Lage- und Streuungsmaße

Transkript

1 Statistik 1 für SoziologInnen Lage- und Streuungsmaße Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Streuungsmaße Statistische Maßzahlen, welche die Variabilität oder die Streubreite in den Daten messen. Sie beschreiben die Abweichung vom Zentrum einer Häufigkeitsverteilung Wie eng liegen die Merkmalsausprägungen eines quantitativen Merkmals beieinander? Maßzahlen: Differenz von Quantilen Summe der Abstände aller Merkmalsausprägungen von einem Lagemaß Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

3 Beispiel: Altersverteilungen mit gleichem Mittel Gruppe A Gruppe B Gruppe A Gruppe B Durchschnitt 37,1 37,1 Minimum x (1) 1,0 1,0 Maximum x (n) 57,0 57,0 Spannweite x (n) - x (1) 36,0 36, bis 9 30 bis bis bis bis 70 3 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

4 Verschiedene Verteilungen Alle 3 Verteilungen sind unimodal, symmetrisch und weisen Verschiedene Normalverteilungen den selben Mittelwert auf N(0; 0,5) Sie unterscheiden sich in Bezug auf ihre Streuung um den Mittelwert! N(0; 1) N(0; 4) Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

5 Streuungsmaße (1) Spannweite (range) Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert einer numerischen Variablen; Wertebereich, in dem alle Merkmalswerte liegen R x x ( n ) (1) Für die Praxis der Streuungsmessung oft nur wenig aussagekräftig, da stark von einzelnen Beobachtungen abhängig 5 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

6 Streuungsmaße () Quartilsabstand (IQ-range) Differenz zwischen drittem und erstem Quartil; Innerhalb des Quartilsabstandes liegen 50% der Werte; unempfindlich gegenüber Extremwerten ~ x ~ x 0,75 0,5 Entspricht genau der Boxlänge im Boxplot Hinweis zur Notation: Zur besseren Markierung der Quantile verwenden wir über dem x das Symbol ~ 6 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

7 Abstände vom arithmetischen Mittel Arithmetische Mittel Die positiven und negativen Abweichungen vom arithmetischen Mittel kompensieren einander und summieren sich immer zu null. n (x x) 0 x nx i i1 i1 n i 7 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

8 Mittlere Absolutabstände von einem Lagemaß Mittlere absolute Abweichung vom Median (mean absolute deviation (from the median) - MD) 1 n i n i 1 MD x x Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel (mean absolute deviation (from the mean) - MAA) 1 n i n i 1 MAA x x Median der absoluten Abweichungen vom Median (median absolute deviation - MAD) MAD median( x x ) 8 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen i

9 Mittlerer quadrierter Abstand vom Mittelwert Varianz (variance) n 1 n i 1 x i x Die mittlere quadrierte Abweichung vom arithmetischen Mittel Häufig wird in der Praxis auch statt durch n durch n-1 dividiert. Dies ist v.a. dann sinnvoll, wenn man auf der Basis einer Stichprobe Aussagen für die Grundgesamtheit treffen möchte (Erklärung folgt im.semester) Excel-Funktionen: Varianz (n-1) bzw. Varianzen (n) 9 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

10 Berechnung von Streuungsmaßen (siehe Excel) Nr. Gruppe A Abweichung vom Mittel Absolute Abweichung vom Median Quadratierte Abweichung vom Mittel Nr. Abweichung Gruppe B vom Mittel Absolute Abweichung vom Median Quadratierte Abweichung vom Mittel ,1 10,0 170, ,1 16,0 57,6 34-3,1 0,0 9,3 35 -,1,0 4, ,1 0,0 9, ,1 3,0 9, ,1 1,0 4, ,0 0,0 0, ,1 11,0 197, ,1,0 4, 6 3-5,1,0 5, ,1 1,0 1, ,1 13,0 57, ,0 0,0 0, ,1,0 1, ,1 3,0 9, ,1 4,0 49, ,1,0 4, ,1,0 5, ,0,0 3, ,1 0,0 9, ,0 0,0 398, ,0 4,0 0, ,0 0,0 0, ,1 1,0 6, ,1 1,0 1, ,0 19,0 54, ,0 1,0 0, ,0 0,0 87, ,0 0,0 0, ,0 17,0 194, ,1 3,0 9, ,1 11,0 197, ,0 1,0 0, ,0 3,0 398, ,0,0 3, ,0 0,0 87, ,0 3,0 8, ,0 0,0 87, ,0 5,0 4,5 Summe: 0,0 191,0 893,0 Summe: 0,0 67,0 741,0 9,55 144,6 3,35 37,0 MD Varianz MD Varianz 10 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

