Statistik für Ingenieure Vorlesung 3

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1 Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017

2 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind Zahlenwerte Ergebnisse von Zufallsversuchen. Oft ist es auch in anderen Fällen für eine mathematische Behandlung günstig, den Versuchsergebnissen Zahlen zuzuordnen (etwa 1 für Erfolg und 0 für Misserfolg ). Beschreibung von Ergebnissen eines Zufallsversuches durch eine Zufallsgröße X (oder mehrere Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n ). Beispiele: Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeiten,... ) mit möglichen Werten {x R : x 0}. Messergebnis X (Länge, Kraft, Temperatur,... ) mit entsprechenden Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten. Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

3 Mathematische Definition einer Zufallsgröße Mathematische Definition einer Zufallsgröße: Eine Abbildung (Funktion) X : Ω R heißt Zufallsgröße (reelle Zufallsvariable), falls für jedes Intervall (a, b) R, a < b, die Menge {ω Ω : a < X (ω) < b} ein zufälliges Ereignis ist ( Messbarkeitsbedingung ; dabei wird ein System von zufälligen Ereignissen mit bestimmten natürlichen Eigenschaften als gegeben vorausgesetzt). Es gilt: Sind X, Y Zufallsgrößen zu einem Zufallsversuch, dann sind auch X + Y, X Y, X Y, X /Y, falls Y 0, a X mit a R und ähnliche durch mathematische Operationen gebildete Größen Zufallsgrößen (d.h. die Messbarkeitsbedingung bleibt erhalten). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

4 Grundtypen von Zufallsgrößen Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der Art P(X b), P(a < X < b), P(a X b) (mit reellen Zahlen a, b) oder ähnliche. Diese bilden die Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße. Abgeleitete Kenngrößen, wie zum Beispiel Erwartungswert oder Varianz liefern ebenfalls wichtige Informationen. Zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen (mit zum Teil unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln bei Berechnungen oder Untersuchungen) sind: Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung (diskrete Zufallsgrößen) und Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger Verteilung (stetige Zufallsgrößen). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

5 Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte x 1, x 2,... annehmen kann. Die Zuordnung p i := P(X = x i ), i = 1, 2,..., heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße, die Werte p i sind die zu den möglichen Werten zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Oft wird eine Verteilungstabelle gegeben: mögliche Werte x i x 1 x 2 x 3... zugehörige Wahrscheinlichkeiten p i p 1 p 2 p 3... Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p i erfolgt durch Berechnung aus Grundannahmen (typische Verteilungen, spezielle Modelle) oder experimentell mittels statistischer Methoden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

6 Wahrscheinlichkeiten bei diskreten Verteilungen Beispiel: Gerechtes Würfeln, Zufallsgröße X : Augenzahl. x i p i 1 6 Für die Wahrscheinlichkeiten p i gelten : 0 pi 1 ; p i = 1. i Für beliebige Mengen I R gilt P(X I ) = xi I p i, z.b. für reelle Zahlen a < b P(a < X < b) = Beispiel: Zweimaliges Würfeln (fairer Würfel), Zufallsgröße X : Augensumme. Ges.: P(X 4). a<x i <b Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November p i.

7 Zufallsgrößen mit stetiger Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare reelle Funktion f X : R R gibt, so dass P(a X b) = b a f X (x) dx für beliebige reelle Zahlen a b gilt. Die Funktion f X heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften: 1. f X (x) 0 für alle x R ; 2. f X (x) dx = 1. Bemerkungen: Eine stetige Zufallsgröße kann beliebige Werte aus einem Intervall (oder einer ähnlichen Menge) annehmen. Eine Dichtefunktion muss nicht stetig oder beschränkt sein! Eine Dichtefunktion gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse auf der reellen Achse an. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

