Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung Stand September 2016

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1 Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung Stand September 0. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Seite ). Erste Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Seite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel (Seite 4) 4. Verteilung und Erwartungswert von Zufallsgrößen (Seite ) 5. Varianz und Standardabweichung (Seite ). Kombinatorik (Seite 0) 7. Binomialverteilung (Seite ). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition: Ein Versuch/Experiment, bei dem der Ausgang ungewiss ist, nennt man Zufallsversuch oder Zufallsexperiment. Die verschiedenen Ausgänge des Versuchs heißen Ergebnisse, ein Ereignis besteht aus einem oder mehreren Ergebnissen. Beispiele: einstufiger Zufallsversuch Menge der Ergebnisse ein mögliches Ereignis Zufallsversuch Zufallsversuch Zufallsversuch x Würfeln x Münze werfen Punkte einer Klausurnote {; ; ; 4; 5; } { Z; W} {0; ; ;...; 5} A = gerade Zahl = {; 4; } A = Zahl = {Z} A = Note mindestens = {0,,,, 4, 5} mehrstufiger Zufallsversuch Menge der Ergebnisse ein mögliches Ereignis Zufallsversuch 4 x Würfeln {( ), ( ),..., ( ), ( ),, ( ),, ( ),, ( )} A = Pasch würfeln = {( ), ( ),..., ( )} Zufallsversuch 5 Geburten {JJ, JM, MJ, MM} E = mindestens ein Mädchen = {MM, MJ, JM} Zufallsversuch Teile werden kontrolliert, ob sie brauchbar sind, {bbb, bbu, bub, ubb, buu, ubu, uub, uuu} A= mindestens ein brauchbares Teil = {bbb, bbu, bub, ubb, buu, ubu, uub, uuu} Definition: Ist E ein Ereignis, so bezeichnet man mit E _ = das Gegenereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt.

2 . Grundlegende Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Für jedes Ereignis E gilt 0 P(E) [0% P(E) 00%] (Negative Wk oder Wk über 00% gibt es nicht.) Die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis und für sein Gegenereignis ergänzen sich zu : _ P(E ) = P(E) Zufallsversuch (s. o.) P(A) = P( A ) = P(uuu) Besteht ein Ereignis aus den Ergebnissen e, e,... e k, so gilt P(E) = P(e ) + P(e ) P(e k ). (Zufallversuch ) D: Unter drei Stücken sind genau brauchbar. D besteht aus drei Ergebnissen, deren Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen: D = {(bbu), (bub), (ubb)}; P(D) = P(bbu) + P(bub) + P(ubb) =... Sind alle Ergebnisse eines ZV gleich wahrscheinlich (LAPLACE-Experiment), so gilt: Anzahl der zu E gehörenden ("günstigen") Ergebnisse P(E) = Anzahl aller Ergebnisse E: Summe 5 beim fachen Würfeln; (Alle Möglichkeiten sind bei einem fairen Würfel gleich wahrscheinlich!) E= {( 4), ( ), ( ), (4 )}; P(E) = 4 = 9 Pfadregeln Pfadregeln:. Die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad in einem Baumdiagramm erhält man dadurch, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.. Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, so muss man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade berechnen und die Ergebnisse addieren. Beispiel : Eine Münze wird zweimal geworfen 0,5 0,5 K Z 0,5 0,5 0,5 0,5 K Z K Z (K,K) (K,Z) (Z,K) (Z,Z) Menge der Ergebnisse S = { KK, KZ, ZK, ZZ} E : Es fällt keinmal Kopf; E = {ZZ}