11 Abgeleitete Streuungsparameter Standardabweichung (standard deviation) n 1 n i 1 x i x Quadratwurzel aus der Varianz Ist wieder in derselben Dimension wie die Beobachtungen und ist somit anschaulicher als die Varianz Variationskoeffizient (coefficient of variance) v x bzw. Standardabweichung ausgedrückt in Einheiten des Mittelwerts; dimensionslose Größe gut geeignet für Vergleiche 11 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen v 100 x

12 Beispiel: Altersverteilungen mit gleichem Mittel Gruppe A Gruppe B Gruppe A Gruppe B Durchschnitt 37,1 37,1 Minimum x (1) 1,0 1,0 Maximum x (n) 57,0 57,0 Spannweite x (n) - x (1) 36,0 36,0 Varianz ² 144,6 37,0 Std.Abw. 1,0 6,1 Variationskoeffizient v 3% 16% 1.Quartil 8,5 35,0.Quartil 34,0 37,0 3.Quartil 51,5 38,3 Median 34,0 37,0 IQ-Distanz 3,0 3, bis 9 30 bis bis bis bis 70 1 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

13 Standardabweichung & Intervalle Die Standardabweichung bildet den Ausgangspunkt für Konfidenzaussagen (siehe WS) Intervalle sind oft reliabler als punktuelle Aussagen Falls die Daten einer Normalverteilung folgen (Gaußsche Glockenkurve) liegen etwa 95% der Daten in dem Intervall zwischen Mittelwert minus bzw. Mittelwert plus zweifacher Standardabweichung 13 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

14 Bedeutung des Variationskoeffizienten Eine Standardabweichung von 300,- beim monatlichen Einkommen ist in einer Gesellschaftsschicht mit einem Durchschnittseinkommen von 1.500,- von wesentlich größerer Bedeutung als in einer Gruppe von Einkommensbeziehern, die im Monatsdurchschnitt.400,- verdienen. In der ersten Gruppe ist der Variationskoeffizient 0%, während er in der zweiten Gruppe nur 1,5% beträgt, obwohl die Standardabweichung in beiden Gruppen gleich groß ist. v 100 x 14 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

15 Volatilität Die Volatilität gilt als Einschätzung des künftigen Risikos einer Aktie. Als Maß für die Volatilität verwendet man häufig den Variationskoeffizienten Beispiel: Im Durchschnitt über 50 Handelstage betrug der mittlere Kurs einer Aktie A 50,59 bei einer Standardabweichung von 36,18. Über den selben Vergleichszeitraum betrug der mittlere Kurs einer Aktie B 396,10 bei einer Standardabweichung von 18,96. Obwohl die Standardabweichung der Aktie A deutlich geringer ist, muss ein Investor hier mit einem größeren Risiko rechnen als bei der Aktie B, dies wird durch den Variationskoeffizienten quantifiziert: VK A =36,18/50,59*100=7% VK B =18,96/396,10*100=46% 15 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen v 100 x

