K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS16).html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen

2 Wdhlg.: Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem: P (A B) = P (A B)P (B) = P (A)P (B) = P (B A)P (A) P (B A) = P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B), ( Ā, B), (Ā, B)

3 Wdhlg.: Unabhängigkeit in Mengensystemen Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-tupel (i 1, i 2,..., i m ) von natürlichen Zahlen mit 1 i 1 < i 2 < < i m n gilt: P (A i1 A i2 A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ). Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 i, j n, i j die Ereignisse A i und A j unabhängig sind, also wenn gilt P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). n n Konsequenz: P ( A k ) = P (A k ). Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt).

4 Anwendung Unabhängigkeit Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung von Ereignissen) P (A i ) = p i, i = 1, 2,... ( ) Parallelschaltung: B = A 1 A 2 A 3... A n Reihenschaltung: C = A 1 A 2 ( A 3... A n ) Grundformeln (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen): P (A 1 A 2 ) = p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) = (1 p 1 )(1 p 2 ) P (C) = n n p k, P (B) = (1 p k )

5 Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r B: gezogene Kugel ist weiß; A i : Kugel ist aus Urne i Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B C): ( ) = P (A B C) = P (A C) (B C) P (C) P (A C) + P (B C) P (A B C) P (C) P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) =

6 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zufälliges Ereignis B B = n (B A k ) P (B) = n P (B A k ), weil die Mengen (B A k ) ebenfalls paarweise unvereinbar sind. P (B) = n P (B A k )P (A k ) mit Multiplikationssatz Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

7 Der Satz von Bayes Es interessieren auch P (A i B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne U i, falls gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt P (B A k ) = P (B A k )P (A k ) = P (A k B)P (B) P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) P (A k B) = P (B A k )P (A k ) n P (B A k)p (A k ) Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

8 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden durch reelle Zahlen räpresentiert). Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld entsprechend Def Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die für alle e E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild X 1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ], x[ R ein zufälliges Ereignis A Z ist. Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F X (x) von X: F X (x) := P {X < x}.

9 Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat folgende Eigenschaften: a) F (x) ist monoton nichtfallend, b) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, c) F (x) ist linksseitig stetig. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße. Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz: P {x 1 X < x 2 } = F (x 2 ) F (x 1 ) möglich: P { X x 2 } = F (x 2 ) + P {X =x 2 } > F (x 2 )

10 Würfeln (einfacher Wurf) F(x) Abbildung 13.6: x Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln

11 Diskrete Zufallsgrößen Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann, nennt man diskrete Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = x k } = p k > 0 für k = 1, 2,... ist. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar F (x) = P {X < x} = ( ) p k = 1 k:x k <x Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant ): Binomialvertlg. (endlich) p n (m) = P n {X = m} = ( ) n m p m (1 p) n m Poisson-Vertlg. (abzählbar) p k p k = P {X = k} = λk k! e λ

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