Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]
|
|
- Clemens Beyer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert, die die Verwendung und Interpretation von Wahrscheinlichkeiten ermöglichen sollen, die (z.b.) SPSS in Form von p-werten bei der Anwendung von Verfahren der schließenden Statistik exakt oder näherungsweise ermittelt. 1
2 Zufällige Ereignisse [random event] Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer Menge möglicher Ausgänge ungewiss (zufällig) ist. Ω... Menge der möglichen (elementaren, einander ausschließenden) Versuchsausgänge ω Ω A... Ereignisfeld, enthält Teilmengen von Ω, die Ereignisse A A Ein Ereignis A tritt ein, wenn der Versuchsausgang ω, den der Versuch liefert, ein Element der Menge A ist, d.h. wenn ω A gilt. 2
3 Beispiele: (1) Würfeln mit idealem Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6} C = {6} Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird Ereignis, dass eine Zahl > 2 gewürfelt wird Ereignis, dass eine 6 gewürfelt wird (2) Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln Ω = { (1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (6, 6) } ω = ( Ergebnis Würfel 1, Ergebnis Würfel 2 ) Ω 3
4 (3) Zufällige Auswahl einer Versuchsperson (a) Fragebogen mit 1 Frage und 4 Antwortmöglichkeiten Ω = {a, b, c, d} (b) Fragebogen mit 2 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten Ω = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, a),..., (d, d)} ω = (Antwort 1. Frage, Antwort 2. Frage) Ω Es sind 4 4 = 16 verschiedene elementare Versuchsausgänge (ausgefüllte Bögen) möglich. Ereignis A = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}: 1. Frage mit a beantwortet. 4
5 (4) Zufällige Auswahl einer Versuchsperson, die die Antwort auf eine Frage auf einer Ratingskala (10 cm lang) markiert: sehr unsympathisch sehr sympathisch Ω = [ 0, 10 ] Es gibt überabzählbar viele mögliche Antworten. 5
6 (5) Zahlenlotto 6 aus 49: Ω = Menge der möglichen Ziehungsergebnisse Auswahl von 6 aus 49 Zahlen möglich, es gibt also ( ) 49 = verschiedene Ziehungsergebnisse. 6
7 Rechnen mit Ereignissen Beispiel (3b): Ω = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, a),..., (d, d)} A = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} (Erste Frage mit a beantwortet) B = {(a, b), (b, b), (c, b), (d, b), (a, c), (b, c), (c, c), (d, c)} (Zweite Frage mit b oder mit c beantwortet) Können A und B gleichzeitig eintreten? Ja, wenn (a, b) oder (a, c) geantwortet wird. 7
8 Verknüpfungen von Ereignissen A B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A und B gleichzeitig eintreten. A B = {(a, b), (a, c)} A B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A oder B eintritt. A B = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c), (d, b), (d, c)} 8
9 A \ B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A eintritt, aber B nicht. A \ B = {(a, a), (a, d)} Ā ist das Ereignis, das eintritt, wenn A nicht eintritt, Ā heißt das komplementäre Ereignis zu A. Ā = {(b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a),..., (d, d)} = Ω \ A 9
10 Spezielle Ereignisse... unmögliches Ereignis (leere Menge, Ω) Ω... sicheres Ereignis (Ω Ω) 10
11 Beziehungen zwischen Ereignissen A B... A zieht B nach sich: Wenn A eintritt (ω A), dann tritt auch B ein (ω B). Sei beispielsweise C := {(a, b), (b, b), (c, b), (d, b)} (Zweite Frage mit b beantwortet), dann gilt C B. Gilt A B =, so heißen A und B unvereinbar. Sei beispielsweise D := {(b, a), (b, b), (b, c), (b, d)} (Erste Frage mit b beantwortet), dann gilt A D =. 11
12 Das Ereignisfeld A wird nun aus genügend vielen Ereignissen gebildet, so dass alle obigen Operationen zwischen diesen Ereignissen ausführbar sind und außerdem Ω A (und damit auch A) gilt. Enthält Ω unendlich viele Elemente, so müssen die Forderungen noch ausgedehnt werden. 12
13 Wahrscheinlichkeiten Vorbetrachtung n malige Durchführung eines zufälligen Versuches und Zählen, wie häufig ein uns interessierendes Ereignis A eingetreten ist: absolute Häufigkeit: h n (A) relative Häufigkeit: f n (A) = 1 n h n(a) Erfahrung: Für große n stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. 13
14 Beispiel: Spiel: Gegen einen Einsatz von x EURO darf ein Spieler 6 mal eine Münze werfen und erhält so viele EURO, wie oft Wappen gefallen ist. Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Spiel n mal wiederholen und die Häufigkeiten h n ({ω}) der einzelnen Auszahlungen beobachten. Welcher Preis x wäre fair? 14
15 Absolute Häufigkeiten Auszahlung
16 Relative Häufigkeiten
17 Eigenschaften der relativen Häufigkeit (1) 0 f n (A) 1 (2) f n (Ω) = 1 (Ω tritt immer ein) f n ( ) = 0 ( tritt nie ein) (3) Gilt A B = (d.h. A und B sind unvereinbar), dann gilt f n (A B) = f n (A) + f n (B) (4) f n (A B) = f n (A) + f n (B) f n (A B) (5) f n (Ā) = 1 f n(a) 17
18 Wahrscheinlichkeit Axiomsystem (Kolmogorov, 1933) Eine Abbildung P : A R heißt Wahrscheinlichkeit, wenn gilt: (1) 0 P (A) 1 für alle A A (2) P (Ω) = 1 (3) Wenn A B =, dann gilt P (A B) = P (A) + P (B) (Additivität) (Genauer muss das Axiom (3) auf eine beliebige Folge von unvereinbaren Ereignissen erweitert werden.) Wahrscheinlichkeiten können als Modell für die Chance des Eintretens von Ereignissen verstanden werden. 18