16 Rechenbeispiel: Reaktionszeiten i x i x i -xq abs(x i -xq) abs(x i -Median) (x i -xq)² 1 0,300 0,04 0,04 0,035 0, ,10-0,048 0,048 0,055 0, ,190-0,068 0,068 0,075 0, ,70 0,01 0,01 0,005 0, ,30 0,06 0,06 0,055 0, ,300 0,04 0,04 0,035 0, ,60 0,00 0,00 0,005 0, ,0-0,038 0,038 0,045 0, ,310 0,05 0,05 0,045 0, ,00-0,058 0,058 0,065 0,00336 Summe,58 0,00 0,44 0,40 0,0196 Arithmetisches Mittel Median 0,58 0,65 Hinweis: xq steht für das arithmetische Mittel das ja als x-quer gesprochen wird MD: 0,04 Mittlere absolute Abweichung vom Median MAA: 0,04 Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel MAD: 0,045 Median der absoluten Abweichungen vom Median Varianz ² 0,00196 Standardabweichung 0,0469 Variationskoeffizient v 18,% 16 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

17 Interpretation Die Angabe der Standardabweichung erfolgt oft in der Form arithm. Mittel plus/minus Standardabweichung Im Beispiel: 0,580,047 x Unter der Annahme einer Normalverteilung (Form der Häufigkeitsdichte entspricht einer Glockenkurve) liegen ca. 95% der Datenpunkte in einem Bereich von x arithm. Mittel plus/minus zweifache Standardabweichung Unabhängig von der Form der Verteilung liegen immer 75% der Datenpunkte in diesem Bereich. 17 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

18 Alternative Berechnungsformel 1 1 σ s x x x x n n i i n i1 n i1 Die Varianz ergibt sich auch als Mittelwert der quadrierten Einzelwerte minus dem Quadrat des Mittelwertes 18 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

19 Alternative Berechnungsformel im Beispiel i x i x i ² 1 0,30 0,09 0,1 0,04 3 0,19 0,04 4 0,7 0,07 =(1/10)*0,69-0,58² 5 0,3 0,10 0, ,30 0,09 7 0,6 0,07 8 0, 0,05 9 0,31 0, ,0 0,04 Summe,58 0,69 Arithmetisches Mittel (xq) 1 1 s x x x x s n n i i n i1 n i1 1 n n xi i1 i1 xi n =(1/10)*(0,69-,58²/10) 0,58 0,00196 s 1 n n n xi nx i1 =(1/10)*(0,69-10*0,58²) 0, Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

20 Eigenschaften der Varianz (1) "Steiner scher Verschiebungssatz n i1 x a x x n x a i n i1 i Ausgangspunkt für die alternative Berechnungsformel der Varianz (a=0) Würde man statt der Summe der Quadrierten Differenzen vom arithmetischen Mittel irgendeine andere Konstante a für das Streuungsmaß heranziehen, würde sich das Ergebnis nur numerisch verschieben, aber keine andere Qualität aufweisen 0 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

21 Eigenschaften der Varianz () Auswirkung linearer Transformationen Wenn wir alle beobachteten Werte einer linearen Transformation unterziehen, welche die x i in y i überführt, stellt sich die Frage, was passiert mit der Varianz? x i y i σ (x) σ (y) Verschiebungs-Invarianz: d.h. die Verschiebung um die additive Konstante a wirkt sich auf die Varianz nicht aus! 1 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

22 Varianzermittlung aus Teilpopulationen Wir betrachten Teilpopulationen A und B Die Teilpopulation A umfasst n A Beobachtungen und hat einen Mittelwert Aund eine Varianz ² A Die Teilpopulation B umfasst n B Beobachtungen und hat einen Mittelwert Bund eine Varianz ² B Frage: Können wir aus den Parametern Mittelwert, Varianz und Größe der jeweiligen Teilpopulation auf die Varianz der gesamten Population bestehend aus A und B schließen? Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

23 In diesem Fall lässt sich die gesamte Heterogenität aus der Heterogenität der Teilgruppen erklären! Gruppe A Gruppe B 3 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

24 Gesamte Heterogenität muss mehr sein als die Summe der Heterogenität in den einzelnen Gruppen! Gruppe A Heterogenität zwischen A und B muss berücksichtigt werden! Gruppe B 4 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

