Statistische Formeln und Tabellen

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Linus Haupt
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1 WiSt-Taschenbücher Statistische und Tabellen Kompakt für Wirtschaftswissenschaftler von Prof. Dr. Josef Bleymüller, Prof. Dr. Rafael Weißbach 13., überarbeitete Auflage Verlag Franz Vahlen München 015 Verlag Franz Vahlen im Internet: ISB Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei DIE FACHBUCHHADLUG

2 Kapitel 4 Mittelwerte Arithmetisches Mittel µ Bei Einzelwerten a 1, a,..., a ist das arithmetische Mittel de niert als µ = 1 a i. Bei einer Häu gkeitsverteilung mit k verschiedenen Werten x 1, x,..., x k ergibt sich das (gewogene) arithmetische Mittel zu µ = 1 x i h i bzw. µ = x i f i. Bei einer Häu gkeitsverteilung klassi zierter Daten ergibt sich mithilfe der Klassenmitten x 1, x,..., x k näherungsweise µ = 1 x ih i bzw. µ = x if i. Für eine Grundgesamtheit, die aus k Teilgesamtheiten mit den Umfängen 1,,..., k und den arithmetischen Mitteln µ 1, µ,..., µ k besteht, ergibt sich das arithmetische Mittel zu µ = i µ i bzw. = i. Median Me und Quartile Q 1, Q und Q 3 Zunächst werden die Einzelwerte a 1, a,..., a so umgeordnet, dass gilt a [1] a []... a []. 8 Dann ist bei ungeradem Me = a [ ] +1

3 Mittelwerte Kapitel 4 und bei geradem Me = 1 ( ) a [ ] + a [ + 1]. Für großes kann als Median der größte Merkmalswert a [k] verwendet werden, für den F(a [k] ) 0,5 gilt, wobei F(a [k] ) der Wert der Summenhäu gkeitsfunktion für a [k] ist. Analog ist das 1. Quartil Q 1 der größte Merkmalswert a [ j], für den F(a [ j] ) 0,5 und das 3. Quartil Q 3 der größte Merkmalswert a [l], für den gilt. F(a [l] ) 0,75 Bei klassi zierten Daten ergibt sich der feinberechnete Median aus der Klassenuntergrenze x u i und der Klassenobergrenze x o i derjenigen Klasse i, in der die Summenhäu gkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht: Me = x u i + 0,5 F(xu i ) F(x o i ) F(xu i ) (xo i x u i ). In analoger Weise ergeben sich die feinberechneten Quartile zu Q 1 = x u k + 0,5 F(xu k) F(x o k ) F(xu k ) (xo k x u k), wobei k diejenige Klasse ist, in der die Summenhäu gkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht, und Q 3 = x u l + 0,75 F(xu l ) F(x o l ) F(xu l ) (xo l x u l ), wobei l diejenige Klasse ist, in der die Summenhäu gkeitsfunktion den Wert 0,75 erreicht. Q entspricht dem Median Me. Modus Mo Der Modus Mo ist als die häu gste Merkmalsausprägung de niert. Bei klassi zierten Daten wird als Modus die Klassenmitte der Klasse mit der größten Säulenhöhe im Histogramm gewählt. 9

4 Kapitel 4 Mittelwerte Geometrisches Mittel G Bei Einzelwerten ist das geometrische Mittel de niert als G = a 1 a... a bzw. log G = 1 Für Häu gkeitsverteilungen ergibt sich log a i. G = x h 1 1 x h... x h k k bzw. log G = 1 h i log x i = f i log x i. In der folgenden Tabelle wird angegeben, bei welchen Skalenniveaus die Berechnung des entsprechenden Mittelwertes sinnvoll ist. Mittelwerte Skala ominal- Ordinal- Intervall- Verhältnisskala skala skala skala Modus Median und Quartile Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel 10