8 Beispiel Zufallsgröße mit stetiger Verteilung Beispiel: Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus dem Intervall [0, 1] (auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte oder gleichmäßig verteilte Zufallsgröße). Für 0 a < b 1 gilt P(a X b) = b a. { 1, 0 x 1 ; Die Dichtefunktion ist f X (x) = 0, sonst. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

9 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Die Verteilungen von beliebigen Zufallsgrößen können vollständig durch die Verteilungsfunktion der jeweiligen Zufallsgröße beschrieben werden. Definition: Die Funktion F X einer reellen Variablen mit reellen Funktionswerten, die durch F X (x) = P(X < x) = P( < X < x), x R, definiert wird, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Der Funktionswert ist für jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist. Bemerkung: Mitunter wird die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X auch durch F X (x) = P(X x), x R, definiert, insbesondere in der Zuverlässigkeitstheorie. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

10 Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Für übliche diskrete Zufallsgrößen ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion mit Sprüngen der Höhe p i an den Werten x i. Beispiel: Verteilungsfunktion F X der Zufallsgröße X : Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

11 Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße Für stetige Zufallsgrößen ist die Verteilungsfunktion eine in allen Punkten stetige Funktion. Beispiel: Verteilungsfunktion F X einer Zufallsgröße X, die auf [0, 1] gleichverteilt ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

12 Allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen Eine Verteilungsfunktion F X ist monoton nicht fallend. Es gilt lim X (x) = 0. x Es gilt lim X (x) = 1. x + Es gilt für beliebige reelle Zahlen a < b : Für stetige Zufallsgrößen gelten P(a X < b) = F X (b) F X (a). P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b). Außerdem gelten für stetige Verteilungen F X (x) = x f X (t) dt, x R und f X (x) = F X (x) an den Stellen x R, in denen die Ableitung existiert. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

13 3.2 Charakteristische Größen von Verteilungen Die Gesamtinformation, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird (oder gegeben werden muss) ist häufig zu umfangreich. Deshalb nutzt man Kenngrößen, die in praktischen Situationen gut zu nutzen sind. Die beiden wichtigsten Gruppen von Kenngrößen sind die der Lageparameter und der Streuungsparameter. Die am häufigsten genutzte Kenngröße ist der Erwartungswert EX einer Zufallsgröße X (auch Mittelwert der Zufallsgröße genannt). Der Erwartungswert ist ein Lageparameter, eine (nichtzufällige) reelle Zahl und beschreibt die Lage des Schwerpunkts der Wahrscheinlichkeitsmasse. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

14 Definition Erwartungswert einer Zufallsgröße Definition: Für eine diskrete Zufallsgröße X mit möglichen Werten x 1, x 2,... und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1 = P(X = x 1 ), p 2 = P(X = x 2 ),... wird der Erwartungswert definiert durch EX = x i p i. i Für eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion f X wird der Erwartungswert definiert durch Beispiele: EX = Zufallsgrößen x f X (x) dx. X1 Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel. X2 gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 1]. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

15 Beispiele: Erwartungswert einer Zufallsgröße X 1 Augenzahl beim Würfeln X 2 gleichverteilt auf [0, 1] Einzelwahrscheinlichkeiten Dichtefunktion und Erwartungswert und Erwartungswert Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

16 Eigenschaften von Erwartungswerten Nicht jede Zufallsgröße besitzt einen Erwartungswert. Linearitätseigenschaft von Erwartungswerten: für Zufallsgrößen X, Y und reelle Zahlen a, b gelten E(a + bx ) = a + bex ; E(X + Y ) = EX + EY. Ist g : R R eine (z.b. stetige) Funktion und X eine Zufallsgröße, dann kann man den Erwartungswert der Zufallsgröße Y = g(x ) wie folgt berechnen, ohne erst die Verteilung von Y zu bestimmen: EY = Eg(X ) = i g(x i )p i für diskrete ZG X ; EY = Eg(X ) = g(x)f X (x) dx für stetige ZG X. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