25 Varianzermittlung aus Teilpopulationen p n n n x x n x x A A B B A A B B A n A n n n n na n A B A B B p B n A nb n B p p p x x p x x A A B B A A B B Die gesamte Varianz ist das gewichtete Mittel der Teilvarianzen plus dem gewichteten Mittel der quadratischen Abweichungen der Gruppenmittel vom Gesamtmittel. Die totale Variabilität ist die Varianz in den Gruppen plus die Variabilität zwischen den Gruppen x Gesamtmittelwert n n n A B 5 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

26 Beispiel: Ermittlung des Mittelwertes aus Teilgesamtheiten Es liegen Daten aus Betrieben A und B vor: 400 Angestellte aus Betrieb A verdienen monatlich im Mittel 1.90, Angestellte aus Betrieb B verdienen monatlich im Mittel.01,17 Dann beträgt der Gesamtmittelwert nach dem Prinzip des gewogenen arithmetischen Mittels: 1.959,98 x Gesamt , , , Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

27 Beispiel: Ermittlung der Varianz aus Teilgesamtheiten Das Einkommen der 400 Angestellten aus Betrieb A hat eine Standardabweichung von 0,3 Das Einkommen der 300 Angestellten aus Betrieb B hat eine Standardabweichung von 411,98 Dann beträgt die Standardabweichung der Angestellten beider Betriebe zusammen: 30, ,3² ,98² ² (190, ,98)² 300 (01, ,98)² , , 76 30,19 7 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

28 Standardisierung (z-transformation) Gegeben seien Beobachtungen x 1,..., x n mit Mittelwert und Varianz ² Gesucht ist eine lineare Transformation z i =a+bx i, so dass für die transformierten Daten das arithmetische Mittel 0 und die Varianz 1 wird. xi x x 1 zi xi x x x z x 1 x x a x b 0 z 1 x x Unterscheide dazu eine andere Art der Standardisierung: (xi-x(1))/(x(n)-x(1)) bildet x i in das Intervall [0,1] ab 1 8 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

29 Beispiel zur Standardisierung i x i x i -xq z i =(x i -xq)/ z i ² 1 0,30 0,040 0,8963 0, ,1-0,0480-1,043 1, ,19-0,0680-1,4511, ,7 0,010 0,561 0, ,3 0,060 1,330 1, ,30 0,040 0,8963 0, ,6 0,000 0,047 0, , -0,0380-0,8109 0, ,31 0,050 1,1097 1, ,0-0,0580-1,377 1, Summe,58 0,0000 0,00 10,00 Arithmetisches Mittel (z): 0 Arithmetisches Mittel (x): 0,58 Varianz(z): 1 Standardabweichung (x): 0,047 Standardabweichung (z): 1 9 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

30 SPSS Berechnung der deskriptiven Maßzahlen mittels SPSS 30 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

31 Ergebnisse von Descriptives Deskriptive Statistik Zeit für Hausaufgaben in h pro Woche Gültige Werte (Listenweise) N Statistik Statistik Statistik Statistik Statistik 0,75,75 3,50 13,4500 1, , ,54 0 Spannwei te Minimum Maximum Mittelwert Standard Varianz Standardf abweichu ehler Statistik Statistik Die Standardabweichung misst die Variabilität von Einzelbeobachtungen. Die Variabilität des Mittelwertes einer Gruppe von n Beobachtungen wird durch den Standardfehler quantifiziert: S.E. n 31 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

32 Standardabweichung vs. Standardfehler Scorewerte zwischen 0 und 100 bei n=100 Personen gemessen Arithmetisches Mittel 49,6 Standardabweichung 31,8 Variabilität der Einzelwerte Wir ziehen 10-mal eine zufällige Stichprobe von 9 Beobachtungen Sample-1 Sample- Sample-3 Sample-4 Sample-5 Sample-6 Sample-7 Sample-8 Sample-9 Sample arithm. Mittel 38,9 47,3 4,4 44,9 55,6 53,9 3,6 63,9 46,3 5,6 Standardfehler 10,6 Std.Abw. der 10 Stichprobenmittelwerte 10,4 Variabilität des Mittelwertes 3 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