5 Varianz σ und Standardabweichung σ Bei Einzelwerten ist die Varianz de niert als σ = 1 (a i µ) = 1 a i µ. Bei Häu gkeitsverteilungen erhält man die Varianz zu σ = 1 (x i µ) h i = 1 x i h i µ = 1 Streuungsmaße Kapitel 5 x i h i x i h i bzw. σ = (x i µ) f i = = x i f i µ ( ) x i f i x i f i. Bei einer Häu gkeitsverteilung klassi zierter Daten ergibt sich die Varianz näherungsweise zu σ = 1 (x i µ) h i = 1 x i h i µ = (x i µ) f i = x i f i µ. Bei einer unimodalen (eingip igen) Verteilung und einer konstanten Klassenbreite x führt die Sheppard-Korrektur zum besseren äherungswert σ korr. = σ ( x) 1. Für eine Grundgesamtheit, die aus k Teilgesamtheiten mit den Umfängen 1,,..., k, den arithmetischen Mitteln µ 1, µ,..., µ k und den Varianzen σ 1, σ,..., σ k, besteht, ergibt sich die Varianz zu σ = i σ i + i (µ i µ) 11

6 Kapitel 5 Streuungsmaße mit = i bzw. µ = i µ i. Die Standardabweichung σ ergibt sich jeweils als σ = σ. Standardisierung Aus den Einzelwerten a 1, a,..., a werden die standardisierten Einzelwerte z i nach der Formel z i = a i µ (i = 1,..., ) σ berechnet, wobei µ = 1 a i und σ = 1 (a i µ) ist. Die standardisierten Einzelwerte z i (i = 1,..., ) besitzen das arithmetische Mittel 0 und die Varianz 1. Variationskoef zient VC 1 VC = σ µ bzw. VC = σ µ 100% Mittlere absolute Abweichung MAD bezogen auf µ Bei Einzelwerten ergibt sich MAD = 1 a i µ und bei einer Häu gkeitsverteilung MAD = 1 x i µ h i bzw. MAD = x i µ f i.

7 Streuungsmaße Kapitel 5 Spannweite R Die Einzelwerte a 1, a,..., a werden der Größe nach angeordnet, so dass gilt: a [1] a []... a []. Dann ist R = a [] a [1]. Quartilsabstand QA QA = Q 3 Q 1 Mittlerer Quartilsabstand MQA MQA = Q 3 Q 1 Quartilsdispersionskoef zient QDC QDC = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 100% In der folgenden Tabelle wird angegeben, bei welchen Skalenniveaus eine Berechnung des entsprechenden Streuungsmaßes sinnvoll ist. Streuungsmaße Skala ominal- Ordinal- Intervall- Verhältnisskala skala skala skala Spannweite Quartilsabstand Mittlerer Quartilsabstand Mittlere absolute Abweichung Varianz, Standardabweichung Variationskoef zient Quartilsdispersionskoef zient 13

8 Kapitel 6 Wahrscheinlichkeitsrechnung A, B und E bezeichnen Ereignisse; S ist der Ereignisraum. Klassische Wahrscheinlichkeitsde nition Sind alle Elementarereignisse gleichmöglich, so ist W(A) = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller gleichmöglichen Fälle. Statistische Wahrscheinlichkeitsde nition W(A) = lim f h n(a) n (A) = lim n n n Axiomatische Wahrscheinlichkeitsde nition Axiome von Kolmogorov: (1) 0 W(A) 1 für A S () W(S) = 1 (3) W(A B) = W(A) + W(B) für A B = Aus Axiom (3) ergibt sich die Beziehung für W(A 1 A... A n) = W(A 1) + W(A ) W(A n) A i A j = (i j). Gegenwahrscheinlichkeit Für A, das Komplementärereignis von A, gilt W(A) = 1 W(A). De Morgansche Gesetze 14 Aus den mengentheoretischen Beziehungen A B = A B und A B = A B lassen sich folgende Regeln ableiten: W(A B) = 1 W(A B) W(A B) = 1 W(A B). und

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kapitel 6 Additionssatz W(A B) = W(A) + W(B) W(A B) Bedingte Wahrscheinlichkeit Für W(A) > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A de niert als W(B/A) = W(A B) W(A). Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A, B heißen stochastisch unabhängig genau dann, wenn W(B/A) = W(B/A) W(A/B) = W(A/B), bzw. W(A B) = W(A) W(B) gilt. Multiplikationssatz Für stochastisch unabhängige Ereignisse A, B gilt W(A B) = W(A) W(B). Für stochastisch abhängige Ereignisse A, B gilt W(A B) = W(A) W(B/A) = W(B) W(A/B). Theorem von der totalen Wahrscheinlichkeit Wenn A 1 A... A n = S und A i A j = für i j gilt, dann ist für E S W(E) = n W(A i) W(E/A i). 15

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