3 E : Es fällt einmal Kopf und einmal Zahl; E = { KZ, ZK} E : Es fällt mindestens einmal Kopf; E = { KK, KZ, ZK} P(E ) = = 4 ; P(E ) = + = ; P(E ) = P(E ) = 4 Beispiel Ein Würfel wird mit den Zahlen,,,,, beklebt und zweimal geworfen. E : Die Summe der beiden Zahlen ist kleiner als 4. E = { ( ), ( ), ( )}; P(E ) = + + = 9 E : Die beiden Zahlen sind gleich. E = { ( ), ( ), ( )}; P(E ) = %. Beispiel In einer Urne mit roten und einer schwarzen Kugel werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. r s r s r E: Es werden zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe gezogen; E={rs, sr} P(E) = Oder über das Gegenereignis: E = {rr}; P(E ) = ; P(E) = Beachte: - Alle Pfade, die von demselben Punkt ausgehen, besitzen zusammen eine Wahrscheinlichkeit von. - Die Unterteilung in Pfade hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn z. B. beim Würfeln nur nach Sechsen gefragt wird, so unterteilt man in die beiden Pfade und (und nicht in,,, 4, 5, ).

4 . Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel Definition: Unter P A (E) versteht man die Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung A. [Es ist auch die Schreibweise P(E A) üblich.] Man fragt sich also, mit welcher Wk E eintritt, falls man zusätzlich weiß, dass A eingetreten ist. Beispiel für eine Wk ohne Bedingung: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter Schüler eine bestimmte Aufgabe? Bedingte Wk: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter Schüler eine bestimmte Aufgabe, falls dieser Schüler in Mathematik eine hat? Fragen zur bedingten Wk kann man immer in die Form bringen: Mit welcher Wk, falls. Von den zwei Kindern einer Familie ist das eine ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere ein Junge? Mit welcher Wk ist ein Kind aus einer Zwei-Kind-Familie ein Junge, falls das andere Kind ein Mädchen ist? Mit einer Vierfeldertafel lässt sich der Unterschied zwischen bedingter und nicht bedingter Wk gut darstellen: Jugendliche wurden nach Rauchverhalten (Raucher R oder Nichtraucher und nach ihrer Zufriedenheit mit dem Körpergewicht (Z oder Z Z befragt. Z R 5% % 7% R 45% % 7% 0% 40% 00% Aus der Tabelle entnimmt man die (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten: 5% aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht zufrieden. % aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. 45% aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht zufrieden. % aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. 7% aller Befragten sind Raucher. 7% aller Befragten sind Nichtraucher. 0% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht zufrieden. 40% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. Wie erhält man nun z. B. die Wk, dass ein Befragter mit seinem Gewicht zufrieden ist, falls dieser Befragte Raucher ist? Die zufriedenen Raucher werden jetzt nur noch auf die Raucher bezogen, da Nichtraucher in diesem Falle ausgeschlossen sind, d.h. man muss berechnen, wie hoch der Anteil der zufriedenen Raucher an allen Rauchern (und nicht an allen Befragten) ist. P R (Z) = 5% von 7 % = 5 9. R ) Man trifft eine Person, die nicht mit ihrem Gewicht zufrieden ist. Mit welcher Wk raucht die Person? P Z (R) =% von 40% = 0, = 0% Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: P A (E) = P(E A) P(A)

5 Zusammenhang zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel S S F 40% 0% 70% F 0% 0% 0% 0% 40% 00% Die vier inneren Wahrscheinlichkeiten der Vierfeldertafel sind die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Pfade. Die beiden Wahrscheinlichkeiten auf der ersten Stufe findet man am rechten oder unteren Rand, je nachdem welches Merkmal auf der ersten Stufe unterschieden wird. Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des Baumdiagramms sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, z. B. P S (F) = (oberes Baumdiagramm) oder P F (S) = 4 (unteres Baumdiagramm) 7 Mit der Vierfeldertafel müsste man diese folgendermaßen berechnen: P S (F) = 40% von 0% =. S F 0,7 0, 0,4 0, 0, 0, S P F (S) = 40% von 70% = 4 7. Wenn im Baumdiagramm die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe fehlen, könnte man sie mit Hilfe der ersten Pfadregel ermitteln. 0, P S (F) = 0,4 P S (F) = 0,4 : 0, = 0,7 P F (S) = 0,4 P F (S) = 0,4 : 0,7 = 4 7 (oberes Baumdiagramm) (oberes Baumdiagramm)

