1. Maße der zentralen Tendenz Beispiel: Variable Anzahl der Geschwister aus Jugend '92. Valid Cum Value Frequency Percent Percent Percent

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1 Deskriptive Statistik 1. Verteilungsformen symmetrisch/asymmetrisch unimodal(eingipflig) / bimodal (zweigipflig schmalgipflig / breitgipflig linkssteil / rechtssteil U-förmig / abfallend Statistische Kennwerte - Wieso braucht man diese überhaupt? Sie geben eine summarische Auskunft über die Verteilung. Alle Meßwerte sind zusammenfassend in einem Kennwert repräsentiert. Zwei Arten von deskriptiven Maßen: 1. Maße der zentralen Tendenz 2. Streuungsmaße (Dispersionsmaße) 1. Maße der zentralen Tendenz Beispiel: Variable Anzahl der Geschwister aus Jugend '92 V189 ANZAHL GESCHWISTER Value Label Valid Cum Value Frequency Percent Percent Percent TNZ ,5 21,5 21,5 1 Geschwister ,5 45,6 67, ,3 21,4 88, ,4 7,4 95, ,2 2,2 98, ,2 1,2 99,3 6 Geschwister 6 26,6,7 100,0 KA 9 6,1 Missing Total ,0 100,0 Mean 1,295 Median 1,000 Mode 1,000 Sum 5177,000 Modalwert oder Modus: ================ Deskriptive Statistik Seite 1 ======================

2 derjenige Wert einer Verteilung, der am häufigsten auftritt. Wenn die Meßwerte in Kategorien zusammengefaßt werden, gilt die Kategorienmitte der am häufigsten besetzten Kategorie als Modalwert. Die Angabe eines Modalwertes ist nur bei solchen Verteilungen üblich, die tatsächlich ein Maximum besitzen (rechts und links vom Maximum flacht der Verlauf ab). Median Der Wert einer mindestens ordinalskalierten Variable, der die Häufigkeitsverteilung in zwei gleiche Hälften teilt. Bei einer ungeraden Anzahl N der Daten ist der Median der (N+1)/2te Wert. Beispiel: N=7, d.h. 7 Werte: 4, 7, 1, 3, 9, 2, 11 Median (7+1)/2 = 4. Wert geordnete Werte 1, 2, 3, 4, 7, 9, 11 Bei einer geraden Anzahl N der Daten liegt der Median zwischen dem N/2ten und dem (N+2)/2ten Wert. Beispiel: N=8, d. h. 8 Werte: 4, 5, 7, 1, 3, 9, 2, 11 Median zwischen N/2 =8/2= 4. Wert und (N+2)/2= (8+2)/2= 10/2 = 5. Wert geordnete Werte 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11 Der Median ist unempfindlich gegenüber Ausreißern. Arithmetisches Mittel Das gebräuchlichste Maß zur Kennzeichnung der zentralen Tendenz. ================ Deskriptive Statistik Seite 2 ======================

3 Formel zur Berechnung - Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte: _ n Σ Xi AM= x = n Die Summe aller Abweichungen vom Mittelwert ergibt Null. n _ Σ (Xi - X) = 0 Beispielberechnung Mittelwert bei gruppierten Daten _ m Σ f k x k AM= x = m Σ f k fk = Häufigkeit in der Kategorie k xk = Kategorienmitte der Kategorie k m = Anzahl der Kategorien ================ Deskriptive Statistik Seite 3 ======================

4 2.Streuungsmaße (Dispersionsmaße) 1. Variationsbreite, Variationsweite, Spannweite (range) Variationsbreite = Maximum - Minimum Nachteil dieses Maßes: es hängt nur von den Extremwerten ab 2. Perzentile (Prozentwerte der Verteilung) Perzentile (1 bis 100) schneiden einen entsprechenden Teil der Verteilungsfläche ab: das 5. Perzentil schneidet die unteren 5%, das 95. Perzentil die oberen 5% ab. Quartile teilen die Verteilung in vier gleich große Gruppen (25., 50. und 75. Perzentil). 3. Die durchschnittliche Abweichung, AD-Streuung m Σ f k ( X k -X ) AD= n Vorteil: Alle Werte werden berücksichtigt. 4. Varianz und Standardabweichung Die Summe aller quadrierten Abweichungen aller Meßwerte vom arithmetischen Mittel, dividiert durch die Anzahl aller Meßwerte. ================ Deskriptive Statistik Seite 4 ======================

5 Der Ausdruck im Zähler Summe der Abweichungsquadrate, Quadratsumme (QS), sum of squares In der Inferenzstatistik, wo die Stichprobenvarianz eine Schätzung der Populationsvarianz ist, wird die Varianz so berechnet: VAR= S2 = = n -1 Die Standardabweichung ================ Deskriptive Statistik Seite 5 ======================

6 Die Streuungsbereiche der Normalverteilung: Im Bereich x + s ca. 2/3 aller Fälle = 68% Im Bereich x + s ca. 95% aller Fälle ================ Deskriptive Statistik Seite 6 ======================

7 Z-Transformation Sinn und Zweck: Zwei Werte unterschiedlicher Skalen dadurch vergleichbar machen, daß sie in Relation zum Mittelwert und zur Standardabweichung gesetzt werden. Standardisierung durch z-transformation. Eine z- transformierte Verteilung hat einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Ein z-wert (z-score) wird so berechnet: _ (Xi - X) zi = s Schiefe und Exzeß Schiefe Maß für den Grad der Abweichung einer Verteilung von der Symmetrie Schiefe= (Mittelwert - Modus) / Standardabweichung Sch = 0 symmetrische Verteilung Sch < 0 rechtssteile Verteilung Sch > 0 linkssteile Verteilung Exzeß Maß für den Grad der Häufung der Meßwerte um einen Zentralpunkt, d.h. breitgipflig versus schmalgipflig. ================ Deskriptive Statistik Seite 7 ======================

8 Der Exzeß einer Normalverteilung beträgt 0,263, je größer der Wert für den Exzeß, desto breitgipfliger ist der Verlauf der Verteilung. ================ Deskriptive Statistik Seite 8 ======================

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