19 Aus den Axiomen folgen weitere wichtige Formeln: P ( ) = 0 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (Ā) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) 19
20 Beispiel: Gegeben: P (A) = 0.7 P (B) = 0.4 P (A B) = 0.15 Dann gilt: P (A \ B) = = 0.55 P (B \ A) = = 0.25 P (A B) = =
21 Darstellung in Vierfeldertafel: B B A Ā
22 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsräume Modell z.b. für das Würfeln, den Münzwurf, die Roulette, die Ziehung von Lottozahlen Ausgangspunkt: Es gibt keinen erkennbaren Grund, einem der möglichen Versuchsausgänge eine größere Wahrscheinlichkeit zuzuordnen als einem anderen. Sei Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }. Dann gibt es n mögliche Versuchsausgänge. Nehmen wir an, dass jeder Versuchsausgang ω i gleich wahrscheinlich ist, so folgt: P ({ω i }) = 1 n ( ) P (Ω) = P ({ω 1 }) + P ({ω 2 }) P ({ω n }) = n 1 n = 1 22
23 Für jedes Ereignis A A erhalten wir P (A) = i: ω i A P ({ω i }) = i: ω i A 1 n Also P (A) = Anzahl der ω i in A n = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle Zur Bestimmung dieser Anzahlen sind häufig die Formeln der Kombinatorik hilfreich. 23
24 Unabhängigkeit [independence] Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt: P (A B) = P (A) P (B) Beispiele: Vierfeldertafel (Vergleiche Kreuztabelle) B B A Ā
25 Exkurs: Bedingte Wahrscheinlichkeit [conditional probability] Seien A und B Ereignisse mit P (B) > 0. Dann heißt P (A B) := P (A B) P (B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B. Sind A und B unabhängig, dann gilt P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B) P (B) = P (A) sowie P (B A) = P (B A) P (A) = P (B) P (A) P (A) = P (B) 25
26 Zweimaliges Würfeln: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)} Wahrscheinlichkeit für zweimaliges Würfel einer 6: P ({(6, 6)}) = 1 36 Wahrscheinlichkeit, das erster Wurf eine 6 ist: P ({(6, 1),..., (6, 6)}) = 6 36 = 1 6 Wahrscheinlichkeit, das zweiter Wurf eine 6 ist: P ({(1, 6),..., (6, 6)}) = 6 36 = 1 6 Daraus folgt P ({(6, 1),..., (6, 6)} {(1, 6),..., (6, 6)}) = P ({(6, 1),..., (6, 6)}) P ({(1, 6),..., (6, 6)}) 26
27 Vergleich mit empirischer Unabhängigkeit in Kontingenztafeln: Interpretieren wir die beobachteten relativen Häufigkeiten als Schätzungen für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (z.b. Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Bewerber auszuwählen, der abgelehnt worden ist 1/3, einen vom naturwiss. Gym. 2/7), dann sollten sich bei Unabhängigkeit die relativen Häufigkeiten in der Nähe der Produkte dieser Wahrscheinlichkeiten ergeben und damit die zu erwartenden absoluten Häufigkeiten in der Nähe der Werte der Indifferenztabelle. 27
28 Die Definition der Unabhängigkeit harmoniert in vielen Fällen mit der üblichen Vorstellung; eine Gefahr für Fehlinterpretationen besteht z.b. bei einer Kopplung über eine dritte Einflussgröße. Zum Beispiel ist die Zahl der beobachteten Störche im Monat x mit der Anzahl der Geburten im Monat x über saisonale Schwankungen gekoppelt. Beobachtete Abhängigkeiten dürfen also nicht mit Kausalität verwechselt werden. 28
29 Bei mehr als zwei Ereignissen muss zwischen der (oben definierten) paarweisen Unabhängigkeit von jeweils zwei Ereignissen und der (vollständigen) Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen unterschieden werden. 29
30 Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln A... erster Würfel: gerade Zahl B... zweiter Würfel: gerade Zahl C... Summe der Augenzahlen ungerade P (A) = P (B) = P (C) = 1/2 P (A B) = P (A C) = P (B C) = 1/4 Daher liegt paarweise Unabhängig vor, aber es gilt P (A B C) = 0 1/2 1/2 1/2 = P (A)P (B)P (C) 30
1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer
MehrTeil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen
Mehr2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,
MehrKapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche
Kapitel 2 Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse In diesem Kapitel führen wir zunächst anschaulich die grundlegenden Begriffe des zufälligen Versuchs und des zufälligen Ereignisses ein und stellen
Mehr4. Die Laplacesche Gleichverteilung
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
MehrZufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen
Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Mehr15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben
MehrSatz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
MehrBasiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom
Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
MehrUnabhängigkeit KAPITEL 4
KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht
MehrKapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen
Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................
MehrAllgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)
Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich
MehrDr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben
MehrKapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten
MehrRumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen
Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern
MehrKapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze
MehrWahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
MehrWahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)
Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Wahrscheinlichkeit und Zufallsvorgänge Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
Mehr1. Experimente, zufällige Ereignisse
KAPITEL I: EINFÜHRUNG 1. Experimente, zufällige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeitstheorie gründet sich auf die Existenz des Zufalls. Die Frage nach dem Charakter des Zufalls beschäftigt seit langer Zeit
Mehr4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder
MehrStatistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58
Statistik Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrDieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
3. Vorlesung - 21.10.2016 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 9. Übung SS 16: Woche vom
Übungsaufgaben 9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. 10. 6. 2016 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrEin Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell.
SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 1 Grundbegriffe Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen wiederholbarer Vorgang (geplant, gesteuert, beobachtet oder auch nur gedanklich) Menge der
MehrEs werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern
MehrUE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele
UE Statistik, SS 05, letztes Update am 5. März 05 Übungsbeispiele Beispiele mit Musterlösungen finden Sie auch in dem Buch Brannath, W., Futschik, A., Krall, C., (00) Statistik im Studium der Wirtschaftswissenschaften..
MehrStochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
MehrGründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)
Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches
MehrÜberblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten?
1 Überblick æ Beschreibende Statistik: Auswertung von Experimenten und Stichproben æ Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schlüsse aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten, Hilfsmittel: Kombinatorik æ Beurteilende Statistik:
Mehr9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden
Mehr3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen 3.1 Einführung Bsp. 19 (3-maliges Werfen einer Münze) Menge der Elementarereignisse: Ω {zzz,zzw,zwz,wzz,zww,wzw,wwz,www}. Ω 2 3 8 N Wir definieren
MehrGrundwissen zur Stochastik
Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2
MehrSTATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet
Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen
MehrMathematische und statistische Methoden II
Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie
Mehr2. Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten
2. Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten Ziel des Kapitels: Einführung elementarer Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (definitorisch) Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Modellierung von zufälligen
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 2
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrDas Zweikinderproblem
Das Zweikinderproblem Definition Zweikinderproblem Eine Familie besitzt zwei Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pr[ Beide Kinder sind Mädchen. Eines der Kinder ist ein Mädchen ]? Lösung: Sei A
Mehr4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte
MehrBinomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec
Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch
MehrWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment kann man nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, aber manche Ereignisse treten naturgemäß mit einer größeren Wahrscheinlichkeit
MehrStatistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/174
fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/174 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: srechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung 2/174
MehrKapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME
Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassung vom 12. Januar 2001 121 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Stichproben-Raum. 9.1 9.1 Stichproben-Raum. Die bisher behandelten Beispiele von Naturvorgängen oder Experimenten
MehrDie Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man
Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management
Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem
MehrP (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.
2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das
MehrZiegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem
Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,
Mehr3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:
Mehr1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen Zoltán Zomotor Versionsstand: 18. Mai 2015, 09:29 Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. This work is licensed under the Creative
MehrDieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde.