33 Varianz bei diskreten Daten Treten nur k unterschiedliche Werte x 1,..., x k mit zugehörigen absoluten Häufigkeiten n 1,..., n k bzw. relativen Häufigkeiten h 1,..., h k auf, so ergibt sich die Varianz als: 1 k k x x n ( x x) h i i i i n i1 i1 k k i i i i i1 i1 1 ² n x x² h x x² n 33 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

34 Berechnung Varianz diskrete Daten Bei 1 Würfen mit dem Würfel wurde folgendes Ergebnis beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6, 1, 4, 1, 3, 6 Die Summe der 1 Augenzahlen ist 45. Der Durchschnitt (das Arithmetische Mittel) dieser 1 Augenzahlen ist 3,75. Die Summe der quadrierten Augenzahlen beträgt =03 Demnach ist die Varianz: σ σ 1 s x nx s n i n i1 1/1(03 1*3, 75²),85 34 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

35 Berechnung mittels Häufigkeiten Hinweis: xq steht für das arithmetische Mittel das ja als x-quer gesprochen wird x i n i h i x i h i x i n i x i ²n i x i -xq (x i -xq)² (x i -xq)²h i (x i -xq)²n i 1 0,17 0,17 -,75 7,56 1,6 15,13 1 0,08 0,17 4-1,75 3,06 0,6 3,06 3 0,17 0, ,75 0,56 0,09 1,13 4 0,17 0, ,5 0,06 0,01 0, ,5 1, ,5 1,56 0,39 4,69 6 0,17 1,00 1 7,5 5,06 0,84 10,13 1 1,00 3, ,85 34,5 Arithmetisches Mittel 3,75 Varianz,85 Alternativ: 03/1-3,75²=,85 1 s n x x σ k ² i i ² n i 1 1 sσ x x n x x h k k i i ( i ) i n i1 i1 35 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

36 Berechnung bei klassifizierten Daten Sind die Daten in k Klassen eingeteilt, kann man auch die Varianz nur näherungsweise berechnen, indem man mit den Klassenmittelwerten m 1,..., m k arbeitet. 1 k k m i x ni ( mi x) hi n i1 i1 bzw. 1 k k m i ni x mi hi x n i1 i1 36 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

37 Rechenbeispiel:Varianz bei klassifizierten Daten Von Bis Anzahl m i h i m i *h i m ² i *h i ,1 0,1 0, ,3 0,96, ,3 1,9 11, ,16 1, ,08 1,8 0,48 SUMME ,88 51 Varianz 16,4 =(51-5,88²) Standardabweichung 4,05 Variationskoeffizient 0,69 37 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

38 Beispiel Körpergröße von 100 Studenten Klasse n i h i m i m i h i m i ²h i bis ,00 ( ] 3 0, ,59 70,7 ( ] 4 0, ,3 998,56 ( ] 10 0, ,30 656,90 ( ] 16 0, , ,84 ( ] 3 0, , ,67 ( ] 0 0, , ,80 ( ] 11 0, , ,79 ( ] 10 0, , ,40 ( ] 1 0, ,93 37,49 (195-00] 0, ,96 784, , ,80 Mittelwert= 174,30 Varianz= ,8-174,3²=88,31 Korrektur 86,3 Standardabweichung= 9,40 9,9 Exakte Berechnungen auf Basis der Urliste n= 100 Summe x = Summe x² = Arithmetisches Mittel = 174,4 Varianz= 83,78 Standardabweichung= 9,15 38 Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen

39 Sheppard-Korrektur Es lässt sich theoretisch zeigen, dass bei einer unimodalen Verteilung die auf der Basis der klassifizierten Daten berechnete Varianz größer ist als die aus den Originaldaten. Bei einer Klasseneinteilung mit konstanter Breite D kann der Fehler mit der sog. Sheppard-Korrektur annähernd ausgeglichen werden: D ² korr. ² 1 5 ² korr. 88,31 86, Statistik 1 - Lage- und Streuungsmaßzahlen