Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

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1 Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013

2 Organisatorisches

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4 1. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist. (2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes. (3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet. (4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben. Symbolisch: P(E) = a, 0 a 1

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8 1. Begriffe in der Stochastik (5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen. Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.

9 1. Begriffe in der Stochastik Spezielle Ereignisse: Das unmögliche Ereignis: E = Ø, P(E) = 0 Das sichere Ereignis: E = Ω, P(E) = 1 Das Elementarereignis ist ein einelementiges Ereignis bzw. ein Ereignis mit genau einem Ergebnis. Das Gegenereignis ist das Gegenteil eines bestimmten Ereignisses E. Symbolisch: Ē.

10 Abitur M-V 2009

11 1. Begriffe in der Stochastik (6) Die Komplementärregel Ist Ā das Gegenereignis zu A, dann gilt: P A = 1 P Ā, wobei P Ω = 1

12 1. Begriffe in der Stochastik (7) Das Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind. Hier gilt: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ermittelt sich aus: P A = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle

13 Abitur M-V 2010

14 1. Begriffe in der Stochastik (8) Gesetz der großen Zahlen (Link) Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchszahl der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit an.

15 1. Begriffe in der Stochastik (9) Das Baumdiagramm ist eine Darstellungsart für (mehrstufige) Zufallsversuche. Die Zweige zeigen die Ergebnisse und die Pfade die Ereignisse an.

16 Abitur M-V 2010 Aufgabe A3

17 1. Begriffe in der Stochastik Hier gelten die Pfadregeln: 1. Um die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades zu bestimmen, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige multipliziert. 2. Wenn mehrere Pfade ein Ereignis bilden, werden sie addiert.

18 1. Begriffe in der Stochastik (10) Bernoulli-Experiment Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. (11) Bernoulli-Kette Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimentes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert. Benannt nach Jakob Bernoulli ( ), schweizer Mathematiker.

19 Abitur M-V 2009

20 Abitur M-V 2004 Grundkurs

21 Abitur M-V 2004 Leistungskurs

22 1. Begriffe in der Stochastik In Worten weniger als 4 höchstens 4 genau 4 zwischen 4 und 7 von 4 bis 7 mindestens 4 mehr als 4 In Mathematisch P(X<4) oder P(X 3) P(X 4) P(X=4) P(4<X<7) oder P(5 X 6) P(4 X 7) P(X 4) P(X>4) oder P(X 5)

23 2. Begriffe in der Kombinatorik (1) Permutation Die geänderte Anordnung (Reihenfolge) einer Menge heißt Permutation. Bei einer Menge von n verschiedenen Elementen gibt es n! (gelesen: n Fakultät ) Permutationen. Wobei hier jedes Element nur einmal verwendet wird (Ziehen ohne Zurücklegen). n! (n 1) n

24 2. Begriffe in der Kombinatorik (2) Binomialkoeffizient n Das Symbol (gelesen: n über k ) wird als Binomialkoeffizient bezeichnet. Er ist wie folgt k definiert: Seien k, n N mit k n n k n! k! n k! Spezielle Werte: n 0 = 1, n 1 = n und n n = 1.

25 2. Begriffe in der Kombinatorik (3) Variation und Kombination Die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim zufälligen Ziehen von k Elementen aus n möglichen beträgt jeweils: mit Zurücklegen ohne Zurücklegen Variation Geordnet n k Kombination Ungeordnet n + k 1 n! n k! = n k k! n k k

26 Abitur M-V 2009

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