10.1 Über den Begriff Stochastik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Teildisziplin von Stochastik. Dabei kommt das Wort Stochastik aus dem Griechischen : die Kunst des Vermutens (von Vermutung, Ahnung,
MehrInstitut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013
Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive
MehrBeschreibende Statistik
Beschreibende Aufgaben der beschreibenden : Erhebung von Daten Auswertung von Daten Darstellung von Daten Erhebung von Daten Bei der Erhebung von Daten geht es um die Erfassung von Merkmalen (Variablen)
MehrMathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde Inhalt Zufallsexperimente,
MehrWählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,
V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein
MehrAbiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)
MehrDidaktik der Stochastik
Didaktik der Stochastik. Didaktik der Stochastik Didaktik der Stochastik. Inhaltsverzeichnis Didaktik der Stochastik Ziele und Inhalte Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Beurteilende Statistik
MehrKAPITEL 2. Kombinatorik
KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,
MehrPopulation und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie
Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung
MehrP A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit
Unabhaengige Ereignisse edingte Wahrscheinlichkeit Definition Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtmenge der Ergebnisse nzahl
MehrSTATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG
STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG VORLESUNG 2 - WAHRSCHEINLICHKEIT 28.11.2014 1 28.11.2014 1 Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) AGENDA 01 WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG? 02 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
MehrMathematik IV (Stochastik) für Informatiker
Bausteine zur Vorlesung von Prof. Dr. Bernd Hofmann Mathematik IV (Stochastik) für Informatiker Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz Sommersemester 2016 Dieser Text soll die Nacharbeit
MehrÜbungsaufgaben, Statistik 1
Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama
Mehr1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.
Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt
Mehr6 Wahrscheinlichkeitsrechnung
6 Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1 Grundbegriffe Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Analyse einer stochastischen Situation. Grundlage ist die Modellierung von Zufallsvorgängen. Zwei Fragen: Was
MehrLaplace und Gleichverteilung
Laplace und Gleichverteilung Aufgaben Aufgabe 1 An einem Computer, dessen Tastatur die 26 Tasten für die kleinen Buchstaben (a,b,c... z) hat, sitzt ein Nutzer (User) und tippt zufällige auf den Tasten
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Rainer Hauser Dezember 2012 1 Einleitung 1.1 Zufallsexperimente Im Folgenden wird das Resultat eines Experiments als Ereignis bezeichnet. Lässt man eine Metallkugel aus einer
MehrÜbungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Prof. Dr. C. Löh/M. Blank Blatt 0 vom 16. April 2012 Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsräume). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie jeweils
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen
MehrStochastik für die Naturwissenschaften
Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 3. Wahrscheinlichkeit P (Probability) Literatur Kapitel 3 * Storrer: Kapitel 32-36 * Stahel: Kapitel 4 * Statistik in Cartoons: Kapitel 3 3.1
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum
MehrDas Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler Juni 2010
Das Ziegenproblem Nils Schwinning und Christian Schöler http://www.esaga.uni-due.de/ Juni 2010 Die Formulierung Obwohl das sogenannte Ziegenproblem in der Mathematik allgegenwärtig erscheint, wurde es
MehrErgebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis
Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)
MehrAufgaben zum Wahrscheinlichkeitsrechnen
1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen mit einem Würfel keine 4 zu werfen? % 2.) Wie groß ist beim einmaligen Werfen von zwei verschieden farbigen Würfeln die Wahrscheinlichkeit,...
MehrTechnische Universität München
Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,
MehrBeurteilende Statistik
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten
MehrDiskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier
Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen
MehrDiagnose. Statistische Diagnose. Statistische Diagnose. Statistische Diagnose. Einordnung: Diagnose Problemklasse Analyse
Statistische Einordnung: Problemklasse Analyse Kernfrage bzgl. der Modellierung: Wieviel ist bekannt über das zu diagnostizierende System? Begriffe der : System. Ausschnitt aus der realen Welt. Hier: System
Mehr1. Einleitung und Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
1. Einleitung und Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 1.1 Einleitung Deskriptive Statistik: llgemeine und spezielle Methoden zur Datenauswertung, die unabhängig von der Erhebungsart angewendet werden können
Mehr3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit
MehrMafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)
Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen
Mehr6 Kombinatorik: Einschluß-Ausschluß Formel. 6.1 Indikatorfunktionen. I A ist eine Zufallsvariable E[I A ] = P (A) IĀ = 1 I A I A B = I A I B
6 Kombinatorik: Einschluß-Ausschluß Formel 6.1 Indikatorfunktionen I A (ω) = { 1 falls ω A 0 falls ω A I A ist eine Zufallsvariable E[I A ] = P (A) IĀ = 1 I A I A B = I A I B I 2 A = I A V ar[i A ] = P
MehrKapitel 5. Stochastik
76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter
Mehr