6 4. Verteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße Bei vielen Zufallsexperimenten ist nicht so sehr an den eigentlichen Ergebnissen sondern an den Konsequenzen, z.b. Gewinn oder Verlust, Anzahl der brauchbaren Stücke, Anzahl der Jungen, interessiert. Die Ergebnisse werden also unter einem bestimmten Aspekt zusammengefasst. Definition: Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches (unter einem bestimmten Aspekt) eine reelle Zahl zuordnet. Beispiele: Zufallsexperiment Zufallsgröße X Wertemenge von X a) Geburten Anzahl der Jungen W(X) = {0;;;} b) Qualitätskontrolle bei 4 ausgewählten Teilen Anzahl der brauchbaren Teile W(X) ={0; ; ; ; 4} c) Münze mal werfen Nettogewinn von Spieler A nach Gewinnplan (*) W(X) = {; 4; 0; -} d) Würfel mal werfen Summe der beiden Augenzahlen W(X) = {; ; 4;...; } (*) Zwei Spieler A und B werfen drei Münzen und vereinbaren folgenden Gewinnplan: der Spieler A erhält vom Spieler B, wenn dreimal Wappen fällt, und 4, wenn zweimal Wappen fällt. Der Spieler A zahlt an Spieler B, wenn einmal Wappen fällt. Erscheint dreimal Zahl, so braucht keiner der Spieler zu zahlen. Zu jedem Wert k einer ZG kann man nun die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen. Definition: Die Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) für alle möglichen Werte k heißt Verteilung der Zufallsgröße X. Beispiele: (Definition der Zufallsgrößen siehe oben.) a) Annahme: P(J)=P(M)=0,5 k 0 P(X=k) b) Annahme: P(b) = 0,9 k 0 4 P(X=k) 0,000 0,00 0,04 0,9 0,5 c) Annahme: Laplace-Münze k P(X=k) d) Annahme: Laplace-Würfel k P(X=k)

7 Häufig ist man bei Zufallsgrößen daran interessiert, womit man im Durchschnitt rechnen kann (Gewinnspiele, Ausschussstücke,...). Dies führt zu der Definition: Sind k, k,..., k n die Werte einer Zufallsgröße X, so heißt k P(X=k )+ k P(X=k )+...+k n P(X=k n ) der Erwartungswert der Zufallsgröße X und wird mit E(X) bezeichnet. In der Verteilungstabelle braucht man also nur alle Werte mit ihrer zugehörigen Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren (zu gewichten) und die Ergebnisse zu addieren. Beispiele: (Zufallsgrößen siehe oben) a) E(X) =,5 b) E(X) =, c) E(X) = ( (-4) ) = 0,75 d) E(X) = 7 In Aufg. c) bedeutet das Ergebnis, dass Spieler A pro Spiel im Schnitt mit 75 Cent Gewinn rechnen kann, was umgekehrt einen Verlust von 75 Cent pro Spiel für Spieler B bedeutet. Das Spiel ist nicht fair. Definition: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns (=Auszahlung minus Einzahlung) gleich 0 ist (oder: wenn der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz ist.) unterscheidbare Münzen werden geworfen. Der Spieler erhält für dreimal Wappen, für zweimal Wappen ; er muss für einmal Wappen und keinmal Wappen 5 bezahlen. X = Gewinn bei einer Spieldurchführung in. Verteilung: k - -5 Summe P(X=k) Erwartungswert: E(X) = 5 = 0,5 Bei diesem Spiel kann man mit,5 Ct Gewinn pro Spiel rechnen. Beachte, dass die bekannte Berechnung der Durchschnittsnote bei einer Klassenarbeit auch die obige Formel verwendet: Note 4 5 Anzahl P(X=k) E(X) = ( ):0 = =,5