17 Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße (ZG) Die wichtigste Kenngröße für die Variabilität von Zufallsgrößen ist die Varianz (auch Streuung oder Dispersion) der Zufallsgröße. Definition: Die Varianz VarX der Zufallsgröße X ist die nichtnegative reelle Zahl VarX = E (X EX ) 2 { (x i EX ) 2 p i, diskrete ZG ; = i (x EX )2 f X (x) dx, stetige ZG. Die Varianz, falls sie existiert, gibt die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert an. Definition: Die Standardabweichung σ X der Zufallsgröße X ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz der Zufallsgröße: σ X = VarX. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

18 Eigenschaften von Varianzen und Standardabweichungen Varianz und Standardabweichung sind Streuungsparameter. Die Varianz lässt sich meistens bequemer mit Hilfe der Formel VarX = E ( X 2) (EX ) 2 berechnen. Ist a eine reelle Zahl und X Varianz, dann gelten Var(aX ) = a 2 VarX, Var(a + X ) = VarX, σ(ax ) = a σ X, σ (a+x ) = σ X. eine Zufallsgröße mit endlicher Es gilt genau dann VarX = σ X = 0, wenn es eine reelle Zahl x 0 gibt, so dass P(X = x 0 ) = 1 gilt. Die Zufallsgröße X heißt dann einpunktverteilt. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

19 Beispielberechnung Varianzen ZG X 1 : Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel. EX1 2 = VarX 1 = 91 6 ( = 91 6 ) 2 = = ZG X 2 : gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 1]. 1 EX2 2 = x 2 1 dx = VarX 2 = 1 ( ) = = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

20 Variationskoeffizient Definition: Für eine Zufallsgröße X mit endlicher Varianz und EX > 0 wird der Variationskoeffizient V X definiert durch V X = σ X EX. Mit dem Variationskoeffizienten wird die Streuung der möglichen Werte zum mittleren Wert (Erwartungswert) in Beziehung gesetzt. Der Variationskoeffizient ist einheitenunabhängig und er hilft beim Vergleich der Stärke der zufälligen Schwankungen der Werte von unterschiedlichen Zufallsvariablen, insbesondere wenn diese in unterschiedlichen Einheiten gemessen wurden. Der Variationskoeffizient kann für solche Zufallsgrößen verwendet werden, bei denen die Quotientenbildung der möglichen Werte auch inhaltlich sinnvoll ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

21 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Für 0 < q < 1 heißt die reelle Zahl x q ein q Quantil der stetigen Zufallsgröße X, wenn X Werte links von x q mit einer Wahrscheinlichkeit q annimmt, d.h. x q ist eine Lösung der Gleichung xq f X (x) dx = q bzw. F X (x q ) = q. q Quantile können auch für diskrete und andere Zufallsgrößen betrachtet werden. Wichtige Quantile sind: das 0.5 Quantil, es heißt Median von X ; das 0.25 bzw Quantil, dies sind die sogenannten Viertelquantile oder Quartile von X (das untere bzw. das obere) ; die α bzw. (1 α) Quantile für kleine Werte α, sie spielen bei statistischen Fragen eine große Rolle. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

22 Beispiel Exponentialverteilung Eine Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, falls für die Verteilungsfunktion F X bzw. die Verteilungsdichte f X gilt: F X (x) = { 0, x 0, 1 exp( λx), x > 0, f X (x) = { 0, x 0, λ exp( λx), x > 0. Verteilungsfunktion (λ = 2) Dichtefunktion (λ = 2) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November

23 Quantile für Exponentialverteilung Es sei X exponentialverteilt mit Parameter λ = 2, d.h. F X (x) = P(X < x) = { 0, x 0, 1 exp( 2x), x > 0. Dann gilt für das q Quantil x q (mit 0 < q < 1) : F X (x q ) = 1 exp( 2x q ) = q, also x q = 1 ln (1 q). 2 q x q Verteilungsfunktion Dichtefunktion Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Geändert: 24. November