Kapitel 1 Beschreibende Statistik

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1 Beispiel 1.25: fiktive Aktienkurse Zeitpunkt i Aktienkurs x i Frage: Wie hoch ist die durchschnittliche Wachstumsrate? Dr. Karsten Webel 53

2 Beispiel 1.25: fiktive Aktienkurse (Fortsetzung) Wachstumsrate: r i = x i x i 1 x i 1 hier: r 1 = 0,6 und r 2 = 0,375 also: r a = 1 2 (0,6 + ( 0,375)) = 0,1125 Unsinn, da wegen x 0 = x 2 gelten muss: r = 0 Dr. Karsten Webel 54

3 Definition 1.26: geometrisches Mittel Für ein metrisch skaliertes Merkmal X mit den nichtnegativen beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt x g = n x 1 x 2 x n geometrisches Mittel von X. Dr. Karsten Webel 55

4 Beispiel 1.27: (Fortsetzung Bsp. 1.25) Da Wachstumsraten negativ sein können, verwende statt ihnen die Wachstumsfaktoren 1 + r i. Dann gilt: r = geometrisches Mittel der Wachstumsfaktoren 1 = n (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r n ) 1 = (1 + 0,6)(1 0,375) 1 = 0. Dr. Karsten Webel 56

5 Bemerkung 1.28: Weitere Lagemaße, die nicht notwendigerweise den Durchschnitt der Beobachtungen anzeigen, sind z.b. Quantile. Für 0 < p < 1 ist jeder Wert x p mit # {x Werte x p } n # {x Werte x p } n = F n (x p ) p und 1 p ein p-quantil. Jedoch muss x p nach dieser Definition nicht eindeutig sein. Dr. Karsten Webel 57

6 Definition 1.29: p-quantil Für 0 < p < 1 und ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt x ( np +1), np nicht ganzzahlig x p = 1 2 (x ) (np) + x (np+1), np ganzzahlig p-quantil von X. Dr. Karsten Webel 58

7 Bemerkung 1.30: Besonders gebräuchlich sind folgende Quantile: unteres Quartil x 0,25 oberes Quartil x 0,75 Median x m = x 0,5 Damit ergibt sich die 5-Zahlen-Zusammenfassung bzw. der Box-Plot als umfassende und übersichtliche Darstellung eines Datensatzes. Dr. Karsten Webel 59

8 Beispiel 1.31: Box-Plot der erreichten Punkte (Fortsetzung Bsp. 1.1) erreichte Punkte x (1) = 0; x 0,25 = 3; x m = 4,75; x 0,75 = 6; x (92) = 11 Dr. Karsten Webel 60

9 Bemerkung 1.32: Fazit zu Lagemaßen (gewichtetes) arithmetisches Mittel nur für metrisch skalierte Merkmale geeignet Median und Quantile für ordinal und metrisch skalierte Merkmale geeignet unbedingt geometrisches Mittel zur Berechnung durchschnittlicher Wachstumsraten verwenden Dr. Karsten Webel 61

10 Streuungsmaße

11 Beispiel 1.33: Zwei fiktive Kursverläufe Mo Di Mi Do Fr X , ,5 Y x a = 100 und ȳ a = 100 Lagemaße allein reichen zur Beschreibung eines Datensatzes oft nicht aus. Dr. Karsten Webel 63

12 Beispiel 1.33: Zwei fiktive Kursverläufe (Fortsetzung) 130 Aktie X Aktie Y 120 Kurs Mo Di Mi Do Fr Dr. Karsten Webel 64

13 Definition 1.34: Spannweite und Quartilsabstand Für ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt R x = max i {x i } min i {x i } = x (n) x (1) Spannweite von X und Q x = x 0,75 x 0,25 Quartilsabstand von X. Dr. Karsten Webel 65

14 Beispiel 1.35: Zwei fiktive Kursverläufe (Fortsetzung Bsp. 1.33) Für die beiden Börsenkurse X und Y gilt: R x = 107,5 90 = 17,5 und R y = = 50. Dr. Karsten Webel 66