8 5. Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Das Beispiel unterschiedlicher Verteilungen bei gleichem Erwartungswert zeigt: Der Mittel- oder Erwartungswert charakterisiert eine Verteilung nur unzureichend. Bei einer Klassenarbeit z. B. können die einzelnen Arbeiten unterschiedlich streuen: 0 Zweien und 0 Vieren ergeben ebenso eine Durchschnittsnote von wie 0 Fünfen und 0 Einsen. Man braucht ein Maß dafür, wie stark die vorkommenden Werte vom Mittelwert abweichen/um den Mittelwert streuen. Def.: Sind k, k,..., k n die Werte einer Zufallsgröße X, so heißt (k - ) P(X=k )+ (k - ) P(X=k )+...+(k n - ) P(X=k n ) die Varianz der Zufallsgröße X und wird mit V(X) bezeichnet Def.: Die Wurzel aus der Varianz heißt Streuung oder Standardabweichung und wird mit σ bezeichnet: σ = V(X) Bemerkung: Die Abweichungen der Werte vom Erwartungswert werden quadriert und mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert (gewichtet); die Produkte werden addiert. In der folgenden Tabelle angegeben, in wie vielen Jahren von 909 bis 950 die Durchschnittstemperatur im Juni einen bestimmten Wert annahm. Z. B. gab es in Jahren eine Durchschnittstemperatur von im Juni. Durchschnittstemperatur im Juni Anzahl der Jahre relative Häufigkeit a) Fülle die Tabelle der relativen Häufigkeit aus. b) Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. c) Von 95 bis 99 lag der Erwartungswert bei, und die Standardabweichung bei,. Vergleiche mit den Werten aus d) und interpretiere die Ergebnisse. Lösung: X = Durchschnittstemperatur im Juni Anzahl der Jahre relative Häufigkeit a) E(X) = = 4 Die Temperatur im Juni betrug über die 4 Jahre im Durchschnitt,5. b) V(X) = 4 [(-,5) +(-,5) 0+(4-,5) 4+ +(0-,5) +(-,5) ],5 σ(x) = V(X),9 Im Durchschnitt wichen die mittleren Junitemperaturen um,9 vom Erwartungswert ab. c) Der Mittelwert der Junitemperaturen hat sich in den nächsten 4 Jahren kaum verändert, die Standardabweichung und damit die Schwankungen um diesen Mittelwert sind aber deutlich zurückgegangen.

9 Bemerkung:. Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung mit dem GTR: Zu einer Liste von Werten einer Stichprobe kann man die Kenngrößen mit dem GTR berechnen: Im Calc Fenster l:={,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,,,,,,,,,,,,,7,7,7,7,7,,,,,,,9,9,9,9,0,0,} definieren und mit menu, Statistik, Statistische Berechnungen, Statistik mit einer Variablen, Anz. der Listen=, x Liste l, enter liefert u. A. x =,55 und x= n x =,. Mit einer Tabelle lässt sich die Eingabe großer Listen ggf. schneller erledigen: List&Spreadsheet hinzufügen, in der obersten Zeile den Namen, z.b. l oder Stichpr eintragen. Bei Werten, die sehr häufig vorkommen die Copy Paste Funktion benutzen.

10 . Kombinatorik Sind alle Ergebnisse eines ZV gleich wahrscheinlich (LAPLACE-Experiment), Anzahl der zu E gehörenden (" günstigen") Ergebnisse so gilt: P(E) Anzahl aller Ergebnisse Bei vielen Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es darum, Anzahl von (günstigen) Möglichkeiten zu bestimmen, um mit Hilfe der obigen Formel dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Multiplikationssatz (allgemeines Zählprinzip): Hat eine k-stufiger Zufallsversuch n, n,...n k mögliche Ergebnisse auf den einzelnen Stufen, so hat das gesamte Experiment n n... n k Ergebnisse.. Bei 5 Geburten gibt es auf jeder Stufe zwei Möglichkeiten (J; M). Insgesamt gibt es demnach = Möglichkeiten.. Bei Hosen, 4 Hemden und Paar Schuhen gibt es 4 = 4 Kombinationsmöglichkeiten. Die meisten Aufgaben lassen sich am Urnenmodell simulieren: aus einer Urne, die mit einer bestimmten Anzahl von Kugeln unterschiedlicher Farbe bestückt ist, werden Kugeln gezogen. Die Anzahl der möglichen Ziehungen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten des ursprünglichen Problems. Wie viele Möglichkeiten hat ein Unternehmer, der Lastwagen besitzt und 5 Aufträge erhält? Simulation am Urnenmodell: Eine Urne enthält verschiedene Kugeln. Es werden 5 ohne Zurücklegen gezogen, wobei es auf die Reihenfolge der Kugeln ankommt. (Ziehung,4,,,7, würde bedeuten, dass der. Auftrag an LKW, der. an LKW 4 usw. geht.) Für den. Auftrag gibt es Möglichkeiten, für den zweiten 7,, für den 5. Auftrag 4 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es = 70 Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeiten beim Lotto Es werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge egal ist: Somit gibt es 9 4 Mio. Möglichkeiten. 5 4 Der Term lässt sich umschreiben als (Lies 49 über ) bezeichnet. Im GTR wird 49 Verallgemeinerung: Es gibt n n! k k!(n k)! 49!!4! 49 und wird mit mit ncr(49,5) berechnet. Möglichkeiten k Elemente/Dinge auf n Plätze/Positionen zu verteilen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. n! (Falls die Reihenfolge eine Rolle spielt, gibt es (n k)! Möglichkeiten.) Weitere Aufgaben:

