Fortsetzung) b) Betrachte 10 Personen, 9 davon haben ein Jahreseinkommen von Euro; Person 10: Jahreseinkommen von Euro (fiktive Zahlen) x = Euro x (und auch x g ) sehr anfällig gegenüber Ausreissern Definition 3.3 Sei X ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal mit beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n. Mit x (i) ist der i-te Wert der aufsteigend geordneten Daten bezeichnet. Dann heißt x ( n+1 2 ), n ungerade x = ( ) 1 2 x ( n 2) +x ( n +1), n gerade 2 Median von X. Dr. Matthias Arnold 59

9 Beispiel 3.4 (vgl. Beispiel 3.3) a) Im Durchschnitt hat der BVB in der Bundesliga-Abschlusstabelle auf Basis der letzten 15 Jahre den 6. Platz belegt, denn n = 15 = ungerade x = x (8) und x (1) = x (2) = 1, x (3) =... = x (5) = 3, x (6) = 4, x (7) = 5, x (8) = x (9) = 6, x (10) = x (11) = 7, x (12) = 9, x (13) = 10, x (14) = 11, x (15) = 13 Dr. Matthias Arnold 60

10 Beispiel 3.4 (Fortsetzung) b) Das Durchschnittseinkommen der 10 Personen im fiktiven Beispiel aus Beispiel 3.3 b) beträgt (gemäß des Medians) Euro, denn und n = 10 = gerade x = 1 2 (x (5) +x (6) ) x (1) =... = x (9) = , x (10) = x = = Dr. Matthias Arnold 61

11 Bemerkung Der Median stimmt oft mit einer beobachteten Ausprägung überein Der Median ist robuster gegenüber Ausreissern als x und x g Nachteil des Medians: Häufig großer Informationsverlust, da nur die mittleren Beobachtungen relevant sind Dr. Matthias Arnold 62

12 Bemerkung (Eigenschaften von arithm. Mittel und Median) Bei linearen Datentransformationen der Form y i = a x i +b mit a 0 (i = 1,...,n) gilt: ȳ = a x+b und ỹ = a x+b. Beide Lagemaße minimieren jeweils eine Zielfunktion: ( n ) ( n ) x = argmin (x i z) 2 und x = argmin x i z z R z R i=1 i=1 Dr. Matthias Arnold 63

13 Beispiel 3.5 Kardinal skaliertes Merkmal: Arithmetisches Mittel; Ordinal skaliertes Merkmal: Median; Nominale Skalierung:??? Notiere etwa Farbe der Fahrzeuge auf dem Uniparkplatz: rot, grün, grün, blau, blau, rot, schwarz, weiss, rot, schwarz (vergleiche Beispiel 1.1) sinnvolles Lagemaß? Definition 3.4 Als Modalwert bzw. Modus wird die Ausprägung eines beliebig skalierten Merkmals X bezeichnet, die am häufigsten auftritt; Bezeichnung: x mod Dr. Matthias Arnold 64

14 Beispiel 3.6 (vgl. Beispiel 3.5, Fahrzeugfarben) Häufigkeiten der beobachteten Farben: 3 rot, 2 blau, 2 grün, 2 schwarz, 1 weiss x mod =rot Bemerkung (Nachteile des Modus) Modalwert muss nicht eindeutig sein Bei quantitativ stetigen Daten sind oft sämtliche Beobachtungen unterschiedlich voneinander; hier liefert der Modus keine Informationen Klassierung der Daten; als Modus kann die Mitte der Klasse mit der größten Klassenhäufigkeit aufgefasst werden (im Rahmen der Klassierung von Beispiel 3.1 gilt also x mod = 350) Dr. Matthias Arnold 65

15 Beispiel 3.7 Aktienkurse zu drei Zeitpunkten (fiktiv) Zeitpunkt i Aktienkurs x i Wachstumsrate r i 0,6-0,375 Wachstumsfaktor (1+r i ) 1,6 0,625 wobei r i = x i x i 1 x i 1 Durchschnittliche Wachstumsrate? r = 1 (0,6+( 0,375)) = 0, Unsinn, da (wegen x 0 = x 2 ) r = 0 gelten muss Dr. Matthias Arnold 66