15 Bemerkung 1.36: a) Die Spannweite ist ein sehr einfaches Streuungsmaß. Sie findet Anwendung in Bereichen, in denen Extremwerte interessant sind, z.b. bei Börsenkursen oder Preisen. b) Der Quartilsabstand ist etwas unempfindlicher gegen Ausreißer. Er beschreibt den zentralen Bereich eines Datensatzes, hat sich in der Praxis aber nicht durchgesetzt. c) Beide Streuungsmaße beziehen sich nicht auf ein Lagemaß. Dr. Karsten Webel 67

16 Definition 1.37: mittlere absolute Abweichung & mittlere absolute Differenz Für ein mindestens ordinal skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt d x = 1 n n x i x m i=1 mittlere absolute Abweichung (vom Median) von X und x = 1 n 2 n i=1 n x i x j j=1 mittlere absolute Differenz von X. Dr. Karsten Webel 68

17 Beispiel 1.38: Zwei fiktive Kursverläufe (Fortsetzung Bsp. 1.35) d x = 1 5 ( , , ,5 102, , ,5 102,5 ) = 5,5 < 16 = d y x = 1 25 ( , ,5 102, , ,5 107,5 ) = 7,2 < 20,8 = y Dr. Karsten Webel 69

18 Bemerkung 1.39: a) Die mittlere absolute Abweichung und die mittlere absolute Differenz sind feinere Streuungsmaße als die Spannweite und der Quartilsabstand, da sie alle Beobachtungen berücksichtigen. b) Ihre Bestimmung ist allerdings mit einem erheblich höheren Rechenaufwand verbunden. Dr. Karsten Webel 70

19 Definition 1.40: Varianz & Standardabweichung Für ein metrisch skaliertes Merkmal X mit den beobachteten Ausprägungen x 1,x 2,...,x n heißt s 2 x = 1 n n (x i x a ) 2 Varianz (oder mittlere quadratische Abweichung) von X und i=1 s x = s 2 x Standardabweichung von X. Dr. Karsten Webel 71

20 Beispiel 1.41: Zwei fiktive Kursverläufe (Fortsetzung Bsp. 1.38) Für die beiden fiktiven Aktienkurse X und Y ergibt sich: s 2 x = 1 5 [ (90 102,5) 2 + ( ,5) 2 + (102,5 102,5) 2 +(95 102,5) 2 + (107,5 102,5) 2] = 42,5 < 370 = s 2 y Alternativ: s x = 6,519 < 19,235 = s y Dr. Karsten Webel 72

21 Bemerkung 1.42: a) Die Varianz und die Standardabweichung sind die in der Praxis am häufigsten verwendeten Streuungsmaße. b) Die Standardabweichung hat die gleiche Dimension bzw. Maßeinheit wie die Beobachtungen. Daher wird sie manchmal gegenüber der Varianz bevorzugt. Dr. Karsten Webel 73

22 Satz 1.43: alternative Berechnung der Varianz Für die Varianz eines Merkmals X gilt stets: s 2 x = 1 n n x 2 i ( x a ) 2. i=1 Dr. Karsten Webel 74

23 Beispiel 1.44: Zwei fiktive Kursverläufe (Fortsetzung Bsp. 1.41) Für den fiktiven Aktienkurs X gilt mit x a = 100: s 2 x = 1 5 ( , , 5 2) = 10042, = 42, 5. Dr. Karsten Webel 75

24 Satz 1.45: Eigenschaften diverser Streuungsmaße Bei linearen Datentransformationen der Form y i = a x i + b mit a,b R (i = 1,...,n) gilt: R y = a R x, d y = a d x, y = a x und s 2 y = a 2 s 2 x bzw. s y = a s x. Ferner gilt immer, dass alle Streuungsmaße nicht negativ sind. Dr. Karsten Webel 76

25 Bemerkung 1.46: Fazit zu Streuungsmaßen Varianz und Standardabweichung nur für metrisch skalierte Merkmale geeignet mittlere absolute Abweichung und mittlere absolute Differenz für ordinal und metrisch skalierte Merkmale geeignet Dr. Karsten Webel 77