11 a) Wie viele Pfade hat ein Baumdiagramm, das auf der ersten Stufe 4, auf der zweiten Stufe jeweils und auf der dritten Stufe wieder jeweils Unterteilungen hat? 4 = 4 b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Schüler auf Plätze zu verteilen? 5 4 = 0 c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, verschiedene Dinge anzuordnen?! = 5 4 = 70 d) Bei einem Rennen mit Pferden kann man auf die ersten drei wetten, also tippen, welches Pferd gewinnt, welches. wird und welches. wird. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 7 = e) Ein Lehrer will in seinem Kurs mit Schülern drei Prüfungen vornehmen. Er wählt er Schüler aus. (i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn der. Schüler über Analysis, der zweite über analytische Geometrie und der dritte über Stochastik geprüft wird? 0 = 940 (ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn alle drei Schüler über dasselbe Thema geprüft werden? 0 : ( ) = 540 (iii) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Prüfungsthema, wenn der Lehrer bei jeder Prüfung neu aus allen Schülern auswählt, ein Schüler also mehrfach geprüft werden kann? = 04 f) Beim Pferderennen kann man auf die ersten drei wetten: man gibt drei Pferde an und wenn diese die ersten drei Plätze egal in welcher Reihenfolge belegen, gewinnt man. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 7 : = 5 g) An einer Schule werden Leistungskursfächer und 0 Grundkursfächer angeboten. Ein Schüler wählt rein zufällig Leistungs und Grundkursfächer aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 5:! :(!) = 50 h) Beim Lotto werden aus 49 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? :! = 9

12 7. Binomialverteilung. Definition, Formeln, Erwartungswert, Arbeiten mit dem GTR Bernoulli Versuche Zufallsvorgänge, bei denen nur zwischen zwei möglichen Ergebnissen ( Erfolg E und Misserfolg E unterschieden wird, heißen Bernoulli Versuche. Wird ein Bernoulli Versuch n mal unabhängig voneinander ausgeführt, so entsteht eine Bernoulli Kette der Länge n oder n stufiger Bernoulli Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p= P(E) Bernoulli-Versuche sind von besonderer Bedeutung, da sie sehr häufig vorkommen: Geburt: Junge Mädchen; Wahlbefragung: Wähler von Partei A kein Wähler der Partei A Würfeln: Sechs kein Sechs Kontrolle: brauchbar nicht brauchbar Simulation am Urnenmodell: Eine Urne enthält eine bestimmte Anzahl weißer und schwarzer Kugeln. Es wird k-mal mit Zurücklegen gezogen. Im Allgemeinen ist man bei Bernoulli Ketten daran interessiert, wie wahrscheinlich jeweils die Anzahl der Erfolge auftritt oft bei n Versuchen der Erfolg auftritt, man untersucht also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X = Anzahl der Erfolge. Formel zur Berechnung der Verteilung von X Ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit eines n stufigen Bernoulli Versuchs, so gilt für die Verteilung der Zufallsgröße X = Anzahl der Erfolge: P(X=k) = n k pk q n-k = n k pk ( p) n-k Kenngrößen bei einer Binomialverteilung: Erwartungswert: Varianz: E(X) = = n p; V(X) = n p q = n p ( p) Standardabweichung: σ(x) = n p q n p ( p) Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 50 Geburten genau 0 Jungen gibt, beträgt P(X=0) = ,50 0,4 0 0,0 =,%. (Annahme: P(J) = 0,5) Im Durchschnitt werden bei 50 Geburten = 50 0,5=5,9 Jungen geboren. Die Varianz beträgt dabei V(X) = 50 0,5(-0,5)=,4 und die Standardabweichung σ(x),4,5