16 Definition 3.5 Sei X ein kardinal skaliertes Merkmal mit Ausprägungen x 1,...,x n 0. Dann heißt x geo = n x 1 x 2 x n das geometrische Mittel von x 1,...,x n. Beispiel 3.8 (vgl. Beispiel 3.7) Auch negative Wachstumsraten möglich (hier etwa r 2 = 0,375) berechne geometrisches Mittel (1+r) geo aus den Wachstumsfaktoren r = (1+r) geo 1 (1+r) geo = 1,6 0,625 = 1 r = 1 1 = 0 Dr. Matthias Arnold 67

17 Bemerkung a) Herleitung des geometrischen Mittels (exemplarisch anhand Situation aus Beispiel 3.7 bzw. 3.8) Kurs z. Zeitpkt. 0 : x0 Kurs z. Zeitpkt. 1 : x 0 +r 1 x 0 = x 0 (1+r 1 ) = x 1 Kurs z. Zeitpkt. 2 : x 2 = x 1 (1+r 2 ) = x 0 (1+r 1 ) (1+r 2 ) Gesucht: Geeigneter Durchschnitt von r1,r 2 (= r) Anforderungen an r : x 0 (1+ r) (1+ r) = x 0 (1+ r) 2 = x 0 (1+r 1 ) (1+r 2 ) Division durch x 0 und Auflösung nach r : (1+ r) = 2 (1+r 1 ) (1+r 2 ) r = 2 (1+r 1 ) (1+r 2 ) 1 Dr. Matthias Arnold 68

18 Bemerkung (Fortsetzung) b) Allgemein gilt x geo x ( x geo = x genau dann, wenn x 1 =... = x n ) c) Verwende x geo, falls Merkmalsausprägungen relativen Änderungen entsprechen Dr. Matthias Arnold 69

19 Bemerkung Andere Lagemaße, die nicht unbedingt dem Durchschnitt der Merkmalsausprägungen entsprechen: Quantile Sei 0 < p < 1; Jeder Wert x p, für den mindestens ein Anteil p 100 Prozent der Daten kleiner/gleich x p, und mindestens ein Anteil (1 p) 100 Prozent größer/gleich x p ist, heißt p Quantil, d.h. F n (x p ) p und Anzahl(x Werte x p ) n 1 p Dr. Matthias Arnold 70

20 Bemerkung (Fortsetzung) Problem: x p muss nicht eindeutig sein - betrachte etwa ein beliebiges Merkmal mit Ausprägungen 1 bis 10; gesucht: 0, 2 Quantil F n (x) = 0,2 für 2 x < 3, F n (3) = 0,3 und { Anzahl(Beobachtungen x) 0,9 x = 2 10 = 0,8 2 < x 3 sämtliche x [2,3] erfüllen die Bedingungen des 0,2-Quantils Dr. Matthias Arnold 71

21 Definition 3.6 (eindeutige Definition des p Quantils) Für 0 < p < 1 und ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt { x x p = ( np +1), np nicht ganzzahlig 1 (x ) 2 (np) +x (np+1), np ganzzahlig p Quantil von X. Dr. Matthias Arnold 72

22 Bemerkung a) Fiktives Zahlenbeispiel aus Bemerkung 2 vor Definition 3.6 (Merkmal X mit Ausprägungen 1-10): n = 10, p = 0.2 n p = 2 ganzzahlig nach Definition 3.6 ist x 0,2 = 1/2 (x (2) +x (3) ) = 2,5 b) Besonders gebräuchliche Quantile 0,25-Quantil x 0,25 (unteres Quartil) 0,75-Quantil x 0,75 (oberes Quartil) Median x = x 0,5 x (1),x 0,25, x,x 0,75,x (n) = 5-Punkte-Zusammenfassung Dr. Matthias Arnold 73

23 Bemerkung (Fortsetzung) c) Grafische Darstellung der 5-Punkte-Zusammenfassung durch Box-Plot Schachtel (Box): beinhaltet 50 Prozent der mittleren Daten; Anfang der Box: x 0,25 ; Ende der Box: x 0,75 Strich in der Box: markiert den Median Whiskers (Barthaare): Linien, welche Anfang bzw. Ende der Box mit x (1) bzw. x (n) verbinden Dr. Matthias Arnold 74

24 Beispiel 3.9 (BVB-Abschlussplatzierungen,vgl. Beispiel 3.3) x (1),...,x (15) = 1,1,3,3,3,4,5,6,6,7,7,9,10,11,13 p = 0,25 n p = 15 0,25 = 3,75 nicht ganzzahlig x 0,25 = x (4) = 3 p = 0,5 x = x (8) = 6, vgl. Beispiel 3.4 p = 0,75 n p = 15 0,75 = 11,25 nicht ganzzahlig x 0,75 = x (12) = 9 Dr. Matthias Arnold 75

25 Beispiel 3.9 (Fortsetzung) Boxplot der BVB Platzierungen Platzierung Dr. Matthias Arnold 76

26 Beispiel 3.9 (Fortsetzung) Platzierung BVB Platzierung Schalke 04 Dr. Matthias Arnold 77

27 Bemerkung (Fazit zu Lagemaßen) (Gewichtetes) arithmetisches Mittel nur für kardinal skalierte Merkmale geeignet Geometrisches Mittel ebenfalls nur bei kardinalem Messniveau; bei relativen Änderungen (z.b. durchschnittlichen Wachstumsraten) zu verwenden Median/Quantile für ordinal und kardinal skalierte Merkmale geeignet Modus für alle Skalenniveaus verwendbar (bei stetigen, unklassierten Daten allerdings oft ohne Aussagekraft) Dr. Matthias Arnold 78

28 Kapitel 4: Streuungsmaße Motivation Lagemaß fasst Zentrum/Schwerpunkt der Daten in einer Kenngröße zusammen; wie weit sich die Daten um dieses Zentrum herum bewegen wird durch Lagemaß jedoch nicht deutlich Dr. Matthias Arnold 79

29 Beispiel 4.1 Jahresgewinn von zwei Unternehmen X und Y in TEUR, in fünf aufeinanderfolgenden Jahren beobachtet Zeitpunkt Gewinn X , ,5 Gewinn Y x = 100 und ȳ = 100 Lagemaß allein zur Beschreibung eines Datensatzes oft nicht ausreichend Dr. Matthias Arnold 80

30 Beispiel 4.1 (Fortsetzung) Gewinn Unternehmen Y Unternehmen X Jahr Dr. Matthias Arnold 81

31 Definition 4.1 Betrachte ein Merkmal X mit mindestens ordinalem Skalenniveau und Ausprägungen x 1,...,x n. Dann heißt Spannweite von X und Quartilsabstand von X. R x = max{x i } min{x i } i i = x (n) x (1) Q x = x 0,75 x 0,25 Dr. Matthias Arnold 82

32 Beispiel 4.2 (vgl. Beispiel 4.1, Unternehmensgewinne) Geordnete Reihe x (1),...,x (n) von Kurs X : 90 ; 95 ; 102,5 ; 105 ;107,5 ; Kurs Y : 80 ; 85 ; 90 ; 115 ; 130 R x = 107,5 90 = 17,5 und R y = = 50 0,25 5 = 1,25 x 0,25 = x (2) = 95, y 0,25 = y (2) = 85; 0,75 5 = 3,75 x 0,75 = x (4) = 105, y 0,75 = y (4) = 115, also ist Q x = = 10 und Q y = = 20 Dr. Matthias Arnold 83

33 Bemerkung Spannweite einfachstes Streuungsmaß, leicht zu berechnen; findet Anwendung in Bereichen, wo Extremwerte interessant sind (Börsenkurse, Warenpreise,...) Nachteil Spannweite: Sehr empfindlich gegenüber Ausreissern, da nur größte und kleinste Beobachtung berücksichtigt werden Quartilsabstand gegenüber Ausreissern robuster, beschreibt zentralen Bereich der Daten Weder Spannweite noch Quartilsabstand beziehen sich auf ein Lagemaß Dr. Matthias Arnold 84

34 Definition 4.2 Betrachte ein Merkmal X mit mindestens ordinalem Skalenniveau und Ausprägungen x 1,...,x n. Dann heißt d x = 1 n n x i x i=1 mittlere absolute Abweichung (vom Median) von X und x = 1 n n n 2 x i x j i=1 j=1 mittlere absolute Differenz von X. Dr. Matthias Arnold 85

35 Beispiel 4.3 (vgl. Beispiele 4.1 & 4.2, Unternehmensgewinne) x = 102,5 und ỹ = 90 d x d y = 1 5 ( , , ,5 102, , ,5 102,5 ) = 5,5 und = 1 5 ( ) = 16 > d x Dr. Matthias Arnold 86

36 Beispiel 4.3 (Fortsetzung) x = = 7,2 und y = 1 25 ( , , ,5 107,5 ) 1 25 ( ) = 20,8 > x Es gilt d x < d y und x < y, Beide Streuungsmaße entsprechen der Grafik in Beispiel 4.1 (größere Streuung von Gewinn Y im Vergleich zu X) Dr. Matthias Arnold 87