13 GTR und Binomialverteilung Beachte: die Lösung der Aufgaben muss kommentiert werden, es reicht nicht einen GTR Befehl hinzuschreiben. Als Vorspann muss die Zufallsgröße X definiert und die Binomialverteilung angegeben und falls verlangt begründet werden. Bei einer Aufgabe wird 0mal gewürfelt. X = Anzahl der Sechsen bei 0 Würfen. X ist bv mit n=0 und p = (da es nur zwei Ergebnisse auf jeder Stufe gibt und die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe gleich bleiben.). Fakultäten n! = n Anzahl der Sitzordnungen bei 0 Plätzen: 0! = 00 (Das!-Zeichen erhält man als Auswahl bei der Taste "?!>" neben dem Buchstaben G.). Binomialkoeffizienten Bernoulli Versuch n k = n! k! (n k)! 49 = Anzahl der Pfade für P(X=k) bei einem n stufigen = ncr(49,) = 9. Wahrscheinlichkeit P(X=k) bei einem n stufigen Bernoulli Versuch. Wahrscheinlichkeit für 5 Vieren beim 0maligen Quadern mit Annahme P(4) = 0,. binompdf(0,0.,5) 0, 4. Vollständige Binomialverteilung P(X=k) für k = 0; ; ; n. binom(0,0.) = {0,05; 0,04; 0,4; 0,4; 0,44; 0,; 0,077; 0,047; 0,005; 0,0007; 0,0000} 5. Kumulierte Binomialverteilung: 5. Kumulierte Verteilung Anzahl der Vieren beim Quadern unter der Annahme P(4)=0,: binomcdf(0,0.) = {0,05; 0,074; 0,405; 0,4; 0,79; 0,9; 0,995; 0,994; 0,999;,0000} 5. Typische Aufgabenstellungen zu bv Zufallsgrößen: P(X k), P(X<k), P(X>k) P(X k), P(X k), P(a X b) Beispiele: Höchstens Vieren beim 0maligen Quadern: P(X ) = binomcdf(0,0.,) 0,4 Mehr als Vieren: binomcdf(0,0.,4,0) Mindestens Vieren: binomcdf(0,0.,,0) Höchstens drei Vieren: binomcdf(0,0.,) Mindestens und höchstens weniger als Vieren: binomcdf(0,0.,,7) Aufgaben S. Aufgabe. 4 X= Anzahl der Wappen ist bv mit n= und p=0,5 (auf jeder Stufe gibt es.nur Ausgänge, die immer mit der gleichen Wk auftreten.) a) (i) P(X=)= binompdf(,0.5,) = 0,5 (ii) P(X ) = binomcdf(,0.5,) 0,4 (iii) P(X >) = binomcdf(,0.5,4, ) 0,4 [oder P(X>) = P(X ) = ] b) P(X=) und P(X ) werden größer, P(X>) wird kleiner. Aufgabe 5 X = Anzahl der richtigen Antworten; X ist bv mit n = und p =. a) P(X=4) = binompdf(,/,4) 7,07% b) P(X 4) = BinomCdf(,/,4,) 5,% c) P(X ) = binomcdf(,/,) 74,4% d) P(X>4) = binomcdf(,/,5,),79% Aufgabe X = Anzahl der Flaschen unter 495 cm. X ist bv mit n = 0 und p = 0,0 a) P(X=) = binompdf(0,0.0,) 5,% b) P(X ) = BinomCdf(0,0.0,,0) 5,99% c) P(X ) = binomcdf(0,0.0,) 99,9%