37 Bemerkung Mittlere absolute Abweichung und mittlere absolute Differenz sind feinere Streuungsmaße als Spannweite und der Quartilsabstand, da alle Beobachtungen berücksichtigt werden Im Gegensatz zu Spannweite, Quartilsabstand und mittlerer absolute Differenz bezieht sich d x auf ein Lagemaß, nämlich den Median Ebenfalls berechenbar: Mittlere absolute Abweichung von einem anderen Lagemaß (z.b. arithmetischem Mittel) Nachteil von d x und x im Vergleich zu Spannweite und Quartilsabstand: Erheblich höherer Rechenaufwand (die Doppelsumme in Beispiel 4.3 etwa resultiert in 25 Summanden) Dr. Matthias Arnold 88

38 Definition 4.3 Betrachte ein Merkmal X mit kardinalem Skalenniveau und Ausprägungen x 1,...,x n. Dann heißt s 2 x = 1 n n (x i x) 2 i=1 Varianz oder mittlere quadratische Abweichung von X und Standardabweichung von X. s x = s 2 x Dr. Matthias Arnold 89

39 Beispiel 4.4 (vgl. Beispiele 4.1, 4.2 & 4.3, Unternehmensgewinne) x = ȳ = 100 (vgl. Beispiel 4.1) s 2 x = 1 [ (90 100) 2 +( ) 2 +(102,5 100) 2 5 +(95 100) 2 +(107,5 100) 2] = 42,5 und s x = s 2 x = 6,519 und s 2 y = 1 [ (80 100) 2 +( ) 2 +(90 100) 2 5 +(85 100) 2 +( ) 2] = 370 > s 2 x und s y = s 2 y = 19,235 > s x Größere Streuung der Gewinne von Unternehmen Y im Vergleich zu Unternehmen X wird durch beide Maße ebenfalls wiedergegeben Dr. Matthias Arnold 90

40 Bemerkung a) Varianz bzw. Standardabweichung populärste Streuungsmaße b) Standardabweichung hat gleiche Dimension/Maßeinheit wie die Ausprägungen wird manchmal gegenüber der Varianz bevorzugt; betrachte etwa Unternehmen X aus Beispiel 4.4: s x = 6,519 Euro, s 2 x = 42,5 Euro 2 c) s 2 x = 0 x i = x für alle i = 1,...,n d) Definition 4.3: Dividiere die summierten und quadrierten Differenzen durch n häufig auch Division durch n 1; Grund: später Dr. Matthias Arnold 91

41 Bemerkung (Fortsetzung) e) Alternative Berechnung von s 2 x (immer mit Formel aus Definition 4.3 übereinstimmend): s 2 x = 1 n n x 2 i ( x) 2 i=1 Überprüfe e) anhand Unternehmen X (vgl. die Beispiele 4.1 bis 4.4) s 2 x = 1 ( , ,5 2) = 10042, = 42,5 gleiches Ergebnis wie in Beispiel 4.4 (dort Verwendung der Formel aus Definition 4.3) Dr. Matthias Arnold 92

42 Bemerkung (Fortsetzung) f) Seien y i transformierte Werte von x i mit y i = a x i +b (a,b R, i = 1,...,n). Dann gilt Ry = a R x Qy = a Q x d y = a d x y = a x s 2 y = a 2 s 2 x bzw. s y = a s x, außerdem sind alle Streuungsmaße immer nicht negativ! Dr. Matthias Arnold 93

43 Bemerkung (Fortsetzung) g) Fazit zu Streuungsmaßen Varianz und Standardabweichung nur für kardinal skalierte Merkmale geeignet Spannweite, Quartilsabstand, mittlere absolute Abweichung und mittlere absolute Differenz für ordinal und kardinal skalierte Merkmale geeignet Neben Lagemaß liefert Streuungsmaß weitere Infos über die Datenbeschaffenheit Streuungsmaß kann als Ergänzung zu Lagemaß angesehen werden (Varianz kennzeichnet etwa Repräsentativität des Mittelwertes) Beispiel 4.1, Unternehmensgewinne: Betrachte Lagemaß (Mittelwert) alleine Beide Datensätze erscheinen ähnlich/gleich (Trugschluß, vergleiche Grafik in Beispiel 4.1) zusätzliche Angabe eines Streuungsmaßes klärt den Sachverhalt auf Dr. Matthias